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2013高考数学模拟题



2013 届高考数学模拟试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
2 1.“ x ? 5 x ? 4 ? 0 ”是“ x ? 2 ? 1 ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
?

C.充要条件



D.既不充分也不必要条件

2.如图,已知幂函数 y ? x 的图像过点 P(2, 4) ,则图中阴影部分的面积等于( ) A.

16 3

B.

8 3

C.

4 3

D.

2 3


??? ??? ? ? 3.如图,D、E、F 分别是 ?ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则 AF ? DB ? ( ??? ? A. FD

B. FC

C. FE

D. BE

y P

y E

O

2

x
第 3 题图

o

F

G

x

第 2 题图

第 4 题图

x A 4.设 f ?x ? ?A cos ?? ? ? ?? ? 0, ? ?0,0 ? ?? ?

? 为奇函数,该函数的部分图象如图所


示, ?EFG 是边长为 2 的等边三角形,则 f (1) 的值为 ( A. ?

3 2
2

B. ?

6 2

C. 3

D. ? 3

5.设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与 x 轴的交点为 Q,过点 F 作直线交 抛物线 C 于 A、B 两点,若 ?QBF ? 90 ,则|AF|—|BF|=(
?

) D. 不确定 )

A.p

B.2p

C.4p

6.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一或 最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种

7. 函数 y ? f (x) 的定义域是 (??,??) , 若对于任意的正数 a, g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x) 是 定义域上的增函数,则 y ? f (x) 的图像可能是

第 1 页 共4页

8.

平面 α、β、γ 两两互相垂直,点 A∈α,点 A 到 β、γ 的距离都是 3,P 是 α 内的动点, P 到 β 的距离是到点 A 距离的 2 倍,则点 P 的轨迹上的点到 γ 的距离的最小值是( A. 3- 3 B.3+ 3 C.1 D.3 ) )

9.设 Q(x, y ) 是曲线 C : A.小于 10

x2 ? 25

y2 ? 1 上的点, F1 (?4, 0), F2 (4, 0) ,则 QF1 ? QF2 ( 9
C.不小于 10 D.不大于 10

B.大于 10

10.在 ?ABC 中, E , F 分别是 AC , AB 的中点,且 3 AB ? 2 AC ,若 的最小值为( A. ) B.

BE ? t 恒成立,则 t CF

3 4

7 8

C. 1

D.

5 4

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题。每小题 5 分, d 11. 某程序如图所示,则输出结果是 12. 若 f ( x) ? (a, b, c, d ? R) , 2 ax ? bx ? c 其图象如图所示, 则 a : b : c : d ?

13. 某校高三 (1) 班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如下,据此解答如下问题:
茎 叶 5 6 7 8 9 5 8 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9
0.016 0.008 50 60 70 80 90 100 分数 0.04 频率 组距

0.028

(1)频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高为

第 2 页 共4页

(2)若要从分数在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率为 14.在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序” .类似地,我们在复 数集 C 上也可以定义一个称为 “序”的关系,记为“ ? ”.定义如下:对于任意两个复数

z1 ? a1 ? b1i ,z2 ? a2 ? b2i( a1 , b1 , a2 , b2 ? R , 为虚数单位) “ z1 ? z2 ”当且仅当 “ a1 ? a2 ” , i
或“ a1 ? a2 且 b1 ? b2 ”.下面命题为假命题的是(填入满足题意的所有序号) ( ... ① )

1? i ? 0

② 若 z1 ? z2 , z2 ? z3 ,则 z1 ? z3 ③ 若 z1 ? z2 ,则对于任意 z ? C , z1 ? z ? z2 ? z ④ 对于复数 z ? 0 ,若 z1 ? z2 ,则 z ? z1 ? z ? z2 15. (选修 4-1:几何证明选讲)略 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t ? 3, . (t为参数) 以直角坐标系 xOy 中 ? y ? 3t ,
2

的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 ? cos? ? 3 ? 0 ,则圆 心 C 到直线 l 距离为

三、解答题。本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (1)求 sin 2? ? tan ? 的值; (2) 若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? , 求函数 y ? 3 f (

?
2

? 2 x) ? 2 f 2 ( x)

