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2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)



2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上. ) 1.已知点 P(4,1)在函数 f(x)=loga(x-b) (b>0)的图象上,则 ab 的最大值是
2



解:由题意知,loga(4-b)=1,即 a+b

=4,且 a>0,a≠1,b>0,从而 ab≤ 当 a=b=2 时,ab 的最大值是 4. π 43π 2.函数 f(x)= 3sin(2x- )在 x= 处的值是 4 24 .

(a+b) =4, 4

π 43π π 40π 10π 4π 43π 4π 3 解:2x- = - = = =2π+ ,所以 f( )= 3sin =- . 4 12 4 12 3 3 24 3 2 3.若不等式|ax+1|≤3 的解集为{x |-2≤x≤1},则实数 a 的值是 解:设函数 f(x)=|ax+1|,则 f(-2)= f(1)=3,故 a=2. 4.第一只口袋里有 3 个白球、7 个红球、15 个黄球,第二只口袋里有 10 个白球、6 个红球、 9 个黑球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 . .

3×10 30 7×6 42 解:有两类情况:同为白球的概率是 = ,同为红球的概率是 = ,所求的 25×25 625 25×25 625 72 概率是 . 625 5.在平面直角坐标系 xOy 中,设焦距为 2c 的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与椭圆 2+ 2=1 有相同 的离心率 e,则 e 的值是 解:若 c>b,则 2= .

x2 y2 a b

x2 y2 b c

c2 c2-b2 c2 b2-c2 -1+ 5 ,得 a=b,矛盾,因此 c<b,且有 2= 2 ,解得 e= . 2 a c a b 2

6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 B1D 与平面 A1BC1 交于 E 点.记四棱锥 E-ABCD 的体积为 V1, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V2, 则 的值是 .

V1 V2
A1

D1

C1 B1 E D C B (第 6 题图)

A

1

D1

O B1 E D

C1

解:记四棱锥 B1-ABCD 的体积为 V. 2 如图,DE= DB1, 3 2 1 V1 2 从而 V1= V.又 V= V2,所以 = . 3 3 V2 9

A1

C B (第 6 题图)

A

7.若实数集合 A={31x,65y}与 B={5xy,403}仅有一个公共元素,则集合 A∪B 中所有元素 之积的值是 .

解:因为 31x×65y=5xy×403=2015xy.若 xy≠0,则集合 A 和集合 B 中有一组相等,则另 一组也必然相等,这不合题意.所以 xy=0,从而 A∪B 中所有元素之积的值为 0. 8.设向量 a=(cosα ,sinα ),b=(-sinα ,cosα ).向量 x1,x2,…,x7 中有 3 个为 a, 7 其余为 b;向量 y1,y2,…,y7 中有 2 个为 a,其余为 b.则 ? xiyi 的可能取值中最小的 i=1 为 .

7 解:因为 a·a=b·b=1,a·b=0,所以 ? xiyi 的最小值为 2. i=1 9.在 3×3 的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个 方格中的数分别为 1, 2, 2015, 则幻方中其余 6 个数之和为 .
1 2

解:如图,设幻方正中间的数为 x,则由题意知
2015

a=-2012,从而对角线上三个数的和为 x-2011.
(第 9 题图)

因此 b=x-2014,c=-4026,d=-2013,e=x+2014. 2011 由 b+e+x=x-2011,解得 x=- . 2 2011 18099 这 9 个数的和为 3×(- -2011)=- , 2 2 18099 22135 所以幻方中其余 6 个数之和为- -2018=- . 2 2

e d a

c x 2015

1 2 b

(第 9 题图)

10.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是满足 x≥0,y≥0,x+y+[x]+[y]≤19 的点(x,y)形 成的区域(其中[x]是不超过 x 的最大整数) .则区域 D 中整点的个数为 解:区域 D 中整点的个数为 1+2+3+…+10=55. .

2

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11. 在等比数列{an}中, a2=2, q 是公比. 记 Sn 为{an}的前 n 项和, Tn 为数列{a2 若 n}的前 n 项和.

S2n=2Tn,求 q 的值.
解:若 q=1,则 an=a2=2,a2 n=4,则 S2n=4n,Tn=4n,S2n≠2Tn.
n 若 q=-1,则 an=2×(-1) ,a2 n=4,则 S2n=0,Tn=4n,S2n≠2Tn.

