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非课改区2010届高三上学期第三次检测(数学理)



高三上学期数学理科测试(3)
[原人教版] 命题范围— 数 列
本 试 卷 分 第 Ⅰ 卷 ( 选 择 题 ) 和 第 Ⅱ 卷 ( 非 选 择 题 ) 两 部 分 , 共 150 分 ; 答 题时间 150 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号 填 在 题 后 的 括 号 内 ( 本 大 题 共 12 个小题, 每小题 5 分, 共 60 分) . 1. 若 等 差 数 列 { an } 的 前 三 项 和 ( C.5 D.6 ( ) )

S 3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a2 等于
A.3 B.4

2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A. C.36 D.27 63

B . 45

3.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ?

1 ,则 S5 等于 n(n ? 1)
C.





A.1

B.

5 6

1 6

D.

1 30
( )

4.已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

5.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3) ,则当 n ? 1 时, ?

log2 a1 ? log2 a3 ?? ? log2 a 2n? 1 ?
A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)
2

( C. n
2



D. (n ? 1)

2

6.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 S =3 ,则 9 = S3 S6
C.





A.2

B.

7 3

8 3

D.3 )

2 7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m= (

A.38

B.20

C



10

D.9 8 . 古 希 腊 人 常 用 小 石 子 在 沙 滩 上 摆 成 各 种 性 状 来 研 究 数,例如:

他 们 研 究 过 图 1 中 的 1 , 3 , 6 , 10 , … , 由 于 这 些 数 能 够 表 示 成 三 角 形 ,将其称为三角形数;类似地,称 图 2 中的 1,4 ,9,16…这样的数

成 为 正 方 形 数 。 下 列 数 中 及 时 三 角 形 数 又 是 正 方 形 数 的 是 ( A.289 C.1225 9 . 已 D.1378 知 )
[来源:Z。xx。k.Com]

B.1024

?an ?











, , ( )

a1 + a3 + a5 =105 a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是
A.21 B.20
2 2

[来源:学|科|网]

10.数列 {an } 的通项 an ? n (cos A. C. 495

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为 3 3
470

C.19

D. 18





B.490

D. 510

11.已知函数 f ( x) ? log2 x ,等比数列 {an } 的首项 a1 ? 0 ,公比 q ? 2 ,若

f (a2a4a6a8a10 ) ? 25




f( ?
2

2f ( 1 ?

?

?

a)

2

?

( A. 2 12 . 已
1004?2008

) B. 2
1004?2009

C. .

21005?2008
规 定

D. 2 给

1005?2009







f ( x) ? 3x ? 2 , ? R x











数 x 0 ,赋值 x1 ? f ( x0 ) , 若 x1 ≤ 244 ,则继续赋值 x2 ? f ( x1 ) ,…,以此类推,若 xn ?1 ≤244,则 xn ? f ( xn?1 ) , 否则停止赋值,如果得到 xn 称为赋值了 n 次 (n?N* ) .已知赋值 k 次后该过程停止,则

x 0 的取值范围是
( A. (3k ?6 , k ?5 ] 3 B. C. (3k ?6 ? 1, k ?5 ? 1] 3 D. (34?k ? 1, 5?k ? 1] 3 )

(35?k ? 1, 6?k ? 1] 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) .

13. an }为公比 q>1 的等比数列, a2007 和 a2008 是方程 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 的两根, 设{ 若 则 a2009 ? a2010 ?
14.设等比数列 {an } 的公比 q ?


1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4


15.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 ,S8 ? S4 ,S12 ? S8 ,S16 ? S12 成等差数列. 类 比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , ,

T16 成等比数列. T12

? an ? ,当an为偶数时, 16.已知数列 ?an ? 满足: a1=m (m 为正整数) an ?1 ? ? 2 , ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
若 a6=1,则 m 所有可能的取值为 。
[来

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分) .
源:学*科*网 Z*X*X*K]

17. (12 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? ( 1 ) 设

1 n

n ?1 , 2n

bn ?

an n









{bn }












(2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

18. 1 ( 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
*

2 分) Sn 为数列 {an } 设

(1) 求 a1 及 an ;

[来源:Zxxk.Com]

(2)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

19. (12 分)设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下: 对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (1)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(2)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式.