2π 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. ? 3 ? ? ? 18.(本小题满分 12 分) 某医疗设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间 Q (单位:年)有关. 若 Q ? 1 , 则销售利润为 0 元; 1 ? Q ? 3 , 若 则销售利润为 100 元; Q ? 3 , 若 则销售利润为 200 元. 设
每台该种设备的无故障使用时间 Q ? 1 , 1 ? Q ? 3 及 Q ? 3 这三种情况发生的概率分别为

p1 , p 2 , p3 ,又知 p1 , p 2 是方程 25 x 2 ? 15 x ? a ? 0 的两个根,且 p 2 ? p3 .
(Ⅰ) 求 p1 , p 2 , p3 的值; (Ⅱ) 记 ? 表示销售两台这种设备的利润总和,求 ? 的分布列和期望。 19.(本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形,
第 3 页 共4页

C

C1

4 8 主视图 4 4 俯视图 (1)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (2) 设? 为直线C1 N与平面CNB1所成的角,求 sin ? 的值 ; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P ,使 MP //平面 CNB1 并求 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x2+m,其中 m∈R.定义数列{an}如下:a1=0,an+1=f(an) ,n∈N*. (1)是否存在实数 m,使 a2,a3,a4 构成公差不为 0 的等差数列?若存在,请求出实数 m 的值,若不存在,请说明理由;
A

侧视图
B
M

B1

N

BP 的值 . PC

1 时, 数列{an}单调递增,且总能找到 k∈N*,使得 ak 大于 2010. 4 x2 21.(本小题满分 13 分)如图,已知椭圆 ? y 2 ? 1 内有一点 M ,过 M 作两条动直线
(2)求证:当 m>

2

AC、BD 分别交椭圆于 A 、C 和 B 、D 两点,若 AB ? CD ? BC ? AD . (1)证明: AC ? BD ; (2)若 M 点恰好为椭圆中心 O (i) 四边形 ABCD 是否存在内切圆?若存在,求其内切圆方程;若不存在,说明理由. (ii)求弦 AB 长的最小值.
Y B A D O X C C 第21题图 D X B A M Y

uur 2 u

uuu 2 r

uuu 2 r

uuu 2 r

22. ( 本 小 题 满 分 14 分) 已 知 函 数 f ( x) 是 在 (0,?? )上 每 一 点 处 均 可 导 的 函 数 ,若

xf / ( x) ? f ( x)在 (0, ??) 上恒成立。
(Ⅰ)①求证:函数 g ( x) ?

f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; x

②当 x1 ? 0, x2 ? 0 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ; (Ⅱ)已知不等式 ln( x ? 1) ? x 在 x ? ?1 且 x ? 0 时恒成立,求证:

1 n 1 1 1 ln(n ? 1)2 ? , (n ? N * ) ln 22 ? 2 ln 32 ? 2 ln 42 ? … ? 2 2 (n ? 1) 2(n ? 1)(n ? 2) 2 3 4
第 4 页 共4页

高三数学(理科)二 参考答案
一、选择题 1.B 2. B 3. D 4.D 5. B 二、填空题: 11. 24 12. 1: (?6) : 5 : (?8) 6. C 7. A 8.A 9. D 10. B

13.(1) 0.016 (2) 0.6

14.④ 15.

5 2

16.

5 3 2

三、解答题 17.解: (1)因为角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,所以

sin ? ?

3 3 1 , cos ? ? ? , tan ? ? ? 3 2 2

3 3 3 ? ?? ……………… 6 分 2 3 6 (2) ? f ( x) ? cos( x ? ? )cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x , x ? R ? sin 2? ? tan ? ? 2sin ? cos ? ? tan ? ? ?

? y ? 3 cos( ? 2 x) ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ?1 2 6 2? 4? ? ? 7? ?0 ? x ? ,? 0 ? 2 x ? ,?? ? 2 x ? ? 3 3 6 6 6 1 ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,??2 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 1 2 6 6 ? ? 2π ? 2 故函数 y ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上的值域是 2 ? 3 ? ……………… 12 分 [?2,1]
18. 解: (Ⅰ)由已知得 p1 ? p 2 ? p3 ? 1 .? p 2 ? p3 , ? p1 ? 2 p2 ? 1 .

?

?

? p1 , p 2 是方程 25 x 2 ? 15 x ? a ? 0 的两个根,

? p1 ? p 2 ?

3 1 2 .? p1 ? , p 2 ? p3 ? . 5 5 5

……………… 5 分

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,100,200,300,400.

