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椭圆的几何性质第二课时



椭圆的几何性质(2)

标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

r />|x|≤ b,|y|≤ a
同前

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)

(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c) 同前 同前 同前

半轴长
离心率 a、b、c的关 系

长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

复习回顾 练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则其离心率

2 2



2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角 形,则其离心率为
1 2



3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分,则其

离心率为

1 3



巩固练习
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列,
3 则其离心率e=__________ 5

5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于 四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组 成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率 3 ? 1 。

例5 如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕 其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分。过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一 个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线,经过旋转椭圆面反 射后集中到另一个焦点F2. 已知BC ? F1 F2 , F1 B ? 2.8cm, F1 F2 ? 4.5cm,

求截口BAC所在椭圆的方程。 解:建立如图所示的直角坐标系, x2 y2 设所求椭圆方程为 ? 2 ? 1. 2 a b
在Rt?BF1F2中,2 B ? F F1B ? F1F2 ? 2.82 ? 4.52
2 2

y B A F1 C o F2 x

由椭圆的性质知,1 B ? F2 B ? 2a, 所以 F

1 1 a ? ( F1 B ? F2 B ) ? (2.8 ? 2.82 ? 4.52 ) ? 4.1 2 2

b ? a ?c ?
2 2

x2 y2 4.1 ? 2.25 ? 3.4 ?所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 4.1 3.4
2 2

数学运用

课堂练习 数学运用
例2:
x2 y 2 椭圆 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0)的左焦点

F1 (?c, 0),
.

A(?a,0), B(0, b) 是两个顶点,如果到直线AB的距
离为
b ,则椭圆的离心率e= 7

x2 y2 练习:设M是椭圆 2 ? 2 ? 1上一点,F1 , F2为焦点, a b 如果?MF1 F2 ? 60?, ?MF2 F1 ? 30?, 球椭圆离心率。

探究思考
前面我们学习了直线与圆的位置关系,那么你能 推出直线与椭圆的位置关系吗?

种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

数学运用 直线与椭圆的位置关系的判定
由方程组:

代数方法 Ax+By+C=0
x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b

mx2+nx+p=0(m≠ 0)
= n2-4mp >0 =0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切

<0

相离

题型一:直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
6 当k = ? 时有一个交点 3 当k> 6 6 或k<时有两个交点 3 3

x2 y2 ? ?1 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )

6 6 当? k< 时没有交点 3 3

A.没有公共点
C.两个公共点

B.一个公共点
D.有公共点

x 2 y2 例3:直线y=kx+1与椭圆 ? ? 1 5 m

数学建构

恒有公共点,

求m的取值范围。
x2 y2 ? 1 的左、右 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积. 分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

数学探讨
练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F,

(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.



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