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2015届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考+模拟)第十章统计与概率



2014 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第十章统计与概率
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1、 (2013 年高考湖南卷(理) )某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与

业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用 的抽样方法是 ( ) A

.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 2、 (2013 年高考安徽数学(理)试题)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生, 随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90, 五名 女生 的成 绩分 别为 88,93,93,88,93. 下 列说 法一定正 确的 是 ( ) A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3、 (2013 年高考陕西卷(理) )某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问 卷调查, 将 840 人按 1, 2, , 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间[481, 720] 的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 4、 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理】甲、乙两名运动员在某项测试 中的 6 次成绩的茎叶图如图 2 所示, x1 , x2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均 数 , s1 , s2 分 别 表 示 甲 乙 两 名 运 动 员 这 项 测 试 成 绩 的 标 准 差 , 则 有

A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2

B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

5、 【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分 情况如下表: 考试次数 x 所减分数 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为 A. y ? 0.7 x ? 5.25 B. y ? ?0.6 x ? 5.25

C. y ? ?0.7 x ? 6.25

D. y ? ?0.7 x ? 5.25

6( 、上海市奉贤区 2013 年高考二模) 设事件 A , B ,已知 P ( A) =

1 1 8 , P ( B ) = , P( A B) = , 5 3 15
( ) D.对立事件

则 A , B 之间的关系一定为 A.两个任意事件 B.互斥事件

C.非互斥事件

7、 (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模) )为了解一片速生林的生

长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出了样本的 频率分布直方图(如右),那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是
频率/组距 0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)

第 4 题图 ( A.30 B.60 C.70 D.80
2 2 8、 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三) 】记集合 A ? ( x, y ) | x ? y ? 16



?

?

和集合 B ? ?( x, y) | x ? y ? 4 ? 0, x ? 0, y ? 0 ? 表示的平面区域分别为 ?1, ?2 若在区域 ?1 内任取一点 M ( x, y ) ,则点 M 落在区域 ? 2 的概率为 A.

1 2?

B.

1

?

C.

1 4

D.

? ?2 4?

9、 【2012 武昌区高三年级元月调研】通过随机询问 110 名性别不同的行人,对过马路是愿 意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的列联表:

n(ad ? bc)2 由K ? ,算得 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

附表:

参照附表,得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”

B.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关” 10、 (2013 年高考陕西卷 (理) ) 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假 设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无 信号的概率是 .

D

F

C

1 E A
?

2
?
?1

B
( )

4 2 2 4 11、 (2013 年高考广东省数学(理) )已知离散型随机变量 X 的分布列为

A. 1 ?

B.

C. 2 ?

?

D.

?

X P
则 X 的数学期望 EX ?

3 5

2 3 10

3 1 10
( )

3 A. 2

B. 2

5 C. 2

D. 3

12、 (2013 年高考湖北卷(理) )如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大

小的小正方体 . 经过搅拌后 , 从中随机取出一个小正方体 ,记它的涂油漆面数为 X , 则

X 的均值为 E ? X ? ?
A.





126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线 上)
13 . (2013 浙江金华十校 4 月模拟)某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生,为了调查

学生的课余学习情况, 拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。 已知高一有 760 名学生,高二有 840 名学生,则在该学校的高三应抽取 名学生。 14 . (新疆乌鲁木齐地区 2013 届高三第一次诊断性)某车间为了规定工时定额,需要确定加 工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验.根据 收集到的数据 (如下表) ,由最小二乘法
求得回归直线方程

表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为______ . 15、 (2013 年高考江苏卷 (数学) 抽样统计甲、 乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环),

结果如下: 运 动 员 甲 乙 第1 次 87 89 第 2 次 91 90 第 3 次 90 91 第 4 次 89 88 第5 次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____________.
16 、 ( 2013 年 高 考 试 山 东 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 区 间

? ?3,3? 上 随 机 取 一 个 数 x , 使 得

x ?1 ? x ? 2 ? 1

成立的概率为______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) (2013 广东理)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工
零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有名优秀 工人的概率.

1 2

7 0
0

9
1

5

3

第 17 题图

18.(本小题满分 12 分) (2013 年高考北京卷(理) )下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质 量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空 气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

19.(本小题满分 12 分) 【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 13 分) 汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽 车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 出租天数 车辆数 出租天数 车辆数 1 5 1 14 2 10 2 20 3 30 3 20 B 型车 4 16 5 15 6 10 7 5 4 35 5 15 6 3 7 2

(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好 是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数 恰好为 4 天的概率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买 一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

20.(本小题满分 12 分) (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD
版) ) 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为

2 , 3

中将可以获得 2 分;方案乙的中奖率为

2 ,中将可以得 3 分;未中奖则不得分.每人有且 5

只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X , Y ,求 X ? 3 的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计 的得分的数学期望较大?

