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湖北省2013年七地市高考备考(押注)冲刺卷(五)数学(文)试卷



5
2013 年七地市高考备考(押注)冲刺卷
文科(数学)
本试卷共 4 页,共 22 题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方

框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上 无效。 3. 填空题和解答题的作答: 用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题: (本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的) 1. 设全集 U ? R ,已知 M ? x y ? 图中阴影部分所表示的范围是( A. ?0,1? ? ?2,??? 2.在复平面内,复数 A.第四象限

?

2 x ? x 2 , N ? y y ? 2 x , x ? 0 ,则右
) C. ?0,1? ) D.第一象限 D. ?0,2?

?

?

?

B. ?0,1? ? ?2,???

1 ? i 3 所对应的点位于( 1? i
B.第三象限

C.第二象限

3.各项为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 ,

a ? a4 1 a3 , a1 成等差数列,则 3 的值为( ) 2 a 4 ? a5
C.

A.

5+ 1 2

B. )

5 ?1 2
2

12

5

D.

5- 1 5 +1 或 2 2

4. 下列命题错误 的是( ..

A.命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题为“若方程

x 2 ? x ? m ? 0 无实数根,则 m ? 0 ”.
2 B.“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

C.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题. D.对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ≥ 0.
2

5. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A, ? ? 0 ) 的图象如右图所示, 为了得到 g ( x) ? ? A cos?x 的图象,可以将 f ? x ? 的图象( )

? 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 12
A.向右平移

5? 个单位长度 12 5? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移

6. 若 不 等 式 a ? t ? 1 ? t ? 2 对 任 意 t ? R 恒 成 立 , 则 函 数

f ? x ? ? log 1 ( x 2 ? 5 x ? 6) 的单调递减区间为( )
a

?5 ? A. ? , ?? ? 2 ? ?

B. (3, ??)

5? ? C. ? ??, ? 2? ?

D. ? ??, 2 ?

7.如图所示是一建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍, 若每平方米用漆 0.2kg,则共需油漆大约公斤数为( 如图所示,单位:米 π 取 3) A. 20 B. 22.2 C . 111 D. 110 )(尺寸

8.已知:两个非零向量 a ? (m ? 1, n ? 1) , b ? (m ? 3, n ? 3) ,且 a 与 b 的夹角是钝角或直 角,则 m ? n 的取值范围是( ) A.( 2 ,3 2 ) B. ?2,6? C.

?

2, 3 2

?

D.(2,6)

9.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F ,若椭圆上存在一个 P 点,满足以椭 a2 b2


圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于该线段的中点,则该椭圆的离心率为 ( A.

5 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

5 9

10.定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ? 2 f ?1? ,y ? f ?x ? 1? 的图像关于直线

? 1? x ? ?1 对称,且当 x ? ? 2, 4?时, f ? x ? ? x 2 ? 2 xf ? ? 2 ? ,则 f ? ? ? 与f ? 2?
( )

? 16 ? ? ? 的大小关系是 ? 3?

A. f ? ?

? 1? ? 16 ? ?? f ? ? ? 2? ? 3?

B. f ? ?

? 1? ? 16 ? ?? f ? ? ? 2? ? 3?

C. f ? ?

? 1? ? 16 ? ?? f ? ? ? 2? ? 3?

D.不确定

二、 填空题:(本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 共 35 分) 11.执行如图所示的程序框图,输出结果是_______ 12. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3, an?1 ? 3an ? 3n (n ? N *) ,数列 {bn } 满足

bn ? 3? n an .则数列 {an } 的前 n 项和 S n 是
13. 若 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上 至 少 有 三 个 不 同 的 点 到 直 线

l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是
14. 定义在 f (M ) = (m, n, p) ,其中 M 是 ?ABC 内一点, m 、 n 、 p 分别是 ?MBC 、

?1 ? ?MAB 的面积, ?MCA 、 ?BAC ? 30? ,f ?M ? ? ? , x, y ? , 在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 3 , ?2 ?


