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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案



高一数学必修 4 第二章 2.4.1 平面向量数量积物理背景及含义 新课预习

学案

探究 1:如下图,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ,那么力 F 所做的功
W=

,其中 ? 是

.

思考:这个公式的有什么特点?请完成下列填空: F(力)是 量;S(

位移)是 量; ? 是 ;W(功)是 量;

结论:功是一个标量,功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示:能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢? 新知 1:向量的数量积(或内积)的定义 已知两个非零向量 a 和 b , 我们把数量 a b cos? 叫做 a 和 b 的数量积 (或内积) , 记作 a ? b , 即 a ? b ? a b cos? .其中 ? 是 a 和 b 的夹角(0≤ ? ≤π )
说明:①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ② 两个非零向量夹角的概念:非零向量 a 与 b ,作 OA = a ,OB = b , 则 ?AOB ? ? ( 0 ? ? ? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

??? ?

?

??? ?

?

? ? 叫 a 与 b 的夹角(两向量必须是同起点的)
特别地:当 ? =0 时, a 与 b 同向;当 ? = ? 时, a 与 b 反向;当 ? =

?

?

?

?

? ? ? ? ? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2

? ? ③“规定” :零向量与任何向量的数量积为零,即 0 ? a ? 0 。
新知 2:向量的数量积(或内积)几何意义 (1)向量投影的概念:如图,我们把 a cos ? 叫做向量 a 在 b 方向 上的投影; b cos ? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影. (2) 向量的数量积的几何意义: 数量积 a ·b 等于 a 的长度︱ a ︱ 与 b 在 a 的方向上的投影︱ b ︱cos ? 的乘积。 【合作探究】探究任务: 1.探究:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小因素有哪些? 答:线性运算的结果是向量;数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅和向量 a 与 b 的模有关,还和它们的夹角有关。这个数的符号由 cos?的符号所决定 2.完成下表:
? 的范围
?

?

?

?

?

?

0? ? ? ? 90?

? ? 90?

90? ? ? ? 180? 0

a · b 的符号
1

3.由定义得到的数量积的结论 设 a 和 b 都是非零向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ⑴当 a 与 b 垂直时, ? ? 90? ,即 a ? b ? a ? b ?
? ? ? ? ? ?


? ? 180? , a ?b = 当 a 与 b 反向时, ? ? a ?b ;⑷cos? = ? ? = | a || b |
? ?

? ? 0? , a ?b = ⑵当 a 与 b 同向时,
⑶当 a ? b ,即 a ? a = ⑸因为 cos? ? 1 ,所以 a ? b 【精讲释疑】
? ? ? ?

? ?


?



?

?

? ?

,或 a ?
? ? a b .

例题分析:例 1 已知 a ? 5 , b ? 4 , a 和 b 的夹角为 120? ,求 a ? b ? 例 2. 判断下列命题的真假,并说明理由. ⑴在 ?ABC 中,若 AB ? BC ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形; ⑵ ?ABC 为直角三角形,则 AB ? BC ? 0 . 变式练习:变式 1:若 a ? b ,求 a ? b .变式 2:若 a // b ,求 a ? b . 变式 2:已知 a ? 5 , b ? 4 , a ? b =-10,求 a 与 b 的夹角 ? . 变式 3:已知 a ? 5 , b ? 4 , a ? b =-10,求向量 a 在向量 b 的方向上的投影. 【内化反馈】 ??? ? ???? 1.在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ?BAD ? 120? ,则 AB ? AD 为( A.4
? ? ? ? ? ?

?

?

? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?



B.-4
? ?

C.8
? ?

D.-8 )

2. 设 a ? 12 , b ? 9 , a ? b ? ?54 2 ,则 a 与 b 的夹角 ? 为( A. 45 ? B. 135?
??? ? ?

C. 60 ?
???? ?

D. 120?
? ?

3. 已知 ?ABC , AB ? a , AC ? b ,当 a ? b ? 0 时, ?ABC 为( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形

) D.等腰三角形 )

??? ? ??? ? 4. 已知平面内三个点 A? 0, ?3? , B ?3,3? , C ?1, ?1? ,则向量 AB 与 BC 的夹角为(

A. 0?
? ?

B. 90 ?
? ?

C. 60 ?

D. 180?
? ?

5. 已知 a ? 3 , b ? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为

.

? ? ? ? ? 2 6. 已知 b ? 3 , a 在 b 方向上的投影为 ,则 a ? b = 3 【小结】

.

1.向量数量积的定义及几何意义;2. 由定义推出的数量积的相应结论. 3.在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,范围是 0 ? ? ? ? .
2



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