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湖南省益阳市箴言中学2013-2014学年高二上学期期末考试试题 数学(理) Word版含答案


2013 年下学期期末考试高二理科数学试卷
命题:谢栋国 网
时量 120 分钟 总分 150 分 一、选择题(8× 5=40 分) 1. 已知抛物线的焦点是 F(0,-2) ,则它的标准方程为( ) A. x 2 ? 4 y 2. B. x 2 ? ?4 y C. x 2 ? 8 y D. x 2 ? ?8 y

座位号

已知命题 p:在锐角三角形 .....ABC 中, ? A,B,使 sinA<cosB;命题 q: ? x∈R,都有 x2+x+1>0,给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ③命题“ ? p∨ ? q”是假命题; 其中正确结论的序号是( ) A.② ③ B.② ④ ②命题“ ? p∨q”是真命题; ④命题“p∧ ? q”是假命题; C.③ ④ D.① ② ③

考号

3. 4.

在△ ABC 中,已知 a= 2 ,b= 3 ,B=60° ,则角 A 等于( ) A.45° B.135° C.45° 或 135° D.60° 或 120° 有下列三个命题: ① “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ② “若 a>b,则 a2>b2 ”的逆否命题; ③ “若 x≤-3,则 x2+x-6>0”的否命题. 其中正确命题的序号是( ) A.① B.② C.③ D.① ③

班级

5.

?x ? y ? 0 ? 若 ? x ? y ? 0 ,且 z=x+2y 的最大值为 3,则 a 的值是( ?y ? a ?



6.

A.1 B.2 C.3 D.4 设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△ F1PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) A.

7.

已知函数 y= f ( x) 的导函数 y= f ?( x) 的图象如下图所示,则( A.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,1 个极小值点

2 2

B.

2 ?1 2

C.2- 2

D. 2 -1 )
y

y ? f ?( x)

B.函数 f ( x) 有 2 个极大值点,2 个极小值点

姓名

x

C.函数 f ( x) 有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,3 个极小值点 8.

x1 x2

x3 O

x4

设数列 ?an ?(n∈ N*)是等差数列,S n 是其前 n 项和,d 为公差,且 S 2010 < S 2011 ,S 2011 = S 2012 ,给出下列五个结论,正确的个数为( ① d<0; ②a2012 =0; ) ③a2011 =- a2013 ;

④S 2010 = S 2013 ; A.2 个

⑤S 2011 与 S 2012 均为 S n 的最大值. B.3 个 C.4 个 D.5 个

二、填空题(7× 5=35 分) 9.

在等比数列 ?an ? 中, a1 =1, a5 ? 16 ,则 a3 =

.

10. 在离水平地面 300m 高的山顶上,测得水平地面上一竖直塔顶和塔底的俯角分别为 30° 和 60° ,则塔高为 m. 11. 已知直二面角 ? -l- ? ,A∈? ,B∈? ,A,B 两点均不在直线 l 上,又直线 AB 与 l 成 30° 角,且线段 AB=8,则线段 AB 的中点 M 到 l 的距离为 .
2 y 12. 若双曲线 C 与双曲线 x - =1 有相同的渐近线,且过点 A(3, 2 ) ,则双曲线 C
2

12

8
.

的方程为 13.

.
2

?

3 0

9 ? x dx =
2

14. 设 A={x|x -4x+3≤0},B={x|x2-ax<x-a},若 A 是 B 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 . 15. 对正整数 n,设曲线 y= x (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则数列
n

? an ? ? ? 的前 n 项和是 ? n ? 1?

.

三、解答题(本大题共有 6 道小题,75 分) 16. (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,a、b、c 分别为∠ A、∠ B、∠ C 的对边,若 a,b,c 成等差数列,sinB= 4 且△ ABC 的面积为 3 ,求 b.

