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导数练习1



纽恩教育 高中数学之(导数)

导数讲练 1
一、选择题 1.下列结论中正确的是( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 C.如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' (

x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 D.如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 2. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? c ,且 f ?(1) =2,则 a 的值为( A.1 B. 2 C.-1 ) D.0

3. f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x) 与 g ( x) 满足 f ?( x) ? g?( x) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(
A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0

) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 ) D.-4

4.函数 y ? x 3 ? 3x 在[-1,2]上的最小值为( A.2 B.-2 C.0

5.设函数 y ? f ( x) 在定义域内 可导, y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则导函数 y ? f ?( x) 可 y y y y y能 为

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

图1





A

B

C

D

3 2 6.方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是(

) D.0

A.3

B.2

C.1
1

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纽恩教育 高中数学之(导数) 7.曲线 y ? ln(2 x ?1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是 ( A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D.0



8. 已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数为 1,则 A.3 B. ?

lim
x ?0

2 3

C.

1 3

f (1 ? x) ? f (1 ? x) = 3x 3 D. ? 2

(

)

9.曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为(



A. y ? 3x ? 4

B. y ? ?3x ? 2

C. y ? ?4 x ? 3 D. y ? 4 x ? 5 ( )

10.函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1有极值的充要条件是 A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0

D. a ? 0 )

11.函数 f ( x) = x ( x -1) ( x -2)…( x -100)在 x =0 处的导数值为( A、0

B、1002 C、200 D、100! 12 . 设 函 数 y ? f ( x) 在 ( ?? , + ? ) 内 有 定 义 。 对 于 给 定 的 正 数 K , 定 义 函 数

? f ( x), f ( x) ? K f k ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K
取函数 f ( x ) = 2 ? x ? e A.K 的最大值为 2 二、填空题 13 .已知 R 上可导函数 f ( x ) 的图象如图所示,则不等式 ( x ? 2 x ? 3) f ?( x) ? 0 的解
2
?x

。 若对任意的 x ? (??, ??) , 恒有 fk ( x) = f ( x ) , 则 C.K 的最大值为 1





B. K 的最小值为 2

D. K 的最小值为 1



.

14.垂直于直线 2x+6y+1=0 且与曲线 y = x +3x-5 相切的直线方程是

3

.
15.若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 是的单调函数,则实数 m 的取值范围是
3 2

.
16.设点 P 是曲线 y ? x 3 ? 3x ?

2 上的任意一点,P 点处切线倾斜角为 ? ,则角 ? 3

的取值范是

.

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纽恩教育 高中数学之(导数) 三、解答题
x 17. 当 x ? 0 时 ,证明不等式 e ? 1 ? x ?

1 2 x 成立. 2

18 . 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ?2 处 取 得 极 值 , 并 且 它 的 图 象 与 直 线

y ? ?3x ? 3
在点( 1 , 0 ) 处相切, 求 a , b , c 的值.

3 2 19.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.

(Ⅰ)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (Ⅱ)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

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纽恩教育 高中数学之(导数)

3 20.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 极小值; (2)试讨论曲线 y ? f ( x) 与 x 轴公共点的 个数。

21.设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直

线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 . (Ⅰ)求 a , b , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小 值.

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纽恩教育 高中数学之(导数) 22. 已 知 x ? 1 是 函 数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的 一 个 极 值 点 , 其 中

, m, n? R , m ? 0 (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间;

(III) 当 x ???1 函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m , , ? 时, 求 m 的取值范围.

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高二数学选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题参考答案:
B 一.选择题: 1. B 2. A 3. B 8. B 9. B 10. C 11. D 12. D 二.填空题:13. (??, ?1) ? (?1,1) ? (3, ??) 15. (??, ?1) ? (2, ??) 4. B 5. D 6. C 7.

14. y=3x-5

? 2? ,? ) 16.[0, ) ? [ 2 3

三.解答题:
x 17. 证明:设 f ? x ? ? e ? 1 ? x ?

1 2 x , 则 f ' ?x? ? e x ? 1 ? x ,令 g ( x) ? e x ? 1 ? x, 则 2

g ' ( x) ? e x ? 1,
当 x ? 0 时, g ' ?x ? ? e x ? 1 ? 0 ,∴ g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,而 g (0) ? 0 ,
x ∴ f ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,又 f (0) ? 0, ∴ e ? 1 ? x ?

