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【T】上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:专题:圆锥曲线



上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线









上海历年高考经典真题专题汇编 专 题: 圆锥曲线

姓 名 : 学 号 : 年 级 :

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上海市重点中学讲义汇编---

-专题:圆锥曲线

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

专题 7:圆锥曲线
一、填空、选择题 1、 (2016 年上海高考)已知平行直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 l1 , l2 的距离_______________

1、 【答案】

2 5 5

【解析】试题分析: 利用两平行线间距离公式得 d ?

| c1 ? c 2 | a ?b
2 2

?

| ?1 ? 1| 2 ?1
2 2

?

2 5 5


2、 (2015 年上海高考)抛物线 y =2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p= 2、解:因为抛物线 y =2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1, 所以 =1,所以 p=2.故答案为:2.
2

2

3、 (2014 年上海高考)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合, 9 5

则该抛物线的准线方程为

.

3、 【解析】 :椭圆右焦点为 (2, 0) ,即抛物线焦点,所以准线方程 x ? ?2

y2 2 x ? ? 1的一个焦点到其渐近线的距离为 2 2 , 4、 (虹口区 2016 届高三三模)若双曲线 b2
则该双曲线的焦距等于 ________.

4、[答案]6 5、 (浦东新区 2016 届高三三模)抛物线 y ? ? x 2 的准线方程是 5、 【答案】 y ? 1 【解析】 y ? ? x2 ? x2 ? ?4 y ,则其准线方程为 y ? 1

1 4

1 4

x2 y 2 ? ? 1 (a ? N * ) 的两个焦点为 F1 、 F2 , P 为该双曲线上一点, 2 a 4 2 P 到坐标原点 O 的距离为 d ,且 5 ? d ? 9 ,则 a 2 ? 满足 | F 1F 2 | ? | PF 1 | ? | PF 2 |,
6、 (杨浦区 2016 届高三三模)已知双曲线 6、[答案]4 或 9

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 7、 (虹口区 2016 届高三三模)过抛物线 x 2 ? 8 y 的焦点 F 的直线与其相交于 A,B 两点,O 为坐标原点. 若 AF ? 6, 则 ?OAB 的面积为

7、[答案]2

8、 (浦东新区 2016 届高三三模)直线 y ? kx ? 1 与抛物线 y 2 ? 2 x 至多有一个公共点,则 k 的取值范围是
? 8、 【答案】 ?0? ? ? ? , ?? ? 1 ?2 ?

【解析】由题意知:直线与抛物线的交点个数为 0 或 1 个。

? y ? kx ? 1 由? 2 ? k 2 x 2 ? ? 2k ? 2 ? x ? 1 ? 0 ? y ? 2x
① k ? 0 ,显然满足; ②当 k ? 0 时,由 ? ? 0 ? k ?

1 1 ,由图像知: k ? 2 2
1 ?2 ?

? 所以,综上所述, k 的取值范围是 ?0? ? ? ? , ?? ? 。

9、 (浦东新区 2016 届高三三模)设 P 为双曲线 则 ?F1 PF2 的面积等于( A. 3a 2 B. )

x2 2? ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 上的一点, F1、F2 是左右焦点, ?F1PF2 ? , 2 a 3

3 2 a 3

C.

3 3

D.

2 3 3

9、 【答案】C 【解析】利用“焦点三角形的面积公式” 。 S ? b 2 cot ? ,求得面积 S ? cot 10、 (崇明县 2016 届高三二模)已知双曲线

?
3

?

3 3

x2 y2 (a ? 0,b ? 0) ? ?1 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点 a2 b2

与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的标准方程为



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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 11、 (奉贤区 2016 届高三二模)双曲线 4 x2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 tx ? y ? 1 ? 0 垂直,则 t ? ________. 12、 (虹口区 2016 届高三二模)如图, A、B 为椭圆

x2 y 2 + ? 1 (a ? b ? 0) 的两个顶点,过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的 a 2 b2

垂线,与其交于点 C. 若 AB / / OC ( O 为坐标原点),则直线 AB 的斜率为___________.

13、 (黄浦区 2016 届高三二模)若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 5,最大值为 15,则椭圆短轴长为

14、 (静安区 2016 届高三二模)已知双曲线 x2 ? 则该双曲线的焦距的取值范围为

y2 ? 1(m ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 没有公共点, 2 m
.

15、 (静安区 2016 届高三上学期期末)已知抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? ?
2

1 ,则 a ? 4

.

16、 (普陀区 2016 届高三上学期期末) 设 P 是双曲线 则 d1 ? d 2 ? _________.

x2 y 2 若 P 到两条渐近线的距离分别为 d1 , d 2 , ? ? 1 上的动点, 4 2

17、 (杨浦区 2016 届高三上学期期末) 抛物线 C 的顶点为原点 O , 焦点 F 在 x 轴正半轴, 过焦点且倾斜角为 直线 l 交抛物线于点 A, B ,若 AB 中点的横坐标为 3,则抛物线 C 的方程为_______________.

? 的 4

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 18、 (宝山区2016届高三上学期期末)抛物线 y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线 形的面积等于 .

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角 9 3

x2 y 2 19、 (松江区 2016 届高三上学期期末)已知双曲线 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点相同,则此双 m 5
曲线的渐近线方程为 ( )

A. y ? ?

5 x 2

B. y ? ?

2 5 x 5

C. y ? ?

5 x 3

D. y ? ?

3 5 x 5

10、

x2 y 2 ? ?1 4 12
4 3

11、 ?

1 2

12、

2 2

13、 10 3

14、 (2, 4)

15、1

16、

17、 y 2 ? 4x

18、 3 3

19、A

二、解答题 1、 (2016 年上海高考) 有一块正方形菜地 EFGH , EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到 F 点或河边 运走。于是,菜地分为两个区域 S1 和 S2 ,其中 S1 中的蔬菜运到河边较近, S2 中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地 内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点 O 为 EF 的中点, 点 F 的坐标为(1,0) ,如图

(1)求菜地内的分界线 C 的方程 (2)菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍,由此得到 S1 面积的“经验值”为
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8 。设 M 是 C 上纵坐标 3

上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 为 1 的点,请计算以 EH 为一边、另一边过点 M 的矩形的面积,及五边形 EOMGH 的面积,并判断哪一个更接 近于 S1 面积的经验值 1、 【答案】 (1) y 2 ? 4 x ( 0 ? y ? 2 ) . (2)五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值” . 【解析】 试题分析: (1)由 C 上的点到直线 ?? 与到点 F 的距离相等,知 C 是以 F 为焦点、以

?? 为准线的抛物线在正方形 ?FG? 内的部分.
(2)计算矩形面积,五边形面积.进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值,五边形面积与“经验值” 之差的绝对值,比较二者大小即可. 试题解析: (1)因为 C 上的点到直线 ?? 与到点 F 的距离相等,所以 C 是以 F 为焦点、以 . ?? 为准线的抛物线在正方形 ?FG? 内的部分,其方程为 y 2 ? 4x ( 0 ? y ? 2 ) (2)依题意,点 ? 的坐标为 ? 所求的矩形面积为

?1 ? ,1? . ?4 ?

5 11 ,而所求的五边形面积为 . 2 4

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为

5 8 1 ? ? ,而五边形面积与“经验值”之差 2 3 6

的绝对值为

11 8 1 . ? ? ,所以五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值” 4 3 12

考点:1.抛物线的定义及其标准方程;2.面积.

2、 (2016 年上海高考)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点。 b2

(1)若 l 的倾斜角为 (2)设 b ?

?
2

, ?F1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

??? ? ???? ??? ? 3 ,若 l 的斜率存在,且 ( F1 A ? F1B) ? AB ? 0 ,求 l 的斜率.
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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 2、 【答案】 (1) y ? ? 2x . (2) ? 【解析】
2 ? 3b 4 ,解得 b2 . 试题分析: (1)设 ? ? x? , y? ? .根据 ?F 1?? 是等边三角形,得到 4 1 ? b

15 . 5

?

?

(2) (2)设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? 与双曲线方程联立,得到一元二次方程,根据 l 与双
2 2 曲线交于两点,可得 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .

?

?

设 ?? 的中点为 ? ? x? , y? ? .由 F ? k ? ?1 . 1? ? F 1? ? ?? ? 0 ,计算 F 1?? ?? ? 0 ,从而 kF 1? 得出 k 的方程求解. 试题解析: (1)设 ? ? x? , y? ? .
2 2 2 4 由题意, F2 ? c,0? , c ? 1 ? b2 , y? ? b c ? 1 ? b ,

?

???? ??? ? ??? ?

?

???? ? ??? ?

?

?

因为 ?F 1?? 是等边三角形,所以 2c ? 3 y? ,
2 4 2 即 4 1 ? b ? 3b ,解得 b ? 2 .

?

?

故双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2x . (2)由已知, F 1 ? ?2,0 ? , F 2 ? 2,0? . 设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? .显然 k ? 0 .

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 由? ,得 ? k ? 3? x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 . 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
2 2 因为 l 与双曲线交于两点,所以 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .

?

?

设 ?? 的中点为 ? ? x? , y? ? . 由 F ? k ? ?1 . 1? ? F 1? ? ?? ? 0 即 F 1? ? ?? ,故 kF 1?? ?? ? 0 ,知 F 1? 而 x? ?