5

2

17. (本小题满分 12 分)如图所示的几何体 ABCDE 中,DA⊥ 平面 EAB,CB∥ DA, EA=DA=AB=2CB,EA⊥ AB,M 是 EC 的中点. D (1)求证:DM⊥ EB; (2)求二面角 M—BD—A 的余弦值.
C M A E B

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x)=x2-4,设曲线 y=f (x)在点(xn,f(xn) )处的切 * 线与 x 轴的交点为(xn+1,0) (n∈ N) ,其中 x1 为正实数. (1)用 xn 表示 xn+1; (2)若 x1=4,记 an= lg

xn ? 2 ,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式. xn ? 2

19. (本小题满分 13 分)已知椭圆 M: x 2 +

2

a -1) ,且右焦点 Q 到直线 x-y+2 2 =0 的距离为 3.

y2 =1(a>b>0)的一个顶点 A 的坐标是(0, b2

(1)求椭圆方程; (2)试问是否存在斜率为 k(k≠0)的直线 l,使 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 B、C, 且|AB|=|AC|?若存在,求出 k 的范围,若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 13 分)某加工厂需定期购买原材料,已知每公斤原材料的价格为 1.5 元, 每次购买原材料需支付运费 600 元,每公斤原材料每天的保管费用为 0.03 元,该厂每 天需要消耗原材料 400 公斤, 每次购买的原材料当天即开始使用 (即有 400 公斤不需要 保管费). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1 关于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最少,并求出这个最 少(小)值;

21. (本小题满分 13 分)设 a≥0, f ( x) =x-1-ln2x+2alnx. (1)令 F(x)=x f ?( x) ,讨论 F(x)的单调性并求极值; (2)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2alnx+1.

2013 年下学期期末考试高二理科数学试卷 参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分) DBAA ADAD 二、填空题: (每小题 5 分,共 35 分)
2 y 9、 【4】 ;10、 【200m】 ;11、 【4】 ;12、 【x ? =1】 ;13、 【9 2

6

4

4

; ?】

14、 【[1,3]】 ;15、 【2

n ?1

? 2 】.

三、解答题: (本大题共 75 分) 16、 (本小题满分 12 分) 解:由 a,b,c 成等差数列,得:a+c=2b,∴ a2+c2=4b2-2ac……① 又 S△ ABC= 3 且 sinB= 4 ,∴ S△ ABC= 1 ac· sinB= 1 ac× 4 = 2 ac= 3 ,

2

5

2

2

5

5

2

∴ ac= 15 ……② ,由① ② 得:a2+c2=4b2- 15 ……③

4

2

又∵ sinB= 4 且 a,b,c 成等差数列,∴ cosB= 1 ? sin 2 B = 3 ,

5

5

由余弦定理得:b2=a2+c2-2ac· cosB= a2+c2-2×15 × 3 = a2+c2- 9 ……④

4

5

2

由③ ④ 可得:b =4,∴ b=2.

2

17、 (本小题满分 12 分) 证明: (1)过点 M 作 MN⊥ BE 于 N,则 N 为 BE 的中点, 且 MN∥ CB∥ DA,连结 AN, ∵ EA=AB 且 EA⊥ AB,又 N 为 BE 的中点, ∴ AN⊥ BE,又∵ DA⊥ 平面 EAB,∴ DA⊥ BE, ∴ BE⊥ 面 ANMD,∴ BE⊥ DM,即 DM⊥ EB. 解: (2)以 A 为原点,AE,AB,AD 分别为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系,A—xyz,设 AB=2,则 A(0,0,0) , E B(0,2,0) ,D(0,0,2) , M(1,1, 1 ) , MB =(-1,1,- 1 ) , MD =(-1,-1, 3 ) ,

D

C M A N B

2

2

2

显然, AE =(2,0,0)为平面 ABD 的法向量,设平面 MBD 的法向量为 n1 =(x,y,z) ,

?? x ? y ? 1 z ? 0 ? ? ?MB ? n1 ? 0 2 由? ,得 ? ,令 z=2,得 x=1,y=2,∴ 取 n1 =(1,2,2) 3 ? MD ? n ? 0 ? ?x? y? z ?0 1 ? 2 ? 设二面角 M—BD—A 的平面角大小为 ? ,∵? ∈ (0,90° ) ,
∴ cos ? = cos ? AE, n1 ? =

AE ? n1 | AE | ? | n1 |

=

2 =1 . 2?3 3

18、 (本小题满分 12 分)
2 解: (1)∵ f / ( x) =2x,∴ 切线斜率 k=2xn,∴ 切线方程:y-( xn -4)=2xn(x-xn) ,
2 xn ?4 x2 ? 4 ,∴ xn+1= n (n∈ N*). 2 xn 2 xn