20. (12 分)等

比数列{ an }的前 n 项

和为 Sn , 已知对任意的 n ? N 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn ?

?

,点 (n, Sn) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r

n ?1 (n ? N ? ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 4an

[来源:学科网 ZXXK]

? 21. 12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 n ? N (

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4 (3)证明:
b ?1 b2 ?1 b3 ?1

4

?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,证明: ?an ? 是等差数列;

1 1 1 2 ? ??? ? ?n ? N? ? . a2 a3 an?1 3

22





14





















列 {an} , 1 ? a, a2 ? b , a 且 对 满 足

m?

n?

p? 的

q 正





m,

n,

p, 都

q有

a p ? aq am ? an ? . ( ? am ? an) ( ? a p ? aq) 1 1

(

1

)

(

1

)

(1)当 a ?

1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5
1

(2) 证明: 对任意 a , 存在与 a 有关的常数 ? , 使得对于每个正整数 n , 都有

?

? an ? ?.
[来

源:学科网]

参考答案
[来源:Zxxk.Com]

一.选择题 1.A; 4.B; 5. C
2 得 an ? 2 2 n , an ? 0 ,则 an ? 2 n ,

2.

B;

3.B;

; a5 ? 2 由 a

n? 5

? 22n( ? 3 n )

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 .

S6 (1 ? q3 ) S3 6.B;设公比为 q ,则 =1+q3=3 ? q3=2, ? S3 S3
于是

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

[来源:学+科+网]

7. 因 C;
2 所以, am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,

为 ?an ? 是等差数列,

得:2 a m - a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即
2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38, 2

即(2m-1)×2=38,解得 m=10. 8.C;由图形可得三角形数构成的数列通项 an ?

n(n ? 1) ,同理可得正方形数构成的数列 2 n(n ? 1) 通项 bn ? n2 ,则由 bn ? n2 (n ? N ? ) 可排除 A、D,又由 an ? 知 an 必为奇数. 2

9.B;由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 =99 得 3a4 ? 99 即 a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n , 由?

?an ? 0 得 n ? 20 . an?1 ? 0 ?
2

10.A;由于 {cos

n? n? ? sin 2 } 以 3 为周期,故 3 3

[来源:学科网 ZXXK]

S30 ? (?

12 ? 22 42 ? 52 282 ? 292 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? 302 ) 2 2 2

? ?[?
k ?1

10

10 (3k ? 2)2 ? (3k ? 1)2 5 9 ?10 ?11 ? (3k )2 ] ? ?[9k ? ] ? ? 25 ? 470 。 2 2 2 k ?1

11.B; 12.B. 二、填空题 13.18;

[来源:Z。xx。k.Com]

14.15; 对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 . 1? q a4 q (1 ? q)


15.

T8 T12 ; 对于等比 , T4 T8

列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,
源:学科网 ZXXK]

T8 T12 T16 , 成等比数列. , T4 T8 T12

[来

16.4,5,32; (1)若 a1 ? m 为偶数,则 ①当

a1 a m m a3 ? 2 ? 为偶, 故 a2 ? 2 2 2 4


[来源:学科网]

m ? 1 ? m ? 32 32 3 m ?1 m 3 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 4 4 4 3 m ?1 4 故 ? 1 得 m=4. 4
(2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ?

m m m 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 8 32 4

3m ? 1 必为偶数 2

?????? a6 ?
三.解答题

3m ? 1 3m ? 1 ,所以 =1 可得 m=5. 16 16

17.解: (1)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * (n? N ) . 2 n ?1

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (2)由(I)知 an ? 2n ?

n n n n k k ,? Sn = ? (2k ? k ?1 ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 n ?1 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 2

[来源:Z*xx*k.Com]



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

n

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

n

[来源:Zxxk.Com]

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 . n ?1 2 2

18.解: (1)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经检验, n ? 1, 对( ? )式也成立,
2

? an ? 2kn ? k ? 1 .