?

???? ??? ? ??? ?

?

???? ? ??? ?

6k 3k x1 ? x2 2k 2 ? 2 , y? ? k ? x? ? 2 ? ? 2 , k F1? ? , k ?3 2k 2 ? 3 2 k ?3

所以

3k 3 15 ? k ? ?1 ,得 k 2 ? ,故 l 的斜率为 ? . 2 2k ? 3 5 5

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线
2 2

3、 (2015 年上海高考)已知椭圆 x +2y =1,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、B 和 C、D,记得到的 平行四边形 ABCD 的面积为 S. (1)设 A(x1,y1) ,C(x2,y2) ,用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明 S=2|x1y2﹣x2y1|; (2)设 l1 与 l2 的斜率之积为﹣ ,求面积 S 的值.

4、 (2014 年上海高考)在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,记

l C 与直线 l 没有公共点,且曲线 ? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) . 若? ? 0 ,则称点 P 1 , P 2 被直线 分割. 若曲线
C 上存在点 P l l C 的一条分割线. 1 , P 2 被直线 分割,则称直线 为曲线
(1) 求证:点 A(1, 2) , B(?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分割; (2) 若直线 y ? kx 是曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1的分割线,求实数 k 的取值范围;

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 (3) 动点 M 到点 Q(0 , 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1 ,设点 M 的轨迹为曲线 E . 求证:通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是 E 的分割线. 4、 【解析】 : (1)将 A(1, 2), B(?1,0) 分别代入 x ? y ? 1 ,得 (1 ? 2 ? 1) ? (?1 ? 1) ? ?4 ? 0 ∴点 A(1, 2), B(?1,0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分割 (2)联立 ?

? x2 ? 4 y2 ? 1 ? y ? kx

,得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 1,依题意,方程无解,

2 ∴ 1 ? 4k ? 0 ,∴ k ? ?

1 1 或k ? 2 2
2 2

(3)设 M ( x, y ) ,则 x ? ( y ? 2) x ? 1 , ∴曲线 E 的方程为 [ x ? ( y ? 2) ]x ? 1
2 2 2



当斜率不存在时,直线 x ? 0 ,显然与方程①联立无解,

E 上两点,且代入 x ? 0 ,有? ? ?1 ? 0 , 又P 1 (1, 2), P 2 (?1, 2) 为
∴ x ? 0 是一条分割线; 当斜率存在时,设直线为 y ? kx ,代入方程得: (k ? 1) x ? 4kx ? 4 x ?1 ? 0 ,
2 4 3 2

令 f ( x) ? (k 2 ? 1) x4 ? 4kx3 ? 4 x2 ?1 ,则 f (0) ? ?1 ,

f (1) ? k 2 ? 1 ? 4k ? 3 ? (k ? 2)2 , f (?1) ? k 2 ? 1 ? 4k ? 3 ? (k ? 2)2 ,
当 k ? 2 时, f (1) ? 0 ,∴ f (0) f (1) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 在 (0,1) 之间存在实根, ∴ y ? kx 与曲线 E 有公共点 当 k ? 2 时, f (0) f (?1) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 在 (?1, 0) 之间存在实根, ∴ y ? kx 与曲线 E 有公共点 ∴直线 y ? kx 与曲线 E 始终有公共点,∴不是分割线, 综上,所有通过原点的直线中,有且仅有一条直线 x ? 0 是 E 的分割线

5、 (虹口区 2016 届高三三模)设椭圆 C : 为: x ? y ?
2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,定义椭圆 C 的“相关圆” E a 2 b2

a 2b2 . a 2 ? b2

若抛物线 y ? 4 x 的焦点与椭圆 C 的右焦点重合,且椭圆 C 的短轴长与焦距相等.
2

(1)求椭圆 C 及其“相关圆” E 的方程; (2)过“相关圆” E 上任意一点 P 作其切线 l ,若 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,
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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 求证: ?AOB 为定值( O 为坐标原点) ; (3) 在(2)的条件下,求 ?OAB 面积的取值范围. 5、解: (1)因为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 ?1,0 ? 与椭圆 C 的右焦点重合,所以 c ? 1 ,又因为椭圆 C 的短轴长与焦 距相等,所以 b ? c ? 1 . 故椭圆 C 的方程为:
2

??2 分

2 x 2 2 ? y 2 ? 1,其“相关圆” E 的方程为: x ? y ? . ??4 分 3 2
6 ,则 3
??6 分

证: (2) (i)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设其方程为 x ?

? 6 6? ? 6 ? 6? ,所以 ?AOB ? . A? , , B , ? ? ? ? ? 3 3 ? ? 3 2 3 ? ? ? ? ?

(ii)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,并设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则由 ? ? x2

? y ? kx ? m ? ? y ?1 ?2
2

得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 2 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,??8 分

故△= 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 8(2k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,即 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0

(*)

4km 2(m2 ? 1) , x1 x2 ? . 且 x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
由直线 l 与 “相关圆”E 相切,得 d ?

m 1? k 2

?

m2 2 , 即 3m2 ? 2k 2 ? 2 ? 0. ?8 分 ? 2 1? k 3

??? ? ??? ? 故 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 2(1 ? k 2 )(m2 ? 1) 4k 2 m2 3m2 ? 2k 2 ? 2 2 ? ? m ? ? 0. 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

从而 OA ? OB, 即?AOB ? 综合上述,得 ?AOB ? 解: (3)由于 S?OAB ?

??? ?

??? ?

?
2 ?
2

.
为定值.
??10 分

1 6 AB ? OP ? AB , 所以求 S?OAB 的取值范围,只需求出弦长 AB 的取值范围. 2 6

当直线 l 的斜率不存在时,由(2)的(i) ,知 AB ? 当直线 l 的斜率存在时,

2 6 ; 3

??12 分

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ?

? 8(2k 2 ? m2 ? 1) 8 4k 4 ? 5k 2 ? 1 8 ? k2 ? ? ? ? 1 ? ? ?. (1 ? 2k 2 ) 2 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 3 ? 4k 4 ? 4k 2 ? 1 ?
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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 (i)当 k ? 0 时, | AB |? 2 6 ; 3 ??14 分

? 1 (ii)当 k ? 0 时, 因为 4k 2 ? 2 ? 4 ? 8 ,所以 8 ? 8 ?1 ?
k

?

3

3? ?

? ? 1 ? ? 3, 1 2 4k ? 2 ? 4 ? k ?

故 2 6 ? AB ?
3

3 ,当且仅当 k ? ?

2 时, A B ? 2

3.
? 2 ? ??16 分 ?. 2 ? ?

? 2 6 于是 A B 的取值范围为 ? , 3?. ? ? ? 3 ? ?

因此 S?OAB 的取值范围为 ? 2 ,
? ?3

6、 (浦东新区 2016 届高三三模)设椭圆 E1 的长半轴长为 a1 ,短半轴长为 b1 ,椭圆 E2 的长半轴长为 a2 ,短半轴 长为 b2 ,若

x2 a1 b1 ? ,则称椭圆 E1 与椭圆 E2 是相似椭圆。已知椭圆 E : ? y 2 ? 1 ,其左顶点为 A ,右顶点为 B 。 2 a2 b2 x2 y 2 ? ? 1 是“相似椭圆”,求常数 s 的值; s 2

(1)设椭圆 E 与椭圆 F : (2) 设椭圆 G :

x2 ? y 2 ? ? ? 0 ? ? ? 1? , 过 A 作斜率为 k1 的直线 l1 与椭圆 G 仅有一个公共点, 过椭圆 E 的上顶点 D 2

作斜率为 k 2 的直线 l2 与椭圆 G 只有一个公共点,当 ? 为何值时, k1 ? k2 取得最小值,并求出最小值; (3)已知椭圆 E 与椭圆 H :

x2 y 2 ? ? 1? t ? 2 ? 是相似椭圆,椭圆 H 上异于 A、 B 的任意一点 C ? x0 , y0 ? ,求证: 2 t

?ABC 的垂心 M 在椭圆 E 上。

6、 【解析】 (1)由题意得 ? 或 ? ,分别解得 s ? 4 或 s ? 1 (2)由题意知: A? ? 2,0? , D ? 0,1? ,直线 l1 : y ? k1 ? x ? 2 ? ,直线 l2 : y ? k2 x ? 1 由? ?
? y ? k1 x ? 2
2 2

s 2

2 1

s 2

1 2

?

? ? x ? 2 y ? 2?

? 得: ?1 ? 2k ? x
2 1

2

? 4 2k12 x ? 4k12 ? 2? ? 0 ,因为直线 l1 与椭圆 G 仅有一个公共点,则 ? ? 0 ? k12 ?

?
2??



由?

1? ? ? y ? k2 x ? 1 得: ?1 ? 2k12 ? x2 ? 4k2 x ? 2 ? 2? ? 0 ,因为直线 l2 与椭圆 G 仅有一个公共点,则 ? ? 0 ? k22 ? ② 2 2 2? x ? 2 y ? 2 ? ? 1 1 1 代入①得: k12 ? k22 ? ? k1 ? k2 ? ,所以 2 4 2 1 ? 2k 2

由②解得: ? ? 此时 k1 ? k2 ?

k1 ? k2 ? 2 k1 ? k2 ? 2

2 1 1 ,即 ? ? ? 2 2 1 ? 2k2 2
t 2 x2 y 2 ? ? t ? 4 ,所以 H : ? ? 1 。且 A ? 2,0 , B 2 1 2 4

(3)由题意知:

?

