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4、任意角的三角函数与求值计算



第4章 任意角的三角函数
与求值计算

4.1 角的概念的推广与弧度制

引言
1.初中所学角是如何定义的?

具有公共顶点的两条射线组成的图形。

2.初中学习过哪些角?
锐角、直角、钝角、平角、和周角

3.初中学习的角的范围?

0? ? ? ? 360?

引言

时钟慢了10分钟,应如何校? 分针应转多少度?

一、任意角
终边

B

O
顶点

始边

A

角:一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图 形.

一、任意角
正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线不旋转时形成的角

120?

60?

?240

?

420?

一、任意角
y

I II

O

x

III
IV

象限角:以角的顶点为原点,角的始边为 x 轴,终边 落在第几象限,就说这个角是第几象限角.

试一试
? ?

说出下列角分别是第几象限角
? ? ? ? ? ?

60 ,135 , 240 ,300 ,127 ,195 , ?40 , ?315 .

I

II

III

IV y

II

III

IV

I

(90? ,180? )
O

(0? ,90? )

x
(270? ,360? )

(180? , 270? )

? ? ? 范围在 ? 0 ,360 ? ?内

想一想
30 ,390 , 750 , ?330 分别是第几象限角?
? ? ? ?

它们有何关系? (终边相同) 你能写出与30?角终边相同的角的集合吗?

y

O

x

一、任意角
一般地,所有与 α 角终边相同的角有无数个,
它们可以表示为 ? ? 360? ? k

(k ? Z )

用集合可表示为 ?? | ? ? ? ? 360? ? k , k ? Z ?

范例1 在0 ~360 范围内,找出与下列角终边相
同的角,并判断它们是第几象限角.
?

0

0

(1) 950 25?

(2) ? 500

?

范例2 写出终边在 y 轴上的角的集合.

作业布置
书本 P72 练习4.1.1

二、弧度制
衡量角度大小以前我们用的是度 ( ) ,亦即角度制,
我们现在引入另一种衡量单位:弧度 (rad).
o

角度和弧度的换算为:? rad ? 180?
所以有

1 rad ?

180

?

1 ?
?

?
180

?

? 57 18?
?

rad ? 0.01745 rad

范例3 把角度、弧度相互转化.
(1)180? ? (
(2)67?30? ? (

)rad
)rad

7? (3) ?( 8

)

?

熟记特殊角弧度制表示,P74.

范例4 把下列角转换成弧度制.
(1)135
?

(2)240?

(3)330

?

(3)765

?

范例5 把下列角转换成角度制.
5 (1) ? 4 5 (2) ? 3 17 (3) ? 6

范例6 求公路弯道部分的弧MN的长(精确到1m).

80 45m

?

l ? ? ?r

3.2 任意角的三角函数

一、任意角的三角函数定义
y
r
?的终边

正弦
余弦

P ( x, y )

o
r = x2 ? y 2

x
正切

y sin ? ? ; r x cos ? ? ; r y tan ? ? . x

一、任意角的三角函数定义
y
r
?的终边
P ( x, y )

?的终边
P ( x, y )

y

o
r
P ( x, y )

y

r

x

o

y

x
r
P ( x, y )

o

x

o

x

y sin ? ? r x cos? ? r y tan ? ? x

?的终边

?的终边

? ? ?

?

?
?
?

?
?

? ?

?

范例1

已知角α的终边上一点P(-3,-4), 求α的正弦、余弦和正切值.

解: ? x ? ?3, y ? ?4,
? r ? (?3) ? (- 4) ? 5.
2 2

o
r
P(?3, ?4)

y

x

4 ? sin ? ? ? , 5 3 cos ? ? ? , 5 4 tan ? ? . 3

讨论

讨论正弦、余弦和正切函数的定义域、 值域?

三角函数

定义域

值域

y ? sin x

R R
{ x | x ? k? ?

[?1,1]
?
2

y ? cos x
y ? tan x

[?1,1]
, k ? Z}

R

一、任意角的三角函数定义
y
r
?的终边

正割 余割

P ( x, y )

o
r = x2 ? y 2

x
余切

r sec ? ? ; x r csc ? ? ; y x tan ? ? . y

范例2 求下列各角的正弦、余弦和正切值.
(1) 0

(2)

?
2

讨论


讨论特殊角的三角函数值.

0
函数值

?

30

?

45

?

60
3 2

?

90 180 270 360

?

?

?

?

sin a

0

1 2
3 2 3 3

2 2 2 2

1
0

0

?1
0

0

cos a
tan a

1
0

1 2
3

?1
0

1
0

1

范例3 计算
(1)3sin 900 ? 2cos 0 0 ? 5sin 270 0 ? 2 tan 45 0 ? tan180 0

3? ? (2)5cos ? 3sin ? 4sin ? 4 tan 0 ? 3cot 2 2 2 4

?

?

范例4 判断下列三角函数值的符号.
(1) sin 250
0

?

(2) tan(? ) 4

?

?

(3) cos8500

(4)sin(?6720 )

?

?

范例5 根据下列条件,确定角 α 所在的象限.
(1)sin ? ? 0且 cos ? ? 0
(2)sin ? ? tan ? ? 0



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