(2)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 , 对任意的 m ? N ? 成立, ? k ? 0或k ? 1 . 19. (1)由题意,得 an ? ∴

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 2 3 2 3 3

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3 m ?1 . 2
*

(2)由题意,得 an ? 2n ? 1,对于正整数,由 an ? m ,得 n ?

? 根 据 bm 的 定 义 可 知 , 当 m ? 2k ? 1 时 , bm ? k k bm ? k ?1? k ? * ? . N

?

N ; 当 m ? 2k 时 , ?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?
[来源:学科网]

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2
?

20.解: (1)因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为
x

常数)的图像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r ,

[来源:Z,xx,k.Com]

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? b ? r ? (b
n

n?1

? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,


又因为{ an }为等比数列,



r ? ?1 , 公比为 b , 所以 an ? (b ?1)bn?1
(2)当 b=2 时, an ? (b ?1)b
n?1

? 2n?1 , bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 n ?1 1 2 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 . 2 2 2 2 2
则 Tn ? 21.解: (1)? an?1 ? 2an ? 1 ,? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 故数列 {an ? 1} 是首项 2,公比为 2 的等比数列。
[来源:学。科。网] [来源:学.科.网]



? an ? 1 ? 2n , an ? 2n ? 1 .
(2)? 4b1 ?14b2 ?14b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,? 4
( b1 ? b2 ??? bn ? n )

? 2 nbn

2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn ① 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ?b n?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ②
②—①得 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ③

? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? nbn?2 ④

[来源:Zxxk.Com]

④—③得 2nbn?1 ? nbn ? nbn?1 ,即 2bn?1 ? bn ? bn?1 所以数列 {bn } 是等差数列 (3)?

1 1 1 1 1 ? n?1 ? n?1 ? a n 2 ? 1 2 ? 2 2 a n?1

设S ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ( ? ??? ) ? ? (S ? ) ,则 S ? a 2 a3 an?1 a 2 2 a 2 a3 an a2 2 a n ?1

S?
22

2 1 2 1 2 ? ? ? ? . a 2 an?1 3 a n?1 3


[来源:学科网]



: (

1





a p ? aq am ? an 得 ? (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
1 4 a1 ? an a2 ? an?1 ? . 将 a1 ? , a2 ? 代入化简得 2 5 (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a2 )(1 ? an?1 )

an ?

2an ?1 ? 1 1 ? an 1 1 ? an?1 . 所以 ? ? , 1 ? an 3 1 ? an?1 an ?1 ? 2 1 ? an 1 ? an 1 3n ? 1 } 为等比数列,从而 ? n , 即 an ? n . 3 ?1 1 ? an 1 ? an 3
3n ? 1 满足题设条件. 3n ? 1

故数列 {

可验证, an ?

(2)由题设

am ? an 的值仅与 m ? n 有关,记为 bm?n , 则 (1 ? am )(1 ? an )

bn?1 ?

a1 ? an a ? an ? . (1 ? a1 )(1 ? an ) (1 ? a)(1 ? an )

[来源:学,科,网]

考察函数 f ( x) ?

a?x ( x ? 0) ,则在定义域上有 (1 ? a)(1 ? x)

? 1 a ?1 ?1 ? a , ? ? 1 f ( x) ? g (a) ? ? , a ?1 . 2 ? ? a ?1 ? a , 0 ? a ? 1 ?
故对 n ? N ,
*

bn?1 ? g (a) 恒成

立.

[来源:Zxxk.Com]

又 b2 n ?

1 2an ? g (a) ,注意到 0 ? g ( a ) ? ,解上式得 2 2 (1 ? an )

1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a) 1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a) g (a) ? ? an ? , g (a) g (a) 1 ? g (a) ? 1 ? 2 g ( a)
取? ?
[来源:学科网 ZXXK]

1 ? g ( a ) ? 1 ? 2 g ( a) ,即有 g ( a)

1

?

? an ? ?. .



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