1 1 1 1 2 4 P?? ? 0? = ? ? , P?? ? 100 ? = 2 ? ? ? , 5 5 25 5 5 25 1 2 2 2 8 2 2 8 P?? ? 200 ? = 2 ? ? ? ? ? , P?? ? 300 ? = 2 ? ? ? , 5 5 5 5 25 5 5 25 2 2 4 P?? ? 400 ? = ? ? . ……………… 9 分 5 5 25
随机变量 ? 的分布列为:

第 5 页 共4页

?
P

0

100

200

300

400

1 25

4 25

8 25

8 25

4 25
……………… 12 分

E? = 0 ?

1 4 8 8 4 ? 100 ? ? 200 ? ? 300 ? ? 400 ? =240. 25 25 25 25 25

19.解: (1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯 形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直。 ……………2 分 以 BA, BC, 1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, N BB 则 (4,4,0) B1 0, 8,0) C1 0,8,4) ,( ,( , C(0,0,4)∵ BN 1 ? NB1 =(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0 BN ? B1C1 =(4,4,0)·(0,0,4) =0 ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1,∴BN⊥平面 C1B1N; ………… 4 分

(II)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量, 则

?? ???? ? ?n2 ? CN ? 0 ?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ? ?? ? ? ? ?? ???? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0 ?

? ???? ? ? x ? y ? z ? 0 ?? ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

………………8 分

(III)∵M(2,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则 MP ? (?2,0, a ) , ∴ MP ? n2 ? MP ? n 2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 , ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

∵MP//平面 CNB1,

?

BP 1 ) ? ……12 分(用几何法参照酙情给分。 PC 3

20. (1)假设存在实数 m,使得 a2,a3,a4 构成公差不为 0 的等差数列.
a2=f(0)=m,a3=f(m)=m2+m,a4=f(a3)=(m2+m)2+m. 因为 a2,a3,a4 成等差数列, 所以 2a3=a2+a4, 所以,2(m2+m)=m+(m2+m)2+m, 化简得 m2+(m2+2m-1)=0, 解得 m=0(舍) ,m=-1± 所以存在 m=-1± . 经检验,此时 a2,a3,a4 的公差不为 0, ,使 a2,a3,a4 构成公差不为 0 的等差数列

第 6 页 共4页

(2)因为 又 m> ,m- >0. 所以单增。令 d=m由 an-an-1≥d, an-1-an-2≥d, … a2-a1≥d 将上述不等式全部相加得 an-a1≥(n-1)d,即 an≥(n-1)d, 因此只需取正整数 k> +1,就有



??? 2 ??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ? 21.解: (I)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D ( x4 , y4 )由 AB ? CD ? BC ? AD 知

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x3 ? x4 )2 ? ( y3 ? y4 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ( y2 ? y3 )2 ? ( x1 ? x4 )2 ? ( y1 ? y4 )2
展开整理得:

x1 x2 ? y1 y2 ? x3 x4 ? y3 y4 ? x2 x3 ? y2 y3 ? x1 x4 ? y1 y4
即 x1 ( x2 ? x4 ) ? x3 ( x4 ? x2 ) ? y1 ( y2 ? y4 ) ? y3 ( y4 ? y2 ) ? 0 ∴ ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ( y1 ? y3 )( y2 ? y4 ) ? 0

???? ??? ? 即 AC ? BC ? 0,? AC ? BD ……………………………………………………………. 分) (4
(II) (i)∵AC⊥BD,由椭圆对称性知 AC 与 BD 互相平分,∴四边形 ABCD 是菱形,它存在 内切圆,圆心为 O,设半径为 r,直线 AB 方程为:y=kx+m 则r ?

m k2 ?1

,即 : r 2 ?

m2 k2 ?1



联立

? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?2

得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0

∴ ? ? (4km) 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0, x1 ? x2 ?

?4mk 2m 2 ? 2 , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由(I)知 OA⊥OB, ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0,即x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0

x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0


2m 2 ? 2 2m 2 ? 2 ?4km ? k2 ? ? km ? m2 ? 0 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2m2 ? 2 ? 2m2 k 2 ? 2k 2 ? 4k 2 m2 ? m2 ? 2m2 k 2 ? 0

第 7 页 共4页

2 m2 ? (1 ? k 2 ) 3
②代入①有: r 2 ?



2 3

2 …………………………………………….(9 分) 3 容易验证,当 k 不存在时,上述结论仍成立.
∴存在内切圆,其方程为: x 2 ? y 2 ? (ii) AB ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ∵ m2 ?