21. (本小题满分 12 分) 【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】 (本小题满分 12 分) 为了参加 2012 年贵州省高中篮球比赛, 某中学决定从四个篮球较强的班级中选出 12 人组成 男子篮球队代表所在地区参赛,队员来源人数如下表: 班级 人数 高三( 7 )班 高三( 17 )班 高二( 31 )班 高二( 32 )班

4

2

3

3

(I)从这 12 名队员中随机选出两名,求两人来自同一班级的概率; (II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其中 来自高三(7)班的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

22.(本小题满分 12 分) (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) ) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的
中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,求满足 | PH | ?

2 的概率;

(2) 从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中 , 随机选取两个点 , 记这两个点之间 的距离为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

参考答案
一、选择题

1、D 2、C 3、B 4、 【答案】D 【解析】由样本中数据可知 x1 ? 15 , x2 ? 15 ,由茎叶图得 s1 ? s2 ,所以选 D. 5、 【答案】D 【解析】由题意可知,所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间为负相关,所以排除 A.考试次数 的 平 均 数 为 x?

1 ( 1? 2 ? 3 ? 4 ? ) 2 .减5 分 数 的 平 均 数 为 , 所 4 2 ?即 . 直 5 线 ) 应该 3 过 . 点 5 (2.5,3.5) , 代 入 验 证 可 知 直 线 ,

1 y ? ( 4 .? 5 ? 4 ? 3 4

y ? ?0.7 x ? 5.25 成立,选 D.
6、B 7、C 8、 【答案】A 【解析】区域 ? 1 为圆心在原点,半径为 4 的圆,区域 ? 2 为等腰直角三角形,两腰长为 4,

所以 P ?

S? 2 S? 1

?

8 1 ,故选 A. ? 16π 2π

9、 【答案】A 【解析】 P( K ? 6.635) ? 0.01 ? 1 ? 99%
2

∴有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” ,选 A。 10、 【答案】A

1 ? ? ? 12 扇形ADE的面积 ? 扇形CBF的面积 2 ? 【解析】该地点信号的概率= ? ? 矩形ABCD的面积 2 4
? 所以该地点无 信号的概率是 1 ? 。选 A . 4
11、 【解析】A; EX ? 1?

3 3 1 15 3 ? 2 ? ? 3? ? ? ,故选 A. 5 10 10 10 2

12、 【解析与答案】三面涂有油漆的有 8 块,两面涂有油漆的有 36 块,一面涂有油漆的有 54 块,没有涂有油漆的有 27 块,所以 E ? X ? ? 3 ? 二、填空题 13、40 14、填 68 . 【解析】设遮住部分的数据为 m , x =

8 36 54 6 ? 2? ? 1? ? 。故选 B。 125 125 125 5

10 + 20 + 30 + 40 + 50 ? 30 , 5

? = 0.67 x + 54.9 过 ? x, y ? 得 y = 0.67 ? 30 + 54.9 = 75 由y



62 + m + 75 + 81+ 89 = 75 ,故 m ? 68 . 5

15、解析:易知均值都是 90,乙方差较小,

s2 ?

1 n ? xi ? x n i ?1
1 3

?

?

2

?

1 2 2 2 2 2 ?89 ? 90 ? ? ? 90 ? 90 ? ? ? 91 ? 90 ? ? ?88 ? 90 ? ? ? 92 ? 90 ? ? 2 5

?

?

16、【答案】

??3, ?3 ? x ? ?1 ? 【 解 析 】 设 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 , 则 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? 2 x ? 1, ?1 ? x ? 2 。 由 ?3, 2 ? x ? 3 ?

2 x ? 1 ? 1 ,解得 1 ? x ? 2 ,即当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 1 。由几何概型公式得所求概率为

3 ?1 2 1 ? ? 。 3 ? (?3) 6 3
三、解答题
17、 【解析】(Ⅰ) 样本均值为

17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 132 ? ? 22 ; 6 6 2 1 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 样 本 中 优 秀 工 人 占 的 比 例 为 ? , 故 推 断 该 车 间 12 名 工 人 中 有 6 3 1 12 ? ? 4 名优秀工人. 3 ( Ⅲ ) 设 事 件 A : 从 该 车 间 12 名 工 人 中 , 任 取 2 人 , 恰 有 名 优 秀 工 人 , 则
1 1 C4 C 16 P ? A? ? 2 8 ? . C12 33

18、解:设 Ai 表示事件“此人于 3 月日到达该市”(=1,2,,13).

根据题意, P ( Ai ) ?