1 4 + 的最小值是 x y

15. 在区间 ? ?1, 5 ? ?和? ? 2, 4 ? ? 分别取一个数 , 记为 a,b , 则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x a2 b2

轴上且离心率小于

3 的椭圆的概率为 2
若关于 x 的函数 y ? f 2 ( x) ? bf ( x) ? 1 有 8 个不同的

16.已知函数 f ( x) ? ?

?| lg(? x) |, x ? 0, ? x ? 6 x ? 4, x ? 0,
3
2 2

零点, 则实数 b 的取值范围是

? 17. 若数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? p ( p 为常数, 则称数列 {an } 为等方差数列, n ? 2 , n ? N ),

p 为公方差,已知正数等方差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 , a 2 , a 5 成等比数列,

a1 ? a2 ,设集合 A ? ?Tn Tn ?
? ?

? ?

1 1 1 ? ??? ,1 ? n ? 100, n ? N ? a1 ? a2 a2 ? a3 an ? an ?1

? ? ? ,取 A 的 ? ?

非空子集 B ,若 B 的元素都是整数,则 B 为“完美子集”,那么集合 A 中的完美子集的个数 为 . 三.解答题(本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量

?? ?x ? ?x ?x 1 m ? ( 3 sin ,, 1) n ? (cos , cos 2 ? )(? ? 0) ,函数 2 2 2 2

?? ? f ( x) ? m ? n 的图像相邻两对称轴间的距离为 ? , ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边分别为
a , b, c .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ) 若 f ( B ? C ) ? 1, a ?

3, b ? 1 ,求角 C 的大小.

19(本题满分12分)为了解某校高三学生联考数学成绩分布,从该校参加联考的学生数学成 绩中抽取一个样本,并分成5组,绘成如图所示的频率分布直方图.若第一组至第五组数据 的频率之比为 1: 2 : 8 : 6 : 3 ,最后一组数据的频数是 6 . (Ⅰ)估计该校高三学生联考数学成绩在125~140分之间的概率,并求出样本容量; (Ⅱ)估计这次联考数学成绩的中位数(保留整数). (Ⅲ)从样本中成绩在65~95分之间的学生中任选两人,求至少有一人成绩在 65~80分之 间的概率.

G , H 分别为 AE, BC 20. (本题满分 13 分) 如图: 一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O ,
的中点, AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形,且

DC ? 平面ABC 。
(Ⅰ)求证: GH // 平面ACD ; (Ⅱ)证明:平面 ADE ? 平面ACD ;
A T y

EAB ? (Ⅲ)若 AB ? 2, BC ? 1,tan ?
体积。

3 ,试求该几何体的 2

-2 B

O

x

21. (本题满分 14 分)设点 P 为圆 C1:x2 ? y 2 ? 2 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为
???? ? ??? ? Q .动点 M 满足 2 MQ ? PQ (其中 P , Q 不重合) .

(Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 2 的方程;(Ⅱ)过直线 x ? ?2 上的动点 T 作圆 C1 的两条切线, 设切点分别为 A, B .若直线 AB 与(Ⅰ)中的曲线 C 2 交于 C, D 两点,求
AB CD

的取值范围.

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x(a ? R)

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,不等式 f ( x) ? bx ? 2 对 ?x ? (0, ??) 恒成立,求 实数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 x ? y ? e ? 1 时,证明不等式 ex ln(1 ? y) ? e y ln(1 ? x)

2013 届高考理文科数学模拟试题参考答案
一.选择题: 1~5:AABCB 二.填空题: 11 .

6~10:BBDAB.

2013 2014

12.

?2n ? 3?3n ? 3
4

13. ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

14. 18

15 .

15 32

16 . ( 2,

17 ] 4

17.63。 提示: 1.考查对集合的本质属性的把握以及集合的运算。 M ? ?0,2? , N ? ?1,??? , 阴影部分的元 素 x 满足: x ? M ? N 但 x ? M ? N . 选 A. 2.考查复数的运算及有关概念。

1? i 1? i 1 ? i3 ? ,其共轭复数为 ,选 D. 2 2 1? i

3.考查等差、等比数列的性质。 a3 ? a1 ? a2 ,

a3 a1 ? ? 1 ,设等比数列的公比为 q ,则 a2 a2

q?

a ? a4 1 1 5 ?1 ? 1,因为 q ? 0 ,得 q ? 1 ? 5 , 3 ,选 A. ? ? q a 4 ? a5 q 2 2
? 7? ? ? ? ? ? ? ,? ? 2 , ? 12 3 ?