?

?

2,0 。

?

2 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? x2 y 2 2 ? x0 ? 1 上, 设垂心 M ? x0 , y ? ,则 AM ? BC ,即 AM ? BC ? 0 ? x0 ? 2, y ? x0 ? 2, y0 ? 0 ? y ? 。又点 C ? x0 , y0 ? 在 H : ? 2 4 y0

?

??

?

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线
2 ? 2 ? x0 ? 2 2 2 2 ? 2 y 2 ? x0 ? 2? ? y0 ? 4 。则 x0 有 2 x0 ? ? 2 ,所以 ?ABC 的垂心 M 在椭圆 E 上。 y ? 0 ? 2

x2 y2 7、 (奉贤区 2016 届高三二模)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 的长轴长是短轴长的两倍,焦距为 2 3 . a b
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于两点 M 、 N ,且直线 OM 、 MN 、 ON 的斜率依次成等比数列,问:直 线是否定向的,请说明理由.

7、解: (1)由已知得 解得 a ? 2, b ? 1 ∴椭圆 C 的标准方程为

?2a ? 2 ? 2b ? ?2c ? 2 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
x ? y2 ? 1 . 4
2

3分

5分 6分

(2)(理)由题意可设直线的方程为: y ? kx ? m ? km ? 0? ,

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 ,消去 y 并整理, 2 ? y ? 1 ? ?4 2 2 2 得: ?1 ? 4k ? x ? 4kmx ? 4 ? m ? 1? ? 0
2 2 计算 ? ? 16 4k ? m ? 1 ? 0

7分 8分

?

?

此时设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ?

4 m2 ? 1 8km , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 2 于是 y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? k x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m 又直线 OM , MN , ON 的斜率依次成等比数列,

2 2 y1 y2 k x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ? ? ? k2 x1 x2 x1 x2

?

?

9分 10 分

11 分 12 分 13 分
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∴?

8k 2 m2 1 ? m2 ? 0,? m ? 0,? k 2 ? 2 1 ? 4k 4

所以是不定向的,

? ? 方向向量 d ? ? ?2,1?
(2)文 可得 A? 2,1? , B ? ?2,1? 设 P xP , y p ,则

上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 13 分 8分 9分 11 分 13 分

?

?

? ? xP ? 2 ? m ? n ? ? ? ? yP ? ? m ? n ? 1 ? m2 ? n2 ? 2

2 xP ? yP 2 ? 1 4

x2 y 2 A(1,0)、M (m, n) (n ? 0) 8、 (虹口区 2016 届高三二模) 已知直线 y ? 2 x 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线, a b
都在双曲线 C 上,直线 AM 与 y 轴相交于点 P ,设坐标原点为 O . (1) 求双曲线 C 的方程,并求出点 P 的坐标(用 m 、 n 表示) ; (2) 设点 M 关于 y 轴的对称点为 N ,直线 AN 与 y 轴相交于点 Q .问:在 x 轴上是否存在定点 T , 使得 TP ? TQ ?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

??? ? ??? ? ??? ? (3) 若过点 D(0, 2 ) 的直线 l 与双曲线 C 交于 R、S 两点,且 OR ? OS ? RS ,试求直线 l 的方程.
y M N

P O A x

Q
(第22题图)

?a ? 1 ?a ? 1, ? ?? 8、解: (1)由已知,得 ? b 故双曲线 C 的方程为 b ? 2, ? 2 ? ? ?a
???? ? ? AM ? (m ?1, n) 为直线 AM 的一个方向向量,
? 直线 AM 的方程为

x2 ?

y2 ? 1. 4

??3 分

x ?1 y n ? , 它与 y 轴的交点为 P(0, ). m ?1 n 1? m
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??5 分

上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

???? (2)由条件,得 N (?m, n), 且 AN ? (?m ?1, n) 为直线 AN 的一个方向向量,
故直线 AN 的方程为

n x ?1 y ). ? , 它与 y 轴的交点为 Q (0, ?m ? 1 n 1? m

??7 分

假设在 x 轴上存在定点 T ( x0 , 0) ,使得 TP ? TQ ,则

??? 由 TP ? ( ? x0 ,

??? ? n n n2 ), TQ ? (? x0 , ? ), 及 m 2 ? ? 1, 得 m ?1 m ?1 4 n n n2 2 2 ) ? (? x0 , ? ) ? x0 ? 2 ? x0 ? m ?1 m ?1 m ?1

??? ??? ? TP ? TQ ? (? x0 ,

n2 2 ? x0 ? 4 ? 0. n2 (1 ? ) ? 1 4
??10 分

故 x0 ? ?2, 即存在定点 T ,其坐标为 (2, 0) 或 (?2, 0), 满足题设条件.

??? ? ??? ? ??? ? (3) 由 OR ? OS ? RS 知,以 OR、OS 为邻边的平行四边形的对角线的长相等,故此四边形为矩形,从而
??? ? ??? ? OR ? OS.
??12 分

由已知,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, 并设 R( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 ),

? y ? kx ? 2, 则由 ? ? 2 y2 ? 1, ?x ? ? 4



(k 2 ? 4) x2 ? 4kx ? 8 ? 0.

由 ? ? 16k 2 ? 32(k 2 ? 4) ? 16(8 ? k 2 ) ? 0, 及 k 2 ? 4 ? 0, 得 k 2 ? 8 且 k 2 ? 4 由 x1 ? x2 ? ?

(*)

4k 8 , x1 x2 ? 2 , y1 y2 ? (k x1 ? 2)(k x2 ? 2), k ?4 k ?4
2

??14 分

??? ? ??? ? 8(k 2 ? 1) 8k 2 4(k 2 ? 2) 得 OR ? OS ? x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 ? 2 ?4? 2 ?0 k ?4 k ?4 k ?4
故 k 2 ? 2, 符合约束条件(*). 因此,所求直线 l 的方程为 y ? ? 2 x ? 2. ??16 分

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 9、 (黄浦区 2016 届高三二模)对于双曲线 C( a ,b ) : 称 P 在的 C( a ,b ) 外部;若点 P( x0 , y0 ) 满足

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ,则 ? ? 1 ,若点 满足 ( a , b ? 0) P ( x , y ) 0 0 a 2 b2 a 2 b2

x0 2 y0 2 ? ? 1,则称 P 在 C( a ,b ) 的内部; a 2 b2

(1)若直线 y ? kx ? 1 上的点都在 C(1,1) 的外部,求 k 的取值范围; (2)若 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 在 C( a ,b ) 内部及 C( a ,b ) 上的点构成的圆弧长 等于该圆周长的一半,求 b 、 r 满足的关系式及 r 的取值范围; (3)若曲线 | xy | ? mx2 ? 1 (m ? 0) 上的点都在 C( a ,b ) 的外部,求 m 的取值范围;
2 9、[解](1)由题意,直线 y ? kx ? 1 上点 ( x0 , kx0 ? 1) 满足 x2 ? y 2 ? 1 ,即求不等式 x0 ? (kx0 ? 1)2 ? 1的解为一切实

数时 k 的取值范围. (1 分)
2 对于不等式 (1 ? k 2 ) x0 ? 2kx0 ? 2 ? 0 ,

当 k ? ?1 时,不等式的解集不为一切实数, (2 分) 于是有 ?

?1 ? k 2 ? 0, ? 解得 | k |? 2 . 2 2 ? ?? ? 4k ? 8(1 ? k ) ? 0,

故 k 的取值范围为 (??, ? 2) ? ( 2, ??) . (4 分) (2)因为圆 x2 ? y 2 ? r 2 和双曲线 C( a ,b ) 均关于坐标轴和原点对称,所以只需考虑这两个曲线在第一象限及 x 、 y 轴正半轴的情况. 由题设,圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,它们交点的坐标为 ?

? 2r 2 r ? . ? 2 , 2 ? ? ? ?

r2 r2 2r 2r ,y? 代入双曲线 C( a ,b ) 方程,得 2 ? 2 ? 1 (*) , (6 分) 2a 2b 2 2 4 1 又因为 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,所以 2 ? 2 ? 1, (7 分) a b 4b 2 8b 2 将 a2 ? 2 代入(*)式,得 r 2 ? 2 . (9 分) b ?1 b ?3 3r 2 ? 0 ,解得 r 2 ? 8 .因此, r 的取值范围为 (2 2, ??) . 由 b2 ? 2 (10 分) r ?8
将x? (3)由 | xy |? mx 2 ? 1 ,得 | y |? m | x | ?

x2 y2 1 1 .将 | y |? m | x | ? 代入 2 ? 2 ? 1 , a b | x| | x|

? 1 ? ?m| x|?| x|? 2 x ? ? ? 1 对任意非零实数 x 均成立. 由题设,不等式 2 ? (12 分) a b2
第 16 页 /共 41 页

2

上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

? 1 ? ?m| x| ?| x|? 2 2 x ? ? 1 [(b 2 ? a 2 m 2 ) x 2 ? a ? 2a 2 m] . 其中 2 ? ? a b2 a 2b 2 x2
令 x 2 ? t ,设 f (t ) ? (b 2 ? a 2 m 2 )t ?

