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数学竞赛辅导(三角形的五心)



数学竞赛辅导
三角形的五心

Preview one

A

一、外心的性质
O B C

?

Example one

二、垂心的性质
?

斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中,任何三个为顶点的三 角

形的垂心就是第四个点.所以把这样的四个点称为一个“垂 心组”. 锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆 半径之和的2倍。

? ?

等价于证明

三、内心的性质
A
?

三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心

?
? ?

三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径
设三角形面积为S,
B 设I为ΔABC的内心,则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。

F

M I D H E K C

四、重心的性质
?

三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心

A F B D G C E

?
?

三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2
空间直角坐标系: 横坐标:(X1+X2+X3)/3 纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/3

A

五、旁心的性质
B F E Ia D C

?

三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切 圆圆心)

?

三角形的三个旁心与内心构成一垂心组,反过来,一个三角形的顶点与垂心是高 的垂足三角形的旁心与内心。

六、三角形的五心的综合性质
?

(1)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂 心; (2)三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三 角形的垂心; (3)三角形的外心是它的中点三角形的垂心;

?

?

?
? ? ?

(4)三角形的重心也是它的中点三角形的重心;
(5)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心. (6)鸡爪定理 (7)鸭爪定理

Example six
△ABC的外心为O,AB=AC,D是AB中点,E是△ACD的重心. 证明OE丄CD.

Example seven

Proof one

Proof one

五点共圆

Second try

Example eight

Example eight

Example nine

Exercise one

Exercise ten



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