2 即 y=2xn· x- xn -4,令 y=0 得:x=

? ( x n ? 2) 2 ? x n ?1 ? 2 ? 2 x 2 xn ?4 x ? 2 ( xn ? 2) 2 ? n (2)∵ 由 xn+1= ,∴ n ?1 = , ?? 2 x n ?1 ? 2 ( xn ? 2) 2 2 xn ? x ? 2 ? ( x n ? 2) n ?1 ? 2 xn ?
又 an+1= lg

xn ?1 ? 2 x ?2 ( xn ? 2) 2 lg n ,∴ an+1= lg =2· =2an,∴ an+1=2an. 2 xn ?1 ? 2 xn ? 2 ( xn ? 2)
xn ? 2 - =(2n 1)· lg3, xn ? 2
n ?1

∴ 数列{an}为等比数列. 由上可得:an=a1· 2n 1= lg 4 ? 2 · 2n 1=(lg3)· 2n 1,∴lg
- - -

4?2

n ?1 x ?2 x ?2 2(32 ? 1) 2n ?1 ∴lg n = lg 32 ,∴ n = 3 ,解得:xn= . n ?1 xn ? 2 xn ? 2 32 ? 1

19、 (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意知:b=1,设 Q(c,0)(c>0) ,则
2 =3,∴ 椭圆 M: x + y =1.

|c?2 2| =3,∴ c= 2 ,∴ a2=b2+c2 2

2

3

(2)设 l:y=kx+m(k≠0) ,代入椭圆 M 的方程得:(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0, 由△ >0 得:(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)>0 ? 3k2>m2-1……① 设 B(x1,y1) 、C(x2,y2) ,则 BC 中点 P(

x1 ? x 2 y ? y2 x ? x2 , 1 ) ,且 1 =- 3km 2 , 2 2 2 1 ? 3k



y1 ? y 2 x ? x2 =k× 1 +m= m 2 ,∴ P(- 3km 2 , m 2 ) , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k

m ?1 1 ? 3k 2 ∵ |AB|=|AC|,∴ AP⊥ BC,即 kAP· kBC=-1,∴ =- 1 ,∴ m= 1 (1+3k2)……② , ? 3m k ? 0 2 k 1 ? 3k 2
由① ② 得:(1+3k2)(1-k2)>0,∴ -1<k<1 且 k≠0, ∴ 存在满足条件的直线 l,其斜率 k∈ (-1,0)∪ (0,1).

20、 (本小题满分 13 分) 解: (1)∵ 第一天的保管费 a1=(400x-400)× 0.03=12x-12; 第二天的保管费 a2=12x-24,……,组成一个公差为-12 的等差数列, 其中项数为:x-1 项, (x∈ N*,x>1).

( x ? 1)( x ? 2) ? ( ?12 ) =6x2-6x(x∈ N*,x>1) 2 (2)y= 1 · (y1+600+400x· 1.5)=6x+ 600 +594≥120+594=714(元). x x
∴ y1=(x-1)× 12(x-1)+ 当且仅当 6x= 600 ,即 x=10(天)时取“=”号,

x

∴ 当 10 天购买一次,最少费用为 714 元. 21、 (本小题满分 13 分) 解: (1)∵ f ?( x) =1- 2lnx ? 2a ,∴ F(x)=x-2lnx+2a,∴F ?( x) =1- 2 (x>0) ,

x

x

x

由 F ?( x) >0 得:x>2, F ?( x) <0 得:0<x<2, ∴ F(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数, 在 x=2 处取得极小值 F(2)=2-ln2+2a. (2)由(1)知,F(x)≥F(2)=2-2ln2+2a=ln e +2a,∴ x f ?( x) ≥ln e +2a(x>0) ,
2 2

4

4

∴ f ?( x) ≥ 1 · (ln e +2a)>0,∴ f ( x) 在(0,+∞)上为增函数,

2

x

4

∴ 当 x>1 时, f ( x) > f (1) ,∴ x-1-ln2x+2alnx>1-1-0+0, 即 x-1-ln2x+2alnx>0,∴ x>ln2x-2alnx+1.


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