∴ g ?x ? ? g (0) ? 0, g ( x) ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,即 f ' ( x) ? 0 在 ?0,??? 恒成立.

1 2 x ? 0, 即 x ? 0 时, 2

ex ? 1? x ?
18.

1 2 x 成立. 2

解 : f ' ( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b ? f ' (?2) ? 3(?2) 2 ? 2a(?2) ? b ? 0 ?12 ? 4a ? b ? 0 又f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? ?3? a ? 1, b ? ?8 又f ( x)过(1, 0)点,?13 ? a ?12 ? b ?1 ? c ? 0 ?c ? 6

?3a ? 2b ? 3 ? 0, ?3a ? 2b ? 3 ? 0. 3 2 解得 a ? 1, b ? 0 .∴ f ( x) ? x ? 3x, f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) .令 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?1, x ? 1 . 若 x ? (??, ? 1) ? (1, ? ?) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (??, ? 1) 上是增函数, f ( x) 在 (1, ? ?) 上是增函数.若 x ? (?1, 1) , 则 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 (?1, 1) 上是减函数. 所以, f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值. ( Ⅱ ) 解 : 曲 线 方 程 为 y ? x 3 ? 3x , 点 A(0, 16) 不 在 曲 线 上 . 设 切 点 为 3 2 M ( x0 , y0 ) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 .因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的方
19.(Ⅰ) 解:f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 3 , 依题意,f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 , 即?
2
2 程为 y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 ) 3 2 3 注意到点 A (0, 16) 在切线上, 有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x0 ? ?8 , 解得 x0 ? ?2 .

所以,切点为 M (?2, ? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 .
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2 a 20. 解: (1)f ' ( x) ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3a( x ? )( x ? 1), f ( x) 极小值为 f (1) ? ? a 2

(2)①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? ?3( x ? 1)2 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ②若 a ? 0 , ? f ( x) 极大值为 f (1) ? ?
? f ( x) 的图像与 x 轴有三个交点;

a ? 0, 2

2 f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 0 , a

③若 0 ? a ? 2 , f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; ④若 a ? 2 ,则 f ' ( x) ? 6( x ? 1)2 ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;
2 1 3 3 ⑤若 a ? 2 ,由(1)知 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ?4( ? ) 2 ? ? 0 ,? f ( x) 的图 a a 4 4 像与 x 轴只有一个交点;

综上知,若 a ? 0, f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0 , f ( x) 的图像与 x 轴 有三个交点。
3 3 21. (Ⅰ)∵ f ( x ) 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) 即 ?ax ? bx ? c ? ?ax ? bx ? c ∴ c ? 0

∵ f '( x) ? 3ax2 ? b 的最小值为 ?12 ∴ b ? ?12 又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为
1 6

因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . (Ⅱ) f ( x) ? 2x3 ?12x .
f '( x) ? 6x2 ?12 ? 6( x ? 2)( x ? 2) ,列表如下: ( 2, ??) (? 2, 2) ? 2 2 ? f '( x) 0 0 ? ? f ( x) 极大 极小 所以函数 f ( x) 的单调增区间是 (??, ? 2) 和 ( 2, ??)

x

(??, ? 2)

∵ f (?1) ? 10 , f ( 2) ? ?8 2 , f (3) ? 18 ∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2
22. 解 (I) f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点 , 所以
2

f ?(1) ? 0,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6

? ? 2 ?? (II) 由 (I) 知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ? ? ? 当 m ? 0 ? ? m ??
时,有 1 ? 1 ?
2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

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x
f ?( x )

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?

1?

2 m

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?

1 0 极大值

?1, ???
?0

?0

0 极小值

?0

f ( x)

调调递减

单调递增

单调递减

2 2? ? 故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? ? 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增, m m? ?

在 (1, ??) 上单调递减.
2 ( III ) 由 已 知 得 f ?( x) ? 3m , 即 m x ?2 ( m ? 1 ) x? 2? 又 0m?0 所 以

x2 ?

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? 即 ① 设 m m m m 1 2 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? , 其 函 数 开 口 向 上 , 由 题 意 知 ① 式 恒 成 立 , 所 以 m m

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 ? ? m ? 0 ?? m m ? 3 3 ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0
? 4 ? 即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? ? 3 ?

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