4.考查命题真假的判断、含一个量词的命题的否定以及充要关系的判断。选 C. 5.考查根据图像求三角函数解析式以及图像的平移变换。 T ? 4?

把?

? ?? ? ,0 ? 的坐标代入函数式得 ? ? ,故选 B. 3 ?3 ?

6.考查绝对值三角不等式以及复合函数的单调性。因为 t ?1 ? t ? 2 ? ?t ? 1? ? ?t ? 2? ? 1 , 故 a ? 1 ,由复合函数的单调性易选 B. 7.考查空间几何体的三视图以及几何体表面积的计算。上部是圆锥体,下部是长方体,通过 计算应选 B. 8.考查平面内两非零向量的夹角为钝角或直角的充要条件以及线性规划的知识。 a 和b 的夹

?

?

角为钝角或直角的充要条件为 a ? b ? 0, 且 a, b 不共线,由线性规划可知选 D. 9.考查椭圆的定义及利用图形的几何性质求离心率。设切点为 T ,连结 OT , OT ? PF ,设另
/ 一焦点为 F / ,由 OT ? b , PF ? 2b ,则 PF ? 2a ? 2b ,在 ?OTF 中由勾股定理可得:

? ?

? ?

b 2 ? ?a ? b? ? c 2 ,解得 e ?
2

5 . 选 A. 3

10.考查函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性等性质。由 y ? f ?x ? 1? 的图像关于直线

x ? ?1 对称,得 f ?x ? 得图像关于 y 轴对称, f ?x ? 为偶函数,在 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ? 2 f ?1? 中
2 令 x ? ?1 , 得 f ?1? ? 0, 故 f ? x ? 的周期 T ? 2, x ? ? 2, 4?时, f ? x ? ? x ? 2 xf ? ? 2 ? , 两边对 x

求导,得 f

/

?? ?2? ? ?4 ,则 f ?x? ? x 2 ? 8x ,又 f ?

1? ?7? ? 10 ? ? 16 ? ? ? f ? ? , f ? ? ? f ? ? ,故 ? 3? ? 2? ?2? ? 3?

? 1? ? 16 ? f ? ? ? ? f ? ? ,选 B. ? 2? ? 3?
11.考查程序框图和数列求和的裂项相消。填

2013 2014
n

12. 考查数列求和的错位相减法。在 an?1 ? 3an ? 3 (n ? N *) 的两边同除以 3 n ?1 ,可得

bn ?1 ? bn ?

1 n?2 ?2n ? 3?3n ? 3 , bn ? ,利用错位相减可得 S n ? 3 3 4

13.考查直线与圆的位置关系和直线的斜率。由题意,圆心到直线的距离 d ?

2 ,从而应填

? ? 5? ? , 。 ? ?12 12 ? ?
14.考查三角形的面积与向量的数量积以及均值不等式。 由 AB ? AC ? 2 3 ,?BAC ? 30? , 得到 S ?ABC ? 1, x ? y ?

?1 4? ? y 4x ? 1 1 4 ? 2?x ? y ?? ? ? ? 2? 5? ? ? ? 18 ,应填18 。 , + ? ? ? 2 x y x y ? ?x y? ? ?

2 ?a ? b b c? 1 ? 15. 考查椭圆的离心率及几何概型的有关知识。 ? 1 ? ? ? ? ,故 ? ,再画出 a 2 ?b ? 2a ?a?

点 ?a, b ? 所在的区域,可得概率 P ?

15 。 32

16.考查函数的零点及数形结合的思想方法。利用导数求出 f ? x ? 的单调性和值域,再画出

f ?x ? 的图像,易得答案 (2,

17 ]。 4

17.考查解决创新问题的能力。根据等方差数列的即时定义得 an ?

2n ? 1 ,

Tn ?

a n ?1 ? a1 ? 2

?2k ? 1? ? 1 , 2n ? 1 ? 1 ? 0 0 得k , 令 Tn ? k k ? N ,则 n ? 由1 ? n ? 1 2 2

?