……………………………… 5 分 2 4 2n 2n ×(1-q ) 2×(1-q ) q q n-2 2n-4 若 q≠±1,则 an=2q ,a2 n=4q ,从而 S2n= 1-q ,Tn= 1-q2 . ……………………………… 15 分 由 S2n=2Tn,则 4

q(1+q)

-1± 17 2 =1,q +q-4=0,解得 q= . 2 ……………………………… 20 分

-1+ 17 -1- 17 综上,q 的值为 和 . 2 2

12.如图,△ABC 中,AB>AC,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,且 BD=CE.∠BAC 的外角平分线 与△ADE 的外接圆交于 A、P 两点. 求证:A、P、B、C 四点共圆.
C

E

A P

D B

证明:如图,连结 PD,PE,PC. 因为四边形 APDE 是圆内接四边形, 所以∠PAD=∠PED,∠PAF=∠PDE. 又因为 AP 是∠BAC 的外角平分线, 所以∠PAD=∠PAF, 从而∠PED=∠PDE, 故 PD=PE. 又∠ADP=∠AEP, 所以∠BDP=∠CEP.
C

(第 12 题图)

E

D A F P B

……………………………… 10 分 (第 12 题图)

又因为 BD=CE,所以△BDP≌△CEP,从而∠PBD=∠PCE,即∠PBA=∠PCA, 所以 A、P、B、C 四点共圆. ……………………………… 10 分
3

13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O1、圆 O2 都与直线 l:y=kx 及 x 轴正半轴相切.若 两圆的半径之积为 2,两圆的一个交点为 P(2,2),求直线 l 的方程.
y l

解:由题意,圆心 O1,O2 都在 x 轴与直线 l 的角平分线上. 若直线 l 的斜率 k=tanα, α 2t 设 t=tan ,则 k= 2. 2 1-t 圆心 O1,O2 在直线 y=tx 上, 可设 O1(m,mt),O2(n,nt). 交点 P(2,2)在第一象限,m,n,t>0. 所以⊙O1:(x-m) +(y-mt) =(mt) , ⊙O1:(x-n) +(y-nt) =(nt) ,
?(2-m) +(2-mt) =(mt) , ?m -(4+4t)m+8=0, 所以? 即? 2 ……………… 8 分 2 2 2 ?(2-n) +(2-nt) =(nt) , ?n -(4+4t)n+8=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

P O2 O1 O (第 13 题图) x

……………………………… 4 分

所以 m,n 是方程 X -(4+4t)X+8=0 的两根,mn=8. 1 1 2 由半径的积(mt)(nt)=2,得 t = ,故 t= .……………………………… 16 分 4 2 2t 1 4 4 所以 k= = ,直线 l:y= x. ……………………………… 20 分 2= 1-t 1 3 3 1- 4 14.将正十一边形的 k 个顶点染红色,其余顶点染蓝色. (1)当 k=2 时,求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数; (2)k 取何值时,三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少?并说明理由.

2

解: (1)设正十一边形的顶点 A1,A2,A3,…,A11,则易知其中任意三点为顶点的三角形都不 是正三角形. 以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算:以 Ai(i=1,2,3,…,11)为顶角顶 11-1 点的等腰三角形有 =5 个,这些三角形均不是等边三角形,即当 j≠i 时,以 Aj 为顶 2 角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形. 故所有的等腰三角形共有 5×11=55 个. …………………… 5 分

当 k=2 时,设其中 Am,An 染成红色,其余染成蓝色. 以 Am 为顶角顶点的等腰三角形有 5 个,以 Am 为底角顶点的等腰三角形有 10 个;同时
4

以 Am,An 为顶点的等腰三角形有 3 个,这些等腰三角形的顶点不同色,且共有(5+10)×2 -3=27 个. 注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色,故所求三个顶点同为蓝色的等腰 三角形有 55-27=28 个. ………………………… 10 分

(2)若 11 个顶点中 k 个染红色,其余 11-k 个染蓝色.则这些顶点间连线段(边或对角 线)中,两端点染红色的有

k(k-1)
2

条,两端点染蓝色的有

(11-k)(10-k) 条,两端点染 2

一红一蓝的有 k(11-k)条.并且每条连线段必属于且仅属于 3 个等腰三角形. 把等腰三角形分 4 类:设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有 x1 个,三个顶点均 为蓝色的等腰三角形有 x2 个,两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有 x3 个,两 个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有 x4 个,则按顶点颜色计算连线段, 3x1+x3=3×

k(k-1)
2



① ② ③

(11-k)(10-k) 3x2+x4=3× , 2 2x3+2x4=3×k(11-k),

3 由①+②得 3(x1+x2)+x3+x4= [k(k-1)+(11-k)(10-k)], 2 1 1 2 用③代入得 x1+x2= [ k(k-1)+(11-k)(10-k)-k(11-k)]= (3k -33k+110). 2 2 1 当 k=5 或 6 时,(x1+x2)min= (5×4+6×5-5×6)=10. 2 即顶点同色的等腰三角形最少有 10 个,此时 k=5 或 6.………… 20 分

5



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