16k 2 m 2 2m 2 ? 2 ?4 (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2

2 (1 ? k 2 ) 3

3 22 k 2 ? m 2? 1 ? 0, m ? 2 3

3 16( m 2 ? 1)m 2 3 2 (m 2 ? 1) 2 ∴ AB ? m ? ?8 2 3 2 3 2 ? ? 1 ? 2( m 2 ? 1) 1 ? 2( m ? 1) ? ? 2 2 ? ?
? 12m 2 (2m 2 ? 1) (3m 2 ? 1) 2

令 3m2 ? 1 ? t , 则m2 ?

t ?1 3

AB ?

12 ?

t ?1 t ?1 2 (2 ? 1) 4 1 1 4 ? ? 1 1 ?? 9 3 3 ? (? 2 ? ? 2) ? ? ? 2 ? ?? ? t2 3 t t 3? ?t 2 ?? 4 ?

2 t ?1 2 1 ∵ m2 ? ,? ? 故t ? 1,? 0 ? ? 1 3 3 3 t


1 4 2 6 2 ? 1时, AB min ? ?2 ? ,此时m2 ? ,k 2 ? 0 t 3 3 3

容易验证,当 k 不存在时, AB ?

2 6 ………………………..………….(13 分) 3

第 8 页 共4页

22. ( 本 小 题 满 分 14 分) 已 知 函 数 f ( x) 是 在 (0,?? )上 每 一 点 处 均 可 导 的 函 数 ,若

xf / ( x) ? f ( x)在 (0, ??) 上恒成立。
(Ⅰ)①求证:函数 g ( x) ?

f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; x

②当 x1 ? 0, x2 ? 0 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ; (Ⅱ)已知不等式 ln( x ? 1) ? x 在 x ? ?1 且 x ? 0 时恒成立,求证:

1 n 1 1 1 ln(n ? 1)2 ? , (n ? N * ) ln 22 ? 2 ln 32 ? 2 ln 42 ? … ? 2 2 (n ? 1) 2(n ? 1)(n ? 2) 2 3 4

解(Ⅰ)①由 g ( x) ?

f / ( x) ? x ? f ( x) f ( x) / / / , g ( x) ? ,由 xf ( ) ?f ( ) 可知 g ( x) ? 0 在 x x x2 x
[来源:学科网]

(0, ??) 上恒成立,
从而有 g ( x) ?

f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数。 x f ( x) ②由①知 g ( x) ? 在 (0, ??) 上是增函数,当 x1 ? 0, x2 ? 0 时,有 x
f ( x1 ? x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) ? , ? ,于是有: x1 ? x2 x1 x1 ? x2 x2

f ( x1 ) ?
f( x) ?

x1 x2 f ( x1 ? x2 ), f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ), x1 ? x2 x1 ? x2
f2( ? x )
1













1

?f (

2

x

)x

(Ⅱ)由(Ⅰ)②可知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) , x1 ? 0, x2 ? 0 )恒成立 ( 由数学归纳法可知: xi ? 0(i ? 1, 2,3, ???, n) 时,有:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? ??? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? x3 ? ??? xn )(n ? 2) 恒成立
设 f ( x) ? x ln x ,则 xi ? 0(i ? 1, 2,3, ???, n) 时,有

x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ??? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ln( x1 ? x2 ? ??? ? xn )(n ? 2)(?)
令 xn ?

1 1 1 1 ,记 Sn ? x1 ? x2 ? ??? xn ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 (n ? 1) 2 3 (n ? 1) 2

第 9 页 共4页

又 Sn ?

1 1 1 1 , ? ? ??? ? ? 1? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ?1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? . 2?3 (n ? 1)(n ? 2) 2 n ? 2

且 Sn ?

所以 ln( x1 ? x2 ? ??? ? xn ) ? ln(1 ?

1 ) n ?1

1 1 n 1 1 1 1 1 1 ln ?? , (n ? N * ) ln 2 ? 2 ln 2 ? 2 ln 2 ? ? 2 2 2 (n ? 1) (n ? 1) 2(n ? 1)(n ? 2) 2 2 3 3 4 4
即 ?(

1 n 1 1 1 ln(n ? 1) 2 )? ? , (n ? N * ) ln 22 ? 2 ln 32 ? 2 ln 42 ? … ? 2 2 (n ? 1) 2(n ? 1)(n ? 2) 2 3 4

?

1 n 1 1 1 ln(n ? 1) 2 ) ? , (n ? N * ) ln 22 ? 2 ln 32 ? 2 ln 42 ? … ? 2 2 (n ? 1) 2(n ? 1)(n ? 2) 2 3 4

第 10 页 共 4 页



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