?

2

可取 1,2,?,6 ,即集合 A 中有六个整数,于是 A 中的完美子集的个数为 2 6 ? 1 ? 63 个。 . 三.解答题: 18.考查两角和与差的三角函数,三角函数的性质及变换以及正弦定理。 解: (I) f ?x ? ? m ? n ?

3 1 ? cos?x 1 ? sin? ?x ? ? ? ? ? ,由题意 T ? 2? ,于是 sin ?x ? ? 6? ? 2 2 2

? ? 1 ,令 2kπ ?

π π π 2π π ? x ? ? 2kπ ? 解得 2kπ ? ? x ? 2kπ ? 2 6 2 3 3 2π π , 2 kπ ? ) , ( k ? Z ) 3 3

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (2kπ ?

π π π 7π (Ⅱ) 因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 sin( B ? C ? ) ? 1,又 B ? C ? (0, π) , B ? C ? ? ( , ) 6 6 6 6 2π π π π sin B sin A ? 所以 B ? C ? ? , B ? C ? , 所以 A ? , 由正弦定理 , 把 a ? 3, b ? 1 代 3 6 2 3 b a 1 π π 入,得到 sin B ? ,又 b ? a , B ? A,所以 B ? ,所以 C ? 。 6 6 2 19.考查频率分布直方图的有关知识及概率的求法。
(Ⅰ)估计该校高三学生质检数学成绩在 125~140 分之间的概率 p1 为

6 3 3 3 ? ,又设样本容量为 m ,则 ? ,解得, m ? 40 . m 20 1 ? 2 ? 6 ? 8 ? 3 20 7 (Ⅱ)这次联考数学成绩的中位数为 95 ? ? 15 ? 108 (分). 8 1 ? 40 =2 人,记为 x, y ;成绩在 80~95 分之 (Ⅲ)样本中成绩在 65~80 分之间的学生有 20 2 ? 40 =4 人,记为 a, b, c, d ,从上述 6 人中任选 2 人的所有可能情形有: 间的学生 20

?x, y?,?x, a?,?x, b?,?x, c?,?x, d?, ? y, a?,? y, b?,? y, c?,? y, d?, ?a, b?,?a, c?,?a, d?, ?b, c?,?b, d?,?c, d? ,共 15 种,
至少有 1 人在 65~80 分之间的可能情形有:

?x, y?,?x, a?,?x, b?,?x, c?,?x, d?, ? y, a?,? y, b?,? y, c?,? y, d?, 共 9 种,因此,所求的概率

9 3 ? . 15 5 20.考查空间的线面平行, 线面垂直的判定和几何体体积的求法。 考查空间想象能 力。 解 (Ⅰ) 设 CE 的中点为点 M , 连接 CM , MH 则 GM // AC, MH // DC
p2 ?
∴ 面ADC // 面GMH ,又 GH ? 面GMH ,∴ GH // 平面ACD 。 ( Ⅱ ) ∵ 是 四 边 形 DCBE 为 平 行 四 边 形 , ∴ DE // BC , 又 AB为圆O的直径 ,∴ BC ? AC ∴ DE ? AC ,又 CD ? 面ABC, 且CB ? 面ABC , ∴ CD ? CB, ∴ DE ? CD, 又CD ? AC ? C. ∴ DE ? 面ACD, 又DE ? 面ACD ,∴平面 ADE ? 平面ACD (Ⅲ) 在Rt?EAB中,AB ? 2,且 tan?EAB ?

3 ,∴ CD ? BE ? 3 , 2

1 1 1 1 1 1 S ?ACD ? DE ? S ?ACB ? BE ? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 3 3 3 2 3 2 21. 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查运算能力和等价 转化的能力。 V ? VE ? ADC ? VE ? ACB ?
2 2 解: (Ⅰ)设点 M ( x, y ) ,由 2 ? MQ ? PQ ,得 P( x, 2 y ) ,由于点 P 在 C1:x ? y ? 2 上,

???? ?