2

a2 ? 2a 2 m , (t ? 0 ) . t

当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时,函数 f (t ) 在 (0, ??) 上单调递增, f (t ) ? 1 不恒成立; (14 分) 当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, (b 2 ? a 2 m 2 )t ?

a2 ≤ ?2 (a 2 m 2 ? b 2 )a 2 , t

函数 f (t ) 的最大值为 ?2 (a 2 m2 ? b2 )a 2 ? 2a 2 m , 因为 m ? 0 ,所以

?2 (a 2 m2 ? b 2 )a 2 ? 2a 2 m ? 0 ?1 ; (16 分) a 2b 2
a2 ? 2a 2 m ? 0 ? 1 . (17 分) t

当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, f (t ) ? ?

综上, b2 ? a 2 m2 ≤ 0 ,解得 m ≥

b ?b ? .因此, m 的取值范围为 ? , ?? ? . (18 分) a ?a ?

10、 (静安区 2016 届高三二模)已知 F 1 ,F 2 分别是椭圆 C : 过点 (? 3,1) 且与抛物线 y 2 ? ?8 x 有一个公共的焦点. (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (其中 a ? b ? 0 )的左、右焦点,椭圆 C a 2 b2

(2)过椭圆 C 的右焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,求线段 AB 的长度. 10、 (1)抛物线 y 2 ? ?8 x 的焦点为 (?2, 0) ???1 分

所以椭圆 C : 又

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 (?2, 0) , c ? 2 , b 2 ? a 2 ? 4 ???2 分 a 2 b2

3 1 ? 2 ? 1 ,得 a4 ? 8a2 ? 12 ? 0 ,解得 a 2 ? 6 ( a 2 ? 2 舍去)???4 分 2 a b

x2 y 2 ? ? 1 。???6 分 故椭圆 C 的方程为 6 2
(2)直线 l 的方程为 y ? x ? 2 . …………………7 分

第 17 页 /共 41 页

上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

?y ? x ? 2 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 2 ?6 消去 y 并整理得 2 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 3 故 x1 ? x2 ? 3 , x1 x2 ? . 2
则 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ?
2

…………………9 分

…………………10 分

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 6 …………12 分

11、 (嘉定区 2016 届高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 内,动点 P 到定点 F (?1 , 0) 的距离与 P 到定直线

x ? ?4 的距离之比为

1 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若轨迹 C 上的动点 N 到定点 M (m , 0) ( 0 ? m ? 2 )的距离的最小值为 1 ,求 m 的值. (3)设点 A 、 B 是轨迹 C 上两个动点,直线 OA 、 OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1 、 B1 ,且直线 OA 、

OB 的斜率之积等于 ?

3 ,问四边形 ABA 1B 1 的面积 S 是否为定值?请说明理由. 4
( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? , ???????????(2 分) | x?4| 2

11、 (1)设 P( x , y) ,由题意, 化简得 3x ? 4 y ? 12 ,
2 2

??????(3 分)

x2 y 2 ? ? 1 . ????????????(4 分) 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 4 3
2 2 (2)设 N ( x , y ) ,则 | MN |2 ? ( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ? 4 x ? 2m x ? m ? 3 ? ?

?

x2 ?

1

1 ( x ? 4m) 2 ? 3(1 ? m 2 ) , ? 2 ? x ? 2 . ????????????(2 分) 4 1 2 2 ①当 0 ? 4m ? 2 ,即 0 ? m ? 时,当 x ? 4 m 时, | MN | 取最小值 3(1 ? m ) ? 1, 2 ?
解得 m ?
2

2 6 4 6 ,m ? ,此时 x ? ? 2 ,故舍去. 3 3 3

???????(4 分)

1 ? m ? 2 时,当 x ? 2 时, | MN |2 取最小值 m2 ? 4m ? 4 ? 1, 2 解得 m ? 1 ,或 m ? 3 (舍) . ???????????????????(6 分)
②当 4 m ? 2 ,即
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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 综上, m ? 1 . (3)解法一:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , (1 分) 4 x1 x2 4

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ,
2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?
2 2 2 2 2 所以, 9 x1 x2 ? 16y12 y2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 ) ,化简得 x12 ? x2 ?4.

?

x2 ?

?

x2 ?

????(2 分)

①当 x1 ? x2 时,则四边形 ABA 1B 1 为矩形, y2 ? ? y1 ,则

y12 3 ? , x12 4
3

2 2 1 1 由 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ,解得 x1 ? 2 , y1 ? 2 , ?1 ? 4 ? ? ,得 4 x1 ? 3? ? ? ? ?

?

x2 ?

3

2

?

x2 ?

S ?| AB | ? | A1B |? 4 | x1 || y1 | ? 4 3 .

??????????????(3 分)

②当 x1 ? x2 时,直线 AB 的方向向量为 d ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,直线 AB 的方程为

?

( y2 ? y1 ) x ? ( x2 ? x1 ) y ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 ,原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?
所以,△ AOB 的面积 S ?AOB ?

| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

1 1 ? | AB | ?d ? | x1 y2 ? x2 y1 | , 2 2

根据椭圆的对称性,四边形 ABA 1B 1 的面积 S ? 4S?AOB ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,??(4 分) 所以, S ? 4( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 2 2 2 2 2
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? ? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 1 2 2? ? ? ? 4? 2 4 ?? ? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

??????????????(6 分)

解法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) , 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4

????????????????(1 分)

2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?

?

x2 ?

?

x2 ?

第 19 页 /共 41 页

上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线
2 2 2 2 2 所以, 9 x1 x2 ? 16y12 y2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 ) ,化简得 x12 ? x2 ?4.

????(2 分) ,

直线 OA 的方程为 y1x ? x1 y ? 0 ,点 B 到直线 OA 的距离 d ? △ ABA 1 的面积 S ?ABA1 ?

| x1 y2 ? x2 y1 | x12 ? y12

1 ? | AA1 | ?d ?| x1 y2 ? x2 y1 | , 2

????????(3 分)

根据椭圆的对称性,四边形 ABA ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,??(4 分) 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1
2 2 2 2 所以, S 2 ? 4( x1 y2 ? x2 y1 )2 ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? ? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 1 2 2? ? ? ? 4? 2 4 ?? ? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

????????????(6 分)

解法三:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4

????????????????(1 分)

2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?

?

x2 ?

?

x2 ?

所以, 9 x1 x2 ? 16y1 y2 ? 9(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ,化简得 x1 ? x2 ? 4 .
2 2 2 2 2 2 2 2

????(2 分)

△ ABA 1 的面积 S ?ABA1

x1 1 ? x2 2 ? x1

y1 y1 ? y1

1 1 ?| x1 y2 ? x2 y1 | , ????????(3 分) 1

根据椭圆的对称性,四边形 ABA ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,??(4 分) 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1 所以,所以, S ? 4( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 2 2 2 2 2
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? 2? ? ? 2 1 2 ?? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 4 4 ? ? ?? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

??????????????(6 分)

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 12、 (金山区 2016 届高三上学期期末) 在平面直角坐标系中, 已知椭圆 C :
2 2

x2 y2 ? ?1, 设点 R?x0 , y0 ? 是椭圆 C 24 12

上一点,从原点 O 向圆 R : ?x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,切点分别为 P, Q . (1) 若直线 OP, OQ 互相垂直,且点 R 在第一象限内,求点 R 的坐标; (2) 若直线 OP, OQ 的斜率都存在,并记为 k1 , k 2 ,求证: 2k1k2 ? 1 ? 0 . 12、解:(1)由题意得:圆 R 的半径为 2 2 ,因为直线 OP, OQ 互相垂直,且与圆 R 相切,所以四边形 OPRQ 为 正方形,故 OR ?
2 2 2r ? 4 ,即 x0 ? y0 ? 16 ① ??????3 分

2 2 x0 y0 ? ? 1 ②?????????????5 分 又 R?x0 , y0 ?在椭圆 C 上,所以 C : 24 12

由①②及 R 在第一象限,解得 x0 ? y0 ? 2 2 ,????????????????7 分 (2)证明:因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x 均与圆 R 相切,????????8 分 所以

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ?8 ? 0 ? 2 2 ,化简得 ( x0

2 2 2 同理有 ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ? 8 ? 0 ??????????????????10 分

所以 k1、k2 是方程 ( x0 ? 8)k ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,
2 2 2

所以 k1k2 ?

2 y0 ?8 ,???????????????????????????11 分 2 x0 ? 8
2 x0 y2 ? 0 ?1, 24 12

又因为 R?x0 , y0 ?在椭圆 C 上,所以 C :

1 2 x0 1 1 2 2 2 ? ? ,即 2k1k2+1=0.?????????14 分 即 y0 ? 12 ? x0 ,所以 k1k 2 ? 2 2 x0 ? 8 2 4?

