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高考高三数学测试题—参数方程和极坐标方程修改版)



高中学生学科素质训练
高三数学测试题—参数方程和极坐标方程( 高三数学测试题—参数方程和极坐标方程(15
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 1.参数方程 ? A.线段

? x = 3t 2 + 2, ? (0 ≤ t ≤ 5) 表示的曲线是 ?y = t 2 ?1 ?
B.双曲线的一支 C.圆弧 D.射线





θ θ ? ? x =| cos 2 + sin 2 | (0 < θ < 2π ) ? 表示 2.参数方程 ? 1 ? y = (1 + sin θ ) ? 2 ?
A.双曲线一支,这支过点(1,





1 1 ) B.抛物线的一部分,这部分过点(1, ) 2 2 1 1 C.双曲线的一支,这支过点(-1, ) D.抛物线的一部分,这部分过点(-1, ) 2 2
3.极坐标方程 θ =

π

2

+ arcsin ρ ( ρ ≥ 0) 化为直角坐标方程的形式是
B. y =





A. x 2 + y 2 + x = 0 C. y = ? ? ( x + 1)

? x(1 + x)
2

D. 2 x = ? 1 ? 4 y ? 1

4.在极坐标系中,如果等边三角形的两个顶点是 A(2, 坐标可能是 A. (4,

π
4

) ,B(2,

5π ) ,那么顶点 C 的 4
( )

3π ) 4
2 2

B. (2 3 ,

3π ) 4

C. ( 2 3 , π )

D.(3, π )

5.已知动圆方程 x + y ? x sin 2θ + 2 2 ? y sin(θ + 是 A.椭圆

π
4

) = 0(θ 为参数) ,那么圆心的轨迹
( D.抛物线的一部分 )

B.椭圆的一部分

C.抛物线

6.已知集合 A = {( x, y ) | ( x ? 1) 2 + y 2 = 1}, B = {( x, y ) | y ? y = ?1} , C = {( ρ ,θ ) | ρ = 2 cos θ , x x?2

θ≠

? x = 1 + cos θ kπ , k ∈ Z }, D = {( x, y ) | ? ,θ ≠ kπ , k ∈ Z } , 下列等式成立的是 ( 4 ? y = sin θ
B.B=D C.A=C
- 81 -



A.A=B

D.B=C

7.点 P(x,y)是曲线 3 x + 4 y ? 6 x ? 8 y ? 5 = 0 上的点,则 z = x + 2 y 的最大值和最小
2 2

值分别是 A.7,-1
2

( B.5,1
2 2 2



C.7,1

D.4,-1 ( D.5 ( D. ) )

8.实数 x、y 满足 3 x + 2 y = 6 x, 则x + y 的最大值是 A.2 9.曲线 θ = 0,θ = A. B.4 C.

π
4

9 2

( ρ > 0) 和 ρ = 5 所围成的图形的面积是
B.

5π 2

25π 2

C.

25π 6

25π 8

2 2

10.直线 ρ =
2 2

1 与圆 ρ = 2 cos θ (c > 0) 相切的条件是 a cos θ + b sin θ
2 2 2 2



A. b c + 2ac = 1 B. b c + ac = 1 11.直线 ρ sin(θ + α ) = a和θ = A.平行

C. a c ? 2bc = 1 D. a c ? bc = 1 ( D.斜交 ) )

π
2

? α 的位置关系是
C.垂直

B.重合

12.已知直线 l 的方程 ρ =

1 ,直线 l ′ 与 l 关于极点对称,则 l ′ 的方程为( cos θ + sin θ 1 1 A. ρ = B. ρ = sin θ + cos θ cosθ ? sin θ 1 ?1 C. ρ = D. ρ = sin θ ? cos θ sin θ + cos θ

二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分)

? x = 2(sec 2 θ ? 1) π π 13. 由参数方程 ? , (? < θ < ) 给出的曲线在直角坐标下的普通方程是 2 2 ? y = 2tgθ
14.在满足方程 ( x ? 2) + ( y ? 2) = 2 的所有实数对(x,y)中,xy 的最大值为
2 2

.

最小值为

.

15.在极坐标系中,以 ( ,

a π a ) 为圆心, 为半径的圆的方程为 2 2 2

.

16.长为 3a 的线段的端点分别在 x、y 轴上滑动,M 为 AB 的一个三等分点,则 M 的轨迹方 程是 . 三、解答题(本题 17—21 小题每小题 12 分,22 小题 14 分,共 74 分) 17.已知椭圆 C1 : ?

? x = m + 2 cos ? ? y = 3 sin ?

3 2 (? 为参数)及抛物线 C 2 : y = 6( x ? ).当C1 I C 2 ≠ φ 时, 2
- 82 -

求 m 的取值范围. 18. 求椭圆 ? 坐标.