1 ,且 Ai 13

Aj ? ?(i ? j ) .

(I)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B ? A5 所以 P ( B ) ? P ( A5

A8 ,

A8 ) ? P ( A5 ) ? P ( A8 ) ?

2 . 13

(II)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且

4 , 13 4 P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 13 5 P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= , 13
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= 所以 X 的分布列为:

X P

0 1 2 5 4 4 13 13 13
5 4 4 12 ? 1? ? 2 ? ? . 13 13 13 13

故 X 的期望 EX ? 0 ?

(III)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 19、解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 30 ? ? 0.6 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 30 ? 20
这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6

(II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” , 其中 i, j ? 1,2,3,...,7 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 ) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 )P( B2 ) ? P( A3 )P( B1 )
5 20 10 20 30 14 ? ? ? ? ? 100 100 100 100 100 100 9 ? 125 ?
该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为

9 125

X
P

1 0.05

2 0.10

3 0.30

4 0.35

5 0.15

6 0.03

7 0.02

设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为

Y
P
=3.62

1

4

5

6

7[Y.COM /]

2
0.14 0.20

3
0.20 0.16 0.15 0.10 0.05

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05
=3.48
一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天,B 类车型一个星期出租天数的 平均值为 3.48 天. 从出租天数的数据来看,A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的 方差,综合分析,选择 A 类型的出租车更加合理 .

20、解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为

2 2 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不影响, 3 5

记“这 2 人的累计得分 X ? 3 ”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“ X ? 5 ”,

P( X ? 5) ?

2 2 4 11 ? ? ,? P( A) ? 1 ? P( X ? 5) ? 3 5 15 15 11 . 15

? 这两人的累计得分 X ? 3 的概率为

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1 ,都选择方案乙抽奖中奖的次数 为 X 2 ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E (2 X 1 ) ,选择方案乙抽奖累计 得分的数学期望为 E (3 X 2 ) 由已知: X 1 ~ B (2, ) , X 2 ~ B (2, )

2 3

2 5

? E( X1) ? 2 ?

2 4 2 4 ? , E( X 2 ) ? 2 ? ? 3 3 5 5

8 12 ? E (2 X 1 ) ? 2 E ( X 1 ) ? , E (3 X 2 ) ? 3E ( X 2 ) ? 3 5
E (2 X 1 ) ? E (3 X 2 )

? 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.
21、解: (I)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件 A , 则 P( A) ?
2 2 C4 ? C2 ? C32 ? C32 13 ? 2 C12 66

(II) ? 的所有可能取值为 0,1, 2 则 P(? ? 0) ?
0 2 1 1 2 0 C4 C8 14 C4 C8 16 C4 C8 3 ? , P ( ? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C12 33 C12 33 C12 33

∴ ? 的分布列为:

?

0

1

2

P
∴ E? ? 0 ?

14 33

16 33

3 33

14 16 3 2 ? 1? ? 2 ? ? 33 33 33 3

22、解:(1)这是一个几何概型.所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其面积是

2? 2 ? 4
满足 | PH | ?

2 的点 P 构成的平面区域是以 H 为圆心, 2 为半径的圆的内部与正方

形 ABCD 内部的公共部分,它可以看作是由一个以 H 为圆心、 2 为半径、

? 的扇形 HEG 的内部(即四分之一个圆)与两个 2 直角边为 1 的等腰直角三角形(△ AEH 和△ DGH )内部
圆心角为 构成

D

G

C

1 ? 2 ? ? 1? 1 ? 2 ? ?1 2 所以满足 | PH | ? 2 的概率为 ? 4
其面积是
2

1 ? ?? 4

? 2?

? ?1 2

H

F

? 1 ? 8 4

A

E

B

2 (2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,任意选取两个点,共可构成 C8 ? 28

条不同的线段. 其中长度为 1 的线段有 8 条,长度为 2 的线段有 4 条,长度为 2 的线段有 6 条,长度为

5 的线段有 8 条,长度为 2 2 的线段有 2 条.
所以 ? 所有可能的取值为 1, 2,2, 5,2 2 且

8 2 ? 28 7 6 3 P ?? ? 2 ? ? ? , 28 14 8 2 P ?? 5 ? ? , 28 7 P ?? ? 1? ?

,

P ?? 2 ?

?

?

4 1 ? 28 7

,

?

?

P ? ?2 2 ?

?

?

2 1 ? 28 14

所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P

2
2 7 1 7

2

5
2 7

2 2
1 14

??10 分

3 14

随机变量 ? 的数学期望为

2 1 3 2 1 5? 2 2 ?2 5 E? ? 1? ? 2 ? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 2 ? ? 7 7 14 7 14 7



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