第 21 页 /共 41 页

上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 13、 (静安区 2016 届高三上学期期末)设 P1 和 P2 是双曲线 P1P2 不经过坐标原点 O. (1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2=

x2 y2 ? ? 1 上的两点,线段 P1P2 的中点为 M,直线 a2 b2

b2 ; a2

(2)若双曲线的焦点分别为 F 1 (? 3,0) 、 F 2 ( 3,0) ,点 P1 的坐标为(2,1) ,直线 OM 的斜率为 求由四点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. 13 、 (1) 解 法 1 : 设 不 经 过 点 O 的 直 线 P1P2 方 程 为 y ? k1 x ? l , 代 入 双 曲 线

3 , 2

x2 y2 ? ?1 方 程 得 : a2 b2

(b2 ? a2 k12 ) x2 ? 2a2 k1lx ? a2b2 ? a2l 2 ? 0 .
设 P1 坐标为 ( x1 , y1 ) ,P2 坐标为 ( x2 , y2 ) ,中点坐标为 M (x,y),则 x ?

x1 ? x2 y ? y2 2a 2 k1l ,y? 1 ,x1 ? x2 ? 2 , 2 2 b ? a 2 k12

b2 y1 ? y2 b2 ? a 2 k12 2 2 2 2 2 2 ,所以, a k1k2 ? a k1 ? b ? a k1 ,k1k2= 2 。 k2 ? ? k1 ? a x1 ? x2 a 2 k1

? x12 y12 ? ? 1 (1) x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? a 2 b2 ,y? 另解:设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点 M (x,y),则 x ? 且? 2 2 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? ? a 2 b2
(1)-(2)得:

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0。 a2 b2

因为,直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)?0, 等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2),得:

1 y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ? ? ?0 a 2 x1 ? x2 x1 ? x2 b 2



b2 k1k2= 2 。????6 分 a

? 22 1 x2 ? ? ? 1, ? y2 ? 1, (2)由已知得 ? a 2 b 2 ,求得双曲线方程为 2 ?a 2 ? b 2 ? 3 ?
直线 P1 P2 斜率为

b2 3 1 ? ? , a2 2 3
1 ( x ? 2) , 3
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直线 P1 P2 方程为 y ? 1 ?

上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 代入双曲线方程可解得 P2 (? 面积

10 1 2 3 , ? ) (中点 M 坐标为 ( , ) . 7 7 7 7

1 8 8 3 F1F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 2 7 7 3 另解: 线段 P1 P2 中点 M 在直线 y ? x 上.所以由中点 M((x,y),可得点 P2 的坐标为 P 2 (2 x ? 2,3x ?1) ,代入双 2 2 3 10 1 (2 x ? 2) 2 ? (3x ? 1) 2 ? 1 , 即 7 x 2 ? 2 x ? 0 , 解 得 x ? ( y ? ) 曲线方程可得 , 所 以 P2 (? , ? ) 。 面 积 2 7 7 7 7 1 8 8 3 F1F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 2 7 7

14、 (闵行区 2016 届高三上学期期末) 已知椭圆 ? 的中心在坐标原点,且经过点 (1, ) ,它的一个焦点与抛物线

3 2

? : y 2 ? 4 x 的焦点重合.
(1)求椭圆 ? 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过点 F ?1, 0? ,且与抛物线 ? 交于 A、B 两点,设点 P(?1, k ) , △ PAB 的面积为 4 3 , 求 k 的值; (3)若直线 l 过点 M ? 0, m?( m ? 0 ) ,且与椭圆 ? 交于 C、D 两点,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q ,直线 QD 的 纵截距为 n ,证明: mn 为定值.

9 ?1 x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 14、[解](1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,由题设得 ? a ,?2 分 4b a b 2 2 ?a ? b ? 1 ?
?a 2 ? 4 x2 y 2 ?? 2 ? ?1 ,? 椭圆 ? 的方程是 4 3 ?b ? 3
(2)设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,由 ? ??????????4 分

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 2 ? y ? 4 x,

l 与抛物线 ? 有两个交点, k ? 0 , ? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 ,
则 AB ?

4(k 4 ? 4k 2 ? 4) ? 4k 4 4(k 2 ? 1) 2 ? 1? k ? k2 k2

??????????6 分

第 23 页 /共 41 页

上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

P(?1, k ) 到 l 的距离 d ?

3k k 2 ?1

,又 S△PAB ? 4 3 ,? ?

1 4(k 2 ? 1) 3 k ? ?4 3 2 k2 k 2 ?1
?????????10 分

4k 2 ? 3k 2 ? 3 ,故 k ? ? 3 .

(3)? C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(? x1 , y1 ) , 则直线 CD : y ? y1 ? 直线 QD : y ? y1 ?

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 m ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 n ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 14 分 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

? mn ?

2 2 2 2 2 3 3 x12 y12 x2 y2 x2 y1 ? x12 y2 2 2 ? (4 ? x2 ) ? ? 1 ? ? 1 ? y12 ? (4 ? x12 ) , y2 ,又 , 2 2 4 4 4 3 4 3 x2 ? x1

x2 y 2 ? x2 y 2 ? mn ? 2 12 12 2 ? x2 ? x1

3 2 3 2 x2 ? (4 ? x12 ) ? x12 ? (4 ? x2 ) 4 4 ? 3 .?????????16 分 2 x2 ? x12

15、 (青浦区 2016 届高三上学期期末) 已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 且抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 是椭圆 M 的 一个焦点,以 F 为圆心,以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l:x ? 2 2 y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 y ? x ? m 与椭圆 M 交于 A、B 两点,且椭圆 M 上存在点 P 满足 OP ? OA ? OB ,求 m 的值. 15、解: (1)因为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点,即 F (1, 0)

??? ?

??? ? ??? ?

又椭圆 M 的对称轴为坐标轴,所以设椭圆方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1, a ? b ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? 1 2 a b

又以 F 为圆心,以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l:x ? 2 2 y ? 2 ? 0 相切 即b ?

1? 0 ? 2 1 ? (2 2) 2

? 1,所以椭圆 M 的方程是

x2 ? y2 ? 1 2

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ?

?y ? x ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

? 3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

? ? (4m)2 ?12(2m2 ? 2) ? ?8m2 ? 24 ? 0 ? ? 3 ? m ? 3

??? ? ??? ? ??? ? 4 2 4 2 x2 ?OP ? OA ? OB,? P( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 又 x1 ? x2 ? ? m, y1 ? y2 ? m , 即 P (? m, m) 在椭圆 ? y 2 ? 1 3 3 3 3 2

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 上,即 (?

4 2 2 3 m) ? 2( m)2 ? 2 ? m ? ? 3 3 2

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[参考答案]
一、填空、选择题 1、 【答案】

2 5 5

【解析】试题分析: 利用两平行线间距离公式得 d ?
2

| c1 ? c 2 | a ?b
2 2

?

| ?1 ? 1| 2 ?1
2 2

?

2 5 5

2、解:因为抛物线 y =2px(p>0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1, 所以 =1,所以 p=2.故答案为:2. 3、 【解析】 :椭圆右焦点为 (2, 0) ,即抛物线焦点,所以准线方程 x ? ?2 4、6 5、 【答案】 y ? 1 【解析】 y ? ? x2 ? x2 ? ?4 y ,则其准线方程为 y ? 1 6、4 或 9 7、2
? 8、 【答案】 ?0? ? ? ? , ?? ? 1 ?2 ?

1 4

【解析】由题意知:直线与抛物线的交点个数为 0 或 1 个。

? y ? kx ? 1 由? 2 ? k 2 x 2 ? ? 2k ? 2 ? x ? 1 ? 0 ? y ? 2x
① k ? 0 ,显然满足; ②当 k ? 0 时,由 ? ? 0 ? k ?

1 1 ,由图像知: k ? 2 2
1 ?2 ?

? 所以,综上所述, k 的取值范围是 ?0? ? ? ? , ?? ? 。

9、 【答案】C 【解析】利用“焦点三角形的面积公式” 。 S ? b 2 cot ? ,求得面积 S ? cot

?
3

?

3 3

10、

x2 y 2 ? ?1 4 12
16、

11、 ?

1 2
2

12、

2 2

13、 10 3

14、 (2, 4)

15、1 18、 3 3

4 3

17、 y ? 4x

19、A

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 二、解答题 1、 【答案】 (1) y 2 ? 4 x ( 0 ? y ? 2 ) . (2)五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值” . 【解析】 试题分析: (1)由 C 上的点到直线 ?? 与到点 F 的距离相等,知 C 是以 F 为焦点、以

?? 为准线的抛物线在正方形 ?FG? 内的部分.
(2)计算矩形面积,五边形面积.进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值,五边形面积与“经验值” 之差的绝对值,比较二者大小即可. 试题解析: (1)因为 C 上的点到直线 ?? 与到点 F 的距离相等,所以 C 是以 F 为焦点、以 . ?? 为准线的抛物线在正方形 ?FG? 内的部分,其方程为 y 2 ? 4x ( 0 ? y ? 2 ) (2)依题意,点 ? 的坐标为 ? 所求的矩形面积为

?1 ? ,1? . ?4 ?

5 11 ,而所求的五边形面积为 . 2 4

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为

5 8 1 ? ? ,而五边形面积与“经验值”之差 2 3 6

的绝对值为

11 8 1 . ? ? ,所以五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值” 4 3 12

考点:1.抛物线的定义及其标准方程;2.面积. 2、 【答案】 (1) y ? ? 2x . (2) ? 【解析】
2 ? 3b 4 ,解得 b2 . 试题分析: (1)设 ? ? x? , y? ? .根据 ?F 1?? 是等边三角形,得到 4 1 ? b

15 . 5

?

?

(2) (2)设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? 与双曲线方程联立,得到一元二次方程,根据 l 与双
2 2 曲线交于两点,可得 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .

?

?