? x = 2 cos θ , (0 ≤ θ < π ) 上的点 P 到直线 x ? y ? 4 = 0 的最大距离及此时 P 点的 ? y = sin θ

x2 y2 19.求以 y 轴为准线,顶点在曲线 2 ? 2 = 1 上的抛物线焦点的轨迹方程,并指出是什么 a b
曲线. 20.已知 P ′ 为直线 x + y ? 1 = 0 上任意一点,连 P ′ O 并延长至 P,使| P ′ O|·|OP|=4,求 P 点的轨迹. 21.已知抛物线 C1 : y 2 = x + 7 与圆 C 2 : x 2 + y 2 = 5 . (1)求证:C1 与 C2 无交点; (2)过点 P(a,0)作与 x 轴不垂直的直线 l 交 C1 于 A、D 两点,交 C2 于 B、C 两点, 且|AB|=|CD|,求 a 的取值范围. 22.A、B 是椭圆

x2 y2 + = 1 上两点,且 OA⊥OB, a2 b2

(1)求证

1 1 + 为定值; 2 | OA | | OB | 2

(2)求证直线恒切于一定圆; (3)试求

1 1 + 的最值. | OA | | OB |

高三数学测试题参考答
十五、参数方程和极坐标方程
一、1.A 消参后,得 x ? 3 y

? 5 = 0(?1 ≤ y ≤ 24)
- 83 -

2. B

3. B

4. B 5. D 圆心轨迹的参数方程为:

1 ? 1 1 ? x = 2 sin 2θ 2 ? x = sin θ cos θ ? ,消去参数得 y = 1 + 2 x ( ? ≤ x ≤ ) . , 即? ? 2 2 ? y = ? 2 sin(θ + π ) ? y = ?(sin θ + cos θ ) ? 4 ?
6. B 集合 B 与 D 都是曲线: ( x ? 1) 2 + y 2 = 1( x ≠ 0, x ≠ 2). 7. 将原方程配方,得 ( x ? 1) + ( y ? 1) = 1 4 3
2 2

令即 ?

? x = 1 + 2 cos θ ? y = 1 + 3 sin θ

, 则x + 2 y = 3 + 4 sin(θ +

π
6

),∴ 当 sin(θ +

π
6

) = 1 时 ( x + 2 y ) max = 7 ;
6 2 2 sin θ ,代入 x + y 2

当 sin(θ + 得 x2 二、13.

π
6

) = ?1时, ( x + 2 y ) min = ?1 . 8.B 令 x = 1 + cosθ , y =

1 9 + y 2 = ? (cosθ ? 2) 2 + .当 cosθ = 1时, ( x 2 + y 2 ) max = 4 . 9.D 10.A 11.C 12.D 2 2

y=

1 2 ( x ? x) 消参可得 2

14. 最大值为 9,最小值为 1.

15. ρ

= a sin θ

.利用直角三角形

的边、角关系. 16.

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1或 2 + 2 = 1 利用定比分点坐标公式. 2 4a a a 4a

三、17.解:将椭圆 C1 的参数方程代入 C2:

3 y 2 = 6( x ? ). 整理得 3 sin 2 ? = 6(m + 2 cos ? ? 3 ) 2 2

2 2 ∴1 ? cos 2 ? = 2m + 4 cos ? ? 3 也即 (cos ? + 2) = 8 ? 2m. Q1 ≤ (cos ? + 2) ≤ 9,

∴1 < 8 ? 2m ≤ 9.解之 ?

1 7 1 7 ≤ m ≤ . ∴当C1 I C 2 ≠ φ时, m ∈ [ ? , ]. 2 2 2 2

解: ∵椭圆上的点 P ( 2 cos θ , sin θ )(0 ≤ θ < π ) 到直线 x ? 18.

y ? 4 = 0 的距离 d = | 2 cosθ ? sin θ ? 4 |
5

=

| 5 sin(θ ? ? ) + 4 | 5

.其中 sin ? =

2 5

, cos ? =

1 5

. 当 sin(θ ? ? ) = 1时, 即θ =

π
2

+ ? 时,

∴ d max =

5+4 5

, 此时 cos θ = ? sin ? = ?

2 5

, sin θ = cos ? =

1 5

,∴ P (?

4 5 5 , ). 5 5

19.解:依题意,抛物线的顶点坐标为 ?

? x 0 = a secθ ,∵y 轴为准线,∴ 顶点( x 0 , y 0 ) 到准线的距离为 ? y 0 = btgθ

p =| a secθ | . ∴焦点到准线的距离 p = 2 | a secθ |, 又焦点与顶 2
点的横坐标同号,设焦点为(x,y) ,则 ?

? x = 2a secθ ? y = btgθ

,消去θ,

- 84 -

得焦点的轨迹方程为

x2 y2 ? 2 = 1 .表示双曲线 4a 2 b
2 , cos θ + sin θ

20.解:以原点 O 为极点,Ox 为极轴,建立极坐标系,则直线方程化为极坐标方程为: ρ = 设 P ′( ρ ′,θ ) 、P ( ρ ,θ ) , 由已知 ρ ′ ? ρ = 4, 即ρ ′ = 4 .代入直线的极坐标方程得:ρ

ρ

= 4 cos θ + 4 sin θ ,

化为直角坐标方程: ( x + 2)

2

+ ( y + 2) 2 = 8. (除去原点).
2

21.解: (1)两方程联立,消去 y,得 x

+ x + 2 = 0,Q ? = 1 ? 4 × 2 = ?7 < 0,∴ 两曲线无交点.