??? ?
2

x 2 2 则 x ? 2 y ? 2 ,即 M 的轨迹方程为 ? y 2 ? 1 . 2

BT 的方程为:x1? x ? y1? y ? 2 ,x2? x ? y2? y ? 2 , (Ⅱ) 设点 T ( ?2, t ) ,A( x1? , y1? ), B( x2? , y2? ) , 则 AT, 又点 T ( ?2, t ) 在 AT、BT 上,则有: ?2 x1? ? ty1? ? 2 ①, ?2 x2? ? ty2? ? 2 ②,由①、②知 AB 的方
) 则 圆 心 O 到 AB 的 距 离 d ? 程 为 : ?2 x ? ty ? 2 . 设 点 C ( x 1 , y 1 ) ,D (x 2 ,y 2 ,

2 4 ? t2



??2 x ? ty ? 2 ? 2t 2 ? 4 2 2 ;又由 ? x2 ,得 (t ? 8) y ? 4ty ? 4 ? 0 , | AB |? 2 r ? d ? 2 2 2 t ?4 ? ? y ?1 ?2
2 2

于是 y1 ? y2 ?

4t ?4 t2 2 t 2 ? 4 ? 2t 2 ? 8 , y1 y2 ? 2 ,于是 | CD |? 1 ? | y1 ? y2 |? . t ?8 t ?8 4 t2 ? 8
2

于是

| AB | (t 2 ? 8) t 2 ? 2 | AB | s 3 ? 6 s 2 ? 32 6 32 2 ? s ? 4 t ? 4 ? s ? ? 1? ? 3 , ,设 ,则 ,于是 | CD | (t 2 ? 4) t 2 ? 4 | CD | s3 s s

| AB | 1 1 ? 1 ? 6m ? 32m3 ,设 f ( m) ? 1 ? 6m ? 32m3 , f '(m) ? 6 ? 96m2 , 设 ? m, m ? (0, ] ,于是 | CD | s 4

令 f '( m) ? 0 ,得 m ?

| AB | 1 1 .得 f ( m) 在 ( 0, ] 上单调递增,故 f (m) ? (1, 2 ] .即 的范 | CD | 4 4

围为 (1, 2] . 22.考查利用导数的知识解决不等式恒成立和不等式的证明问题,考查综合分析

问题与解决问题的能力。
解: (Ⅰ)函数的定义域是 (0, ??), 且 f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? . x x

当 a ? 0 时, ax ? 1 ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减;

1 1 ≥0 ,从而 ,则 ax ? 1 ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ;若 x≥ ,则 ax ? 1 a a 1 1 f ?( x)≥0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增. a a 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,函数的极值点是 x ? ,若 ? 1 ,则 a ? 1 . a a 若 f ( x) ? bx ? 2 在 (0, ??) 上恒成立,即 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 在 (0, ??) 上恒成立,只需 1 ln x 1 ln x b ? 1? ? 在 (0, ??) 上恒成立,令 g ( x ) ? ? , x x x x 1 1 ln x ln x ? 2 2 则 g ?( x) ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ,易知 x ? e 为函数 g ( x) 在 (0, ??) 内唯一的极小值 2 x x x x 1 1 1 n l x 1 2 ( ? ? ) nm 点, 也是最小值点, 故 g ( x) min ? g (e ) ? ? 2 , 即1 =1 ? 2 , 故只要 b ? 1 ? 2 i e e x x e 1 ? ? 即可,所以 b 的取值范围是 ? ??,1 ? 2 ? . e ? ?
当 a ? 0 时,若 0 ? x ?

e x ?1 e y ?1 (Ⅲ) 由题意可知, 要证不等式 e ln(1 ? y) ? e ln(1 ? x) 成立, 只需证 . ? ln( x ? 1) ln( y ? 1)
x y

ex 1 e ln x ? e x (ln x ? ) ex x ? x ,因为在 (e, ??) 上单调递增, 构造函数 h( x) ? ,则 h?( x) ? 2 2 ln x ln x ln x
x

1? , 所 以 x ? 1 ? y ? 1 ? e , 所 以 由 于 x? y? e

e x ?1 e y ?1 , 即 ? ln( x ? 1) ln( y ? 1)

ex l n ? (y 1 ? ey)

? xl . n ( 1

)



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