设 ?? 的中点为 ? ? x? , y? ? .由 F ? k ? ?1 . 1? ? F 1? ? ?? ? 0 ,计算 F 1?? ?? ? 0 ,从而 kF 1? 得出 k 的方程求解. 试题解析: (1)设 ? ? x? , y? ? .
2 2 2 4 由题意, F2 ? c,0? , c ? 1 ? b2 , y? ? b c ? 1 ? b ,

?

???? ??? ? ??? ?

?

???? ? ??? ?

?

?

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 因为 ?F 1?? 是等边三角形,所以 2c ? 3 y? ,
2 4 2 即 4 1 ? b ? 3b ,解得 b ? 2 .

?

?

故双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2x . (2)由已知, F 1 ? ?2,0 ? , F 2 ? 2,0? . 设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? k ? x ? 2? .显然 k ? 0 .

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 由? ,得 ? k ? 3? x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 . 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
2 2 因为 l 与双曲线交于两点,所以 k ? 3 ? 0 ,且 ? ? 36 1 ? k ? 0 .

?

?

设 ?? 的中点为 ? ? x? , y? ? . 由 F ? k ? ?1 . 1? ? F 1? ? ?? ? 0 即 F 1? ? ?? ,故 kF 1?? ?? ? 0 ,知 F 1? 而 x? ?

?

???? ??? ? ??? ?

?

???? ? ??? ?

6k 3k x1 ? x2 2k 2 ? 2 , y? ? k ? x? ? 2 ? ? 2 , k F1? ? , k ?3 2k 2 ? 3 2 k ?3

所以

3k 3 15 ? k ? ?1 ,得 k 2 ? ,故 l 的斜率为 ? . 2 2k ? 3 5 5

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3、

4、 【解析】 : (1)将 A(1, 2), B(?1,0) 分别代入 x ? y ? 1 ,得 (1 ? 2 ? 1) ? (?1 ? 1) ? ?4 ? 0

) ,? ( 1 , 0 ) x ? y ? 1 ? 0 分割 ∴点 A( 1 , 2 B 被直线
(2)联立 ?

? x2 ? 4 y2 ? 1 ? y ? kx

,得 (1 ? 4k ) x ? 1,依题意,方程无解,
2 2

k2 ? 0 ∴1 ? 4 ,∴ k ? ?

1 1 或k ? 2 2
2 2

(3)设 M ( x, y ) ,则 x ? ( y ? 2) x ? 1 , ∴曲线 E 的方程为 [ x2 ? ( y ? 2)2 ]x2 ? 1 ①

当斜率不存在时,直线 x ? 0 ,显然与方程①联立无解,

E 上两点,且代入 x ? 0 ,有? ? ?1 ? 0 , 又P 1 (1, 2), P 2 (?1, 2) 为
∴ x ? 0 是一条分割线; 当斜率存在时,设直线为 y ? kx ,代入方程得: (k ? 1) x ? 4kx ? 4 x ?1 ? 0 ,
2 4 3 2 2 4 3 2 令 f ( x) ? (k ? 1) x ? 4kx ? 4 x ?1 ,则 f (0) ? ?1 ,

f (1) ? k 2 ? 1 ? 4k ? 3 ? (k ? 2)2 , f (?1) ? k 2 ? 1 ? 4k ? 3 ? (k ? 2)2 ,
当 k ? 2 时, f (1) ? 0 ,∴ f (0) f (1) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 在 (0,1) 之间存在实根,
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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 ∴ y ? kx 与曲线 E 有公共点 当 k ? 2 时, f (0) f (?1) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 在 (?1, 0) 之间存在实根, ∴ y ? kx 与曲线 E 有公共点 ∴直线 y ? kx 与曲线 E 始终有公共点,∴不是分割线, 综上,所有通过原点的直线中,有且仅有一条直线 x ? 0 是 E 的分割线

5、解: (1)因为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 ?1,0 ? 与椭圆 C 的右焦点重合,所以 c ? 1 ,又因为椭圆 C 的短轴长与焦 距相等,所以 b ? c ? 1 . 故椭圆 C 的方程为: ??2 分

2 x2 2 2 ? y 2 ? 1,其“相关圆” E 的方程为: x ? y ? . ??4 分 3 2
6 ,则 3
??6 分

证: (2) (i)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设其方程为 x ?

? 6 6? ? 6 ? 6? ,所以 ?AOB ? . A? , , B , ? ? ? ? ? 3 3 ? ? 3 ? 2 3 ? ? ? ?

(ii)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,并设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? m 则由 ? 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 2 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,??8 分 ? x2 2 ? ? y ?1 ?2
故△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 8(2k ? m ? 1) ? 0 ,即 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0
2 2 2 2 2 2

(*)

且 x1 ? x2 ? ?

4km 2(m2 ? 1) , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
m 1? k 2 ? m2 2 , 即 3m2 ? 2k 2 ? 2 ? 0. ?8 分 ? 2 1? k 3

由直线 l 与 “相关圆”E 相切,得 d ?

??? ? ??? ? 故 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 2(1 ? k 2 )(m2 ? 1) 4k 2 m2 3m2 ? 2k 2 ? 2 2 ? ? m ? ? 0. 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

从而 OA ? OB, 即?AOB ? 综合上述,得 ?AOB ? 解: (3)由于 S?OAB ?

??? ?

??? ?

?
2 ?
2

.
为定值.
??10 分

1 6 AB ? OP ? AB , 所以求 S?OAB 的取值范围,只需求出弦长 AB 的取值范围. 2 6

当直线 l 的斜率不存在时,由(2)的(i) ,知 AB ? 当直线 l 的斜率存在时,

2 6 ; 3

??12 分

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AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ?

? 8(2k 2 ? m2 ? 1) 8 4k 4 ? 5k 2 ? 1 8 ? k2 ? ? 4 ? ? ?1 ? 4 ?. 2 2 2 (1 ? 2k ) 3 4k ? 4k ? 1 3 ? 4k ? 4k 2 ? 1 ?
??14 分

(i)当 k ? 0 时, | AB |? 2 6 ; 3
2

? ? ? ? 1 8 8 1 (ii)当 k ? 0 时, 因为 4k ? 2 ? 4 ? 8 ,所以 ? ?1 ? ? ? 3, k 3 3 ? 4k 2 ? 1 ? 4 ? k2 ? ?
故 2 6 ? AB ?
3 3 ,当且仅当 k ? ?

2 时, A B ? 2

3.
2 ? ??16 分 ?. 2 ? ?

? 2 6 于是 A B 的取值范围为 ? , 3?. ? ? 3 ?
2 1

? ?

2 因此 S?OAB 的取值范围为 ? ? , ?3 ?

6、 【解析】 (1)由题意得 ? 或 ? ,分别解得 s ? 4 或 s ? 1 (2)由题意知: A? ? 2,0? , D ? 0,1? ,直线 l1 : y ? k1 ? x ? 2 ? ,直线 l2 : y ? k2 x ? 1 由? ?
? y ? k1 x ? 2
2 2

s 2

s 2

1 2

?

? ? x ? 2 y ? 2?

? 得: ?1 ? 2k ? x
2 1

2

? 4 2k12 x ? 4k12 ? 2? ? 0 ,因为直线 l1 与椭圆 G 仅有一个公共点,则 ? ? 0 ? k12 ?

?
2??



由?

1? ? ? y ? k2 x ? 1 得: ?1 ? 2k12 ? x2 ? 4k2 x ? 2 ? 2? ? 0 ,因为直线 l2 与椭圆 G 仅有一个公共点,则 ? ? 0 ? k22 ? ② 2 2 2? x ? 2 y ? 2 ? ? 1 1 1 代入①得: k12 ? k22 ? ? k1 ? k2 ? ,所以 2 4 2 1 ? 2k 2

由②解得: ? ? 此时 k1 ? k2 ?

k1 ? k2 ? 2 k1 ? k2 ? 2

2 1 1 ,即 ? ? ? 2 2 1 ? 2k2 2
t 2 x2 y 2 ? ? t ? 4 ,所以 H : ? ? 1 。且 A ? 2,0 , B 2 1 2 4

(3)由题意知:

?

?

?

2,0 。

?

2 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? x2 y 2 2 ? x0 ? 1 上, 设垂心 M ? x0 , y ? ,则 AM ? BC ,即 AM ? BC ? 0 ? x0 ? 2, y ? x0 ? 2, y0 ? 0 ? y ? 。又点 C ? x0 , y0 ? 在 H : ? 2 4 y0

?

??

?

2 ? 2 ? x0 ? 2 2 2 2 ? 2 y 2 ? x0 ? 2? ? y0 ? 4 。则 x0 有 2 x0 ? ? 2 ,所以 ?ABC 的垂心 M 在椭圆 E 上。 y ? 0 ?

2

7、解: (1)由已知得 解得 a ? 2, b ? 1 ∴椭圆 C 的标准方程为

?2a ? 2 ? 2b ? ?2c ? 2 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
x ? y2 ? 1 . 4
2

3分

5分 6分

(2)(理)由题意可设直线的方程为: y ? kx ? m ? km ? 0? ,

第 32 页 /共 41 页

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? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 ,消去 y 并整理, 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 得: ?1 ? 4k ? x ? 4kmx ? 4 ? m ? 1? ? 0
2 2 计算 ? ? 16 4k ? m ? 1 ? 0

7分 8分

?