(2)设直线 l

? x = a + t cos α 2 2 2 :? (t 为参数)代入 y = x + 7.得t sin α ? t cos α ? a ? 7 = 0 . y = t sin α ?
cos α . 将 l 的方程代入 x 2 + y 2 = 5 ,得 2 sin α

则 ?1

= cos 2 α + 4( a + 7) sin 2 α > 0, ① 且 t1 + t 2 =

t 2 + 2at cos α + a 2 ? 5 = 0.

′ ′ ? 2 = 4a 2 cos 2 α ? 4(a 2 ? 5) > 0 ,② 且 t1 + t 2 = ?2a cos α ,由
cos α 1 = ?2a cos α ? sin 2 α = ? 2 2a sin α

|AB|=|CD|,∴AB 与 BC 的中点必重合,∴ t1 + t 2 = t1 + t 2 .即 ′ ′

(Q cos α

1 4 ? 27 ? ?1 + 2a ? 2a (a + 7) > 0, ? ?a > ? , ≠ 0). ③ 将③分别代入①和②,得: ? ?? 2 ?4a 2 (1 + 1 ) ? a 2 + 5 > 0. ?? 10 < a < 0. ? ? 2a ?

又由③ ?

1 1 1 < 1 ? a < ? ,∴ ?10 < a < ? . 2a 2 2
2

22.解(1)将椭圆 b

x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 化为极坐标方程得: ρ 2 =
2

a 2b 2 . b cos θ + a 2 sin 2 θ
2 2

设 A( ρ , α ), ( ρ , α + π ),∴| OA | 2 = ρ 2 = 1 2 1

a 2b 2 a 2b 2 2 , | OB | 2 = ρ 2 = 2 . b 2 cos 2 α + a 2 sin 2 α b sin 2 α + a 2 cos 2 α


=

1 1 1 1 1 + = 2 + 2 = 2 2 [b 2 cos 2 α + a 2 sin 2 α + b 2 sin 2 α + a 2 cos 2 α ] 2 2 | OA | | OB | ρ1 ρ 2 a b
1 a2 + b2 (a 2 + b 2 ) = 2 2 =定值. a 2b 2 a b

(2)Q OA

⊥ OB ,∴ ? AOB 是直角三角形. ∴| AB | 2 =| OA | 2 + | OB | 2 b 2 sin 2 α + a 2 cos 2 α + b 2 cos 2 α + a 2 sin 2 α a 2b 2 a 2b 2 = a 2b 2 2 = 2 + 2 2 b cos 2 α + a 2 sin 2 α b sin α + a 2 cos 2 α (b cos 2 α + a 2 sin 2 α )(b 2 sin 2 α + a 2 cos 2 α )

- 85 -

=

a 2 b 2 (a 2 + b 2 ) .过 O 作 OH⊥AB 则 OH 为点 O 到 AB 的距离. (b 2 cos 2 α + a 2 sin 2 α )(b 2 sin α + a 2 cos 2 α )
ab b cos α + a sin α
2 2 2 2

?

ab b sin α + a 2 cos 2 α
2 2

∴| OH |=

| OA || OB | ρ 1 ρ 2 = = | AB | | AB |

ab a 2 + b 2 b 2 cos 2 α + a 2 sin 2 α ? b 2 sin 2 α + a 2 cos 2 α
ab a2 + b2

=

ab a2 + b2

(定

值). ∴直线 AB 恒切于一定圆:圆心为 O(0,0) ,半径 r =

,方程为 x 2 + y 2 =

a 2b 2 a2 + b2

(3)由 ρ 2 =

a2 + b2 1 1 1 1 得 + = + 2 2 b cos θ + a sin θ | OA | | OB | ρ1 ρ 2
2 2

=
=

1 [ b 2 cos 2 α + a 2 sin 2 α + b 2 sin 2 α + a 2 cos 2 α ] ab
1 [( b 2 cos 2 α + a 2 sin 2 α + b 2 sin 2 α + a 2 cos 2 α ) 2 ] 2 ab
1

=

1 2 ( a + b 2 + 4a 2 b 2 + ( a 2 ? b 2 ) 2 sin 2 2θ ) 2 . ab
的最大值为

1

∴当 sin 2 2θ = 1, 即 sin 2θ = ±1 时,也就是 θ = π 或 3π 时, 1 + 1
4 4 | OA |
1

| OB |

1 2 1 [ a + b 2 + 4a 2 b 2 + ( a 2 ? b 2 ) 2 ] 2 = 2(a 2 + b 2 ) . 当 sin 2 2θ = 0, 即 sin 2θ = 0,θ = 0 ab ab
或 π时,

1 1 的最小值为 1 [ a 2 + b 2 + 2a 2 b 2 ] 2 = a + b . + ab ab | OA | | OB |
1

- 86 -



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