?

此时设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

4 m2 ? 1 8km 则 x1 ? x2 ? , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 于是 y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? k 2 x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 又直线 OM , MN , ON 的斜率依次成等比数列,
2 2 y1 y2 k x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ∴ ? ? ? k2 x1 x2 x1 x2

?

?

9分 10 分

11 分 12 分 13 分 13 分 8分 9分 11 分 13 分

8k 2 m2 1 ? m2 ? 0,? m ? 0,? k 2 ? ∴? 2 1 ? 4k 4
所以是不定向的, (2)文

? ? 方向向量 d ? ? ?2,1?
可得 A? 2,1? , B ? ?2,1? 设 P xP , y p ,则

?

?

? ? xP ? 2 ? m ? n ? ? ? ? yP ? ? m ? n ? 1 ? m2 ? n2 ? 2

2 xP ? yP 2 ? 1 4

?a ? 1 ?a ? 1, ? ?? 8、解: (1)由已知,得 ? b 故双曲线 C 的方程为 ? 2 ?b ? 2, ? ?a
???? ? ? AM ? (m ?1, n) 为直线 AM 的一个方向向量,
? 直线 AM 的方程为

x2 ?

y2 ? 1. 4

??3 分

x ?1 y n ? , 它与 y 轴的交点为 P(0, ). m ?1 n 1? m

??5 分

???? (2)由条件,得 N (?m, n), 且 AN ? (?m ?1, n) 为直线 AN 的一个方向向量,
故直线 AN 的方程为

n x ?1 y ). ? , 它与 y 轴的交点为 Q (0, ?m ? 1 n 1? m

??7 分

假设在 x 轴上存在定点 T ( x0 , 0) ,使得 T P ? T Q ,则

??? 由 TP ? ( ? x0 ,

??? ? n n n2 ), TQ ? (? x0 , ? ), 及 m 2 ? ? 1, 得 m ?1 m ?1 4
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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 ? ? ? ? ? ?? n n n2 n2 2 2 2 T P? T Q ?( ? 0 x , )( ?? x0 , ? ) ? x0 ? 2 ? x0 ? ? x0 ? 4 ? 0. m ?1 n2 m ?1 m ?1 (1 ? ) ? 1 4 故 x0 ? ?2, 即存在定点 T ,其坐标为 (2, 0) 或 (?2, 0), 满足题设条件. ??10 分

??? ? ??? ? ??? ? (3) 由 OR ? OS ? RS 知,以 OR、OS 为邻边的平行四边形的对角线的长相等,故此四边形为矩形,从而

??? ? ??? ? OR ? OS.

??12 分

由已知,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, 并设 R( x 1 , y 1 ) , S (x 2 ,y 2 ),

? y ? kx ? 2, 则由 ? ? 2 y2 ? 1, ?x ? ? 4



(k 2 ? 4) x2 ? 4kx ? 8 ? 0.

2 由 ? ?1 6 k 2 ? 3 2k(2 ? 4 ) ? 16( ? k8

及 ? ) k 20? ,4? 0得 , k2 ? 8 且 k2 ? 4

(*)

由 x1 ? x2 ? ?

4k 8 , x1 x2 ? 2 , y1 y2 ? (k x1 ? 2)(k x2 ? 2), k ?4 k ?4
2

??14 分

??? ? ??? ? 8(k 2 ? 1) 8k 2 4(k 2 ? 2) 得 OR ? OS ? x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 ? 2 ?4? 2 ?0 k ?4 k ?4 k ?4
故 k 2 ? 2, 符合约束条件(*). 因此,所求直线 l 的方程为 y ? ? 2 x ? 2 . ??16 分

2 9、[解](1)由题意,直线 y ? kx ? 1 上点 ( x0 , kx0 ? 1) 满足 x2 ? y 2 ? 1 ,即求不等式 x0 ? (kx0 ? 1)2 ? 1的解为一切实 数时 k 的取值范围. (1 分) 2 2 对于不等式 (1 ? k ) x0 ? 2kx0 ? 2 ? 0 , 当 k ? ?1 时,不等式的解集不为一切实数, (2 分)

于是有 ?

?1 ? k 2 ? 0, ? 解得 | k |? 2 . 2 2 ? ?? ? 4k ? 8(1 ? k ) ? 0,

故 k 的取值范围为 (??, ? 2) ? ( 2, ??) . (4 分) (2)因为圆 x2 ? y 2 ? r 2 和双曲线 C( a ,b ) 均关于坐标轴和原点对称,所以只需考虑这两个曲线在第一象限及 x 、 y 轴正半轴的情况. 由题设,圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,它们交点的坐标为 ? 将x?

? 2r 2 r ? . ? 2 , 2 ? ? ? ?

r2 r2 2r 2r ,y? 代入双曲线 C( a ,b ) 方程,得 2 ? 2 ? 1 (*) , (6 分) 2a 2b 2 2 4 1 又因为 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,所以 2 ? 2 ? 1, (7 分) a b 4b 2 8b 2 将 a2 ? 2 代入(*)式,得 r 2 ? 2 . (9 分) b ?1 b ?3 3r 2 ? 0 ,解得 r 2 ? 8 .因此, r 的取值范围为 (2 2, ??) . 由 b2 ? 2 (10 分) r ?8 x2 y2 1 1 (3)由 | xy |? mx 2 ? 1 ,得 | y |? m | x | ? .将 | y |? m | x | ? 代入 2 ? 2 ? 1 , a b | x| | x|
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? 1 ? ?m| x|?| x|? x ? ? 1 对任意非零实数 均成立. 由题设,不等式 2 ? ? (12 分) x a b2
2

2

? 1 ? ?m| x| ?| x|? 2 2 x ? ? 1 [(b 2 ? a 2 m 2 ) x 2 ? a ? 2a 2 m] . 其中 2 ? ? a b2 a 2b 2 x2 a2 ? 2a 2m , 令 x 2 ? t ,设 f (t ) ? (b 2 ? a 2m 2 )t ? (t ? 0 ) . t 当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时,函数 f (t ) 在 (0, ??) 上单调递增, f (t ) ? 1 不恒成立; (14 分)
当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, (b 2 ? a 2 m 2 )t ?

2

a2 ≤ ?2 (a 2 m 2 ? b 2 )a 2 , t

函数 f (t ) 的最大值为 ?2 (a 2 m2 ? b2 )a 2 ? 2a 2 m ,

?2 (a 2 m2 ? b 2 )a 2 ? 2a 2 m ? 0 ?1 ; (16 分) a 2b 2 a2 当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, f (t ) ? ? ? 2a 2 m ? 0 ? 1 . (17 分) t b ?b ? 综上, b2 ? a 2 m2 ≤ 0 ,解得 m ≥ .因此, m 的取值范围为 ? , ?? ? . (18 分) a ?a ?
因为 m ? 0 ,所以 10、 (1)抛物线 y 2 ? ?8 x 的焦点为 (?2, 0) ???1 分

所以椭圆 C : 又

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 (?2, 0) , c ? 2 , b 2 ? a 2 ? 4 ???2 分 a 2 b2

3 1 ? 2 ? 1 ,得 a4 ? 8a2 ? 12 ? 0 ,解得 a 2 ? 6 ( a 2 ? 2 舍去)???4 分 2 a b

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 。???6 分 6 2
…………………7 分

(2)直线 l 的方程为 y ? x ? 2 .

?y ? x ? 2 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 2 ?6 消去 y 并整理得 2 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 3 故 x1 ? x2 ? 3 , x1 x2 ? . 2
则 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ?
2

…………………9 分

…………………10 分

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 6 …………12 分

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? , ???????????(2 分) 11、 (1)设 P( x , y) ,由题意, | x?4| 2
化简得 3x ? 4 y ? 12 ,
2 2

??????(3 分)

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ????????????(4 分) 4 3

2 2 (2)设 N ( x , y ) ,则 | MN |2 ? ( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ? 4 x ? 2m x ? m ? 3 ? ?

?

x2 ?

1

1 ( x ? 4m) 2 ? 3(1 ? m 2 ) , ? 2 ? x ? 2 . ????????????(2 分) 4 1 ①当 0 ? 4m ? 2 ,即 0 ? m ? 时,当 x ? 4 m 时, | MN |2 取最小值 3(1 ? m2 ) ? 1, 2 ?
解得 m ?
2

2 6 4 6 ,m ? ,此时 x ? ? 2 ,故舍去. 3 3 3

???????(4 分)

1 ? m ? 2 时,当 x ? 2 时, | MN |2 取最小值 m2 ? 4m ? 4 ? 1, 2 解得 m ? 1 ,或 m ? 3 (舍) . ???????????????????(6 分) 综上, m ? 1 .
②当 4 m ? 2 ,即 (3)解法一:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , (1 分) 4 x1 x2 4

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ,
2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?

?

x2 ?

?

x2 ?

所以, 9 x1 x2 ? 16y1 y2 ? 9(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ,化简得 x1 ? x2 ? 4 .
2 2 2 2 2 2 2 2

????(2 分)

①当 x1 ? x2 时,则四边形 ABA 1B 1 为矩形, y2 ? ? y1 ,则

y12 3 ? , x12 4
3

2 2 2 1 1 由 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ,解得 x1 ? 2 , y1 ? 2 , ?1 ? 4 ? ? ,得 4 x1 ? 3? ? ? ? ?

?

x2 ?

3

?

x2 ?

S ?| AB | ? | A1B |? 4 | x1 || y1 | ? 4 3 .

??????????????(3 分)

②当 x1 ? x2 时,直线 AB 的方向向量为 d ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,直线 AB 的方程为

?

( y2 ? y1 ) x ? ( x2 ? x1 ) y ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 ,原点 O 到直线 AB 的距离为 d ?
所以,△ AOB 的面积 S ?AOB ?

| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

1 1 ? | AB | ?d ? | x1 y2 ? x2 y1 | , 2 2

根据椭圆的对称性,四边形 ABA 1B 1 的面积 S ? 4S?AOB ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,??(4 分) 所以, S ? 4( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 2 2 2 2 2

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? ? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 1 2 2? ? ? ? 4? 2 4 ?? ? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

??????????????(6 分)

解法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) , 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4

????????????????(1 分)

2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?

?

x2 ?

?

x2 ?

所以, 9 x1 x2 ? 16y1 y2 ? 9(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ,化简得 x1 ? x2 ? 4 .
2 2 2 2 2 2 2 2

????(2 分) ,

直线 OA 的方程为 y1x ? x1 y ? 0 ,点 B 到直线 OA 的距离 d ? △ ABA 1 的面积 S ?ABA1 ?

| x1 y2 ? x2 y1 | x12 ? y12

1 ? | AA1 | ?d ?| x1 y2 ? x2 y1 | , 2

????????(3 分)

根据椭圆的对称性,四边形 ABA ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,??(4 分) 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1 所以, S ? 4( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 2 2 2 2 2
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? 2? ? ? 2 1 2 ?? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 4 4 ? ? ?? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

????????????(6 分)

解法三:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4

????????????????(1 分)

2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?

?

x2 ?

?

x2 ?

所以, 9 x1 x2 ? 16y1 y2 ? 9(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ,化简得 x1 ? x2 ? 4 .
2 2 2 2 2 2 2 2

????(2 分)

△ ABA 1 的面积 S ?ABA1

x1 1 ? x2 2 ? x1

y1 y1 ? y1

1 1 ?| x1 y2 ? x2 y1 | , ????????(3 分) 1

根据椭圆的对称性,四边形 ABA ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,??(4 分) 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1
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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线
2 2 2 2 所以,所以, S 2 ? 4( x1 y2 ? x2 y1 )2 ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? 2? ? ? 2 1 2 ?? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 4 4 ? ? ?? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

??????????????(6 分)

12、解:(1)由题意得:圆 R 的半径为 2 2 ,因为直线 OP, OQ 互相垂直,且与圆 R 相切,所以四边形 OPRQ 为 正方形,故 OR ?
2 2 2r ? 4 ,即 x0 ? y0 ? 16 ① ??????3 分

2 2 x0 y0 ? ? 1 ②?????????????5 分 又 R?x0 , y0 ?在椭圆 C 上,所以 C : 24 12

由①②及 R 在第一象限,解得 x0 ? y0 ? 2 2 ,????????????????7 分 (2)证明:因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x 均与圆 R 相切,????????8 分 所以

| k1 x0 ? y0 | 1? k
2 1

2 2 ? 8)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ?8 ? 0 ? 2 2 ,化简得 ( x0

2 2 2 同理有 ( x0 ? 8)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ? 8 ? 0 ??????????????????10 分

2 2 所以 k1、k2 是方程 ( x0 ? 8)k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ? 8 ? 0 的两个不相等的实数根,
2 y0 ?8 ,???????????????????????????11 分 2 x0 ? 8
2 x0 y2 ? 0 ?1, 24 12

所以 k1k2 ?

又因为 R?x0 , y0 ?在椭圆 C 上,所以 C :

1 2 x0 1 1 2 2 2 ? ? ,即 2k1k2+1=0.?????????14 分 即 y0 ? 12 ? x0 ,所以 k1k 2 ? 2 2 x0 ? 8 2 4?
x2 y2 ? ?1 方 程 得 : a2 b2

13 、 (1) 解 法 1 : 设 不 经 过 点 O 的 直 线 P1P2 方 程 为 y ? k1 x ? l , 代 入 双 曲 线

(b2 ? a2 k12 ) x2 ? 2a2 k1lx ? a2b2 ? a2l 2 ? 0 .
设 P1 坐标为 ( x1 , y1 ) ,P2 坐标为 ( x2 , y2 ) ,中点坐标为 M (x,y),则 x ?

x1 ? x2 y ? y2 2a 2 k1l ,y? 1 ,x1 ? x2 ? 2 , 2 2 b ? a 2 k12

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

k2 ?

b2 y1 ? y2 b2 ? a 2 k12 2 2 2 2 2 2 ,所以, , k k = 。 ? k1 ? a k k ? a k ? b ? a k 1 2 1 2 1 1 a2 x1 ? x2 a 2 k1

? x12 y12 ? ? 1 (1) x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? a 2 b2 ,y? 另解:设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点 M (x,y),则 x ? 且? 2 2 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? ? a 2 b2
(1)-(2)得:

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0。 a2 b2

因为,直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)?0, 等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2),得:

1 y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ? ? ?0 a 2 x1 ? x2 x1 ? x2 b 2



k1k2=

b2 。????6 分 a2

? 22 1 x2 ? ? ? 1, ? y2 ? 1, (2)由已知得 ? a 2 b 2 ,求得双曲线方程为 2 ?a 2 ? b 2 ? 3 ?
直线 P1 P2 斜率为

b2 3 1 ? ? , a2 2 3
1 ( x ? 2) , 3

直线 P1 P2 方程为 y ? 1 ?

代入双曲线方程可解得 P2 (? 面积

10 1 2 3 , ? ) (中点 M 坐标为 ( , ) . 7 7 7 7

1 8 8 3 F1F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 2 7 7 3 另解: 线段 P1 P2 中点 M 在直线 y ? x 上.所以由中点 M((x,y),可得点 P2 的坐标为 P 2 (2 x ? 2,3x ?1) ,代入双 2 2 3 10 1 (2 x ? 2) 2 ? (3x ? 1) 2 ? 1 , 即 7 x 2 ? 2 x ? 0 , 解 得 x ? ( y ? ) 曲线方程可得 , 所 以 P2 (? , ? ) 。 面 积 2 7 7 7 7 1 8 8 3 F1F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 2 7 7
9 ?1 x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 14、[解](1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,由题设得 ? a ,?2 分 4b a b ?a 2 ? b 2 ? 1 ?

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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线

?a 2 ? 4 x2 y 2 ?? 2 ? ?1 ,? 椭圆 ? 的方程是 4 3 ?b ? 3
(2)设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,由 ?

??????????4 分

? y ? k ( x ? 1), 得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 2 ? y ? 4 x,

l 与抛物线 ? 有两个交点, k ? 0 , ? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 ,

4(k 4 ? 4k 2 ? 4) ? 4k 4 4(k 2 ? 1) 2 则 AB ? ? 1? k ? k2 k2
P(?1, k ) 到 l 的距离 d ?

??????????6 分

3k k 2 ?1

,又 S△PAB ? 4 3 ,? ?

1 4(k 2 ? 1) 3 k ? ?4 3 2 k2 k 2 ?1
?????????10 分

4k 2 ? 3k 2 ? 3 ,故 k ? ? 3 .

(3)? C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,点 C 关于 y 轴的对称点为 Q(? x1 , y1 ) , 则直线 CD : y ? y1 ? 直线 QD : y ? y1 ?

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 m ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

y2 ? y1 x (y ? y ) x y ? x y ( x ? x1 ) ,设 x ? 0 得 n ? y1 ? 1 2 1 ? 2 1 1 2 14 分 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

2 2 2 2 2 3 3 x12 y12 x2 y2 x2 y1 ? x12 y2 2 2 ? (4 ? x2 ) ? ? 1, ? ? 1 ? y12 ? (4 ? x12 ) , y2 ,又 ? mn ? 2 2 4 4 4 3 4 3 x2 ? x1

x2 y 2 ? x2 y 2 ? mn ? 2 12 12 2 ? x2 ? x1

3 2 3 2 x2 ? (4 ? x12 ) ? x12 ? (4 ? x2 ) 4 4 ? 3 .?????????16 分 2 x2 ? x12

15、解: (1)因为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点,即 F (1, 0)

又椭圆 M 的对称轴为坐标轴,所以设椭圆方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1, a ? b ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? 1 2 a b

又以 F 为圆心,以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l:x ? 2 2 y ? 2 ? 0 相切 即b ?

1? 0 ? 2 1 ? (2 2) 2

? 1,所以椭圆 M 的方程是

x2 ? y2 ? 1 2

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ?

?y ? x ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

? 3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

? ? (4m)2 ?12(2m2 ? 2) ? ?8m2 ? 24 ? 0 ? ? 3 ? m ? 3

??? ? ??? ? ??? ? 4 2 4 2 x2 ?OP ? OA ? OB,? P( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 又 x1 ? x2 ? ? m, y1 ? y2 ? m , 即 P (? m, m) 在椭圆 ? y 2 ? 1 3 3 3 3 2
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上海市重点中学讲义汇编----专题:圆锥曲线 上,即 (?

4 2 2 3 m) ? 2( m)2 ? 2 ? m ? ? 3 3 2

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