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离散型随机变量的均值方差复习课



离散型随机变量的期望与方差 复习课

要点梳理
1.若离散型随机变量X 1.若离散型随机变量X的分布列为 若离散型随机变量 X P x1 p1 x2 p2 … … pi xi … … pn xn

2.离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值与方差 (1)均值 (1)均值

+…+x +…+x x1p1+x2p2+…+xi pi+…+xn 为随机变量X 称E(X)=_________________________pn 为随机变量X的均

明确含义, ①明确含义, 确定所有 可能取值; 可能取值; 求出概率; ②求出概率; 列成表格. ③列成表格

数学期望 值或______________.它反映了离散型随机变量取值的____. 值或______________.它反映了离散型随机变量取值的____. ______________.它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 (2)方差 方差 2 2 2 称D(X)= D(X) = ( x1 ? E(X)) p1 +L+( xi ? E(X)) pi +L+( xn ? E(X)) pn 为随机变量X的方差 它刻画了随机变量X与其均值 的方差,它刻画了随机变量 与其均值E(X)的_____ 为随机变量 的方差 它刻画了随机变量 与其均值 的 平均偏 离程度 其中_________________为随机变量 的标准差 为随机变量X的标准差 其中 为随机变量 的标准差.

算数平方根 D( X )

3.均值与方差的性质 3.均值与方差的性质 aE(X)+b aE( )+b (1)E(aX+b)=__________. (1)E aX+ a2D(X) a,b为常数) (2)D aX+ )=________.(a 为常数) (2)D(aX+b)=________.( 4.两点分布与二项分布的均值、 4.两点分布与二项分布的均值、方差 两点分布与二项分布的均值 (1)若 服从两点分布, ,D (1)若X服从两点分布,则E(X)= p ,D(X)= p (1 ? p ) . np np (1 ? p ) (2)若X~B( ),则 )=____,D (2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________. 5.事件关系及概率常见公式 5.事件关系及概率常见公式

P( AUB) = P( A) + P(B) ? P( AB) = 1? P( AB) A, B互斥 ? P( AUB) = P( A) + P(B) ? ?反之,不一定成立; A, B对立 ? P( A) + P(B) = 1 ? A, B相互独立 ? P( AB) = P( A)P(B) (用来判定A,B相互独立) n( AB) P( AB) P(B | A) = = (P( A) > 0), 变形:P( AB)=P( A)P(B | A) n( A) P( A)

题型一、 题型一、 均值与方差性质的应用
1 具有分布P 设随机变量ξ具有分布P(ξ=k)= , 5 =1,2,3,4,5,求 k=1,2,3,4,5,求Eξ2,D(2ξ-1), D(ξ ? 1) .

利用性质E(aξ+b)=a Eξ+b, 解 ∵利用性质 D(aξ+b)=a2Dξ.

1 1 1 1 1 15 Eξ = 1× + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × = = 3. 5 5 5 5 5 5
1 1 2 1 1 2 1 2 2 E (ξ ) = 1× + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × = 11. 5 5 5 5 5
2

1 1 1 2 2 Dξ = (1 ? 3) × + (2 ? 3) × + (3 ? 3) × 5 5 5 1 1 2 2 + (4 ? 3) × + (5 ? 3) × 5 5 1 = (4 + 1 + 0 + 1 + 4) = 2. 5
2

D(2ξ-1)=4Dξ=8,

D(ξ ? 1) = Dξ = 2.

练习:将一枚硬币抛掷 次 练习:将一枚硬币抛掷20次,求正面次数与反 面次数之差ξ的概率分布,并求出ξ的期望E ξ与 面次数之差ξ的概率分布,并求出ξ的期望 方差D 方差 ξ.
设随机变量 ξ ~ B(n, p), 且E (ξ ) = 1.6, D(ξ ) = 1.28,则 (A ) A.n=8,p A.n=8,p=0.2 C.n=5,p C.n=5,p=0.32 解析 B.n=4,p B.n=4,p=0.4 D.n=7,p D.n=7,p=0.45

Q ξ ~ B(n, p ),∴ Eξ = np = 1.6,

?n = 8, Dξ = np (1 ? p ) = 1.28,∴ ? ? p = 0.2.

题型二、 求离散型随机变量的期望、 题型二、 求离散型随机变量的期望、方差

期望和方差 (4)从乙厂抽出的上述5件产品中,依次抽取2件,已知第一次抽得优等品, 求第二次抽得优等品的概率。

4 3 4 3 4 1 9 Dξ = (0 ? ) 2 × + (1 ? )2 × + (2 ? ) 2 × = . 5 10 5 5 5 10 25 1 P ( AB ) 10 1 记第一次抽得优等品为事件A,第二次抽的优等品为事件B,则P ( B | A) = = = . 2 4 P ( A) 5

某 批 数 量 较 大 的 商 品 的 次 品 率 是 5% , 从 中 任 意 地 连 续 取 出10 件 , ξ 为 所 含 次 品 的 个 数 , 求 ξ 的 期 望 和方差。

题型三、 题型三、 期望与方差的实际应用
某校设计了一个实验学科的实验考查方案,考生从 6 道备选题中 一次性地随机抽取 3 道题,按照题目要求独立完成全部实验操 作.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过.已知 6 道备选 题中考生甲有 4 题能正确完成,2 题不能完成;考生乙每题正确 2 2 完成的概率都为3,且每题正确完成与否互不影响. (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计 算其数学期望; (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.

[解] (1)设考生甲、 乙正确完成实验操作的题数分别 为 ξ,η,则 ξ 取值分别为 1,2,3;η 的取值分别为 0,1,2,3.
C1C2 1 C2C1 3 C3C2 1 4 2 4 2 4 2 P(ξ=1)= C3 =5,P(ξ=2)= C3 =5,P(ξ=3)= C3 =5, 6 6 6
考生甲正确完成题数的概率分布列为: ξ P 1 3 1 Eξ=1×5+2×5+3×5=2. 1 1 5 2 3 5 3 1 5

乙完成题数η B ? 3, 2 ? ? ?
?

3?

2 ∴考生乙做对题数 η 的期望为 Eη=nP=3× =2. 3

1 2 2 3 2 1 (2)Dξ=(2-1) ×5+(2-2) ×5+(2-3) ×5=5,
2

2 Dη=np(1-p)=3 ∴Dξ<Dη.

从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从 从做对题数的数学期望考察,两人水平相当; 方差考察甲较稳定.从至少完成2题的概率考察 题的概率考察, 方差考察甲较稳定.从至少完成 题的概率考察, 甲通过的可能性大. 甲通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作 能力较强. 能力较强.

某公司有 10 万元资金用于投资,根据市场分析知道:如 果投资甲项目,一年后可能获利 10%,可能损失 10%, 1 1 1 可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为2,4,4; 如果投资乙项目, 一年后可能获利 20%, 也可能损失 20%, 这两种情况发生的概率分别为 α 和 β(α+β=1). (1)如果把 10 万元投资甲项目, ξ 表示投资收益(收 用 益=回收资金-投资资金),求 ξ 的分布列及 Eξ; (2)假设把 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于 投资甲项目的平均收益,求 α 的取值范围.

解:(1)依题意,ξ 可能的取值为 1,0,-1. 则 ξ 的分布列为: ξ P 1 1 1 Eξ= - = . 2 4 4 1 1 2 0 1 4 -1 1 4

(2)设η表示 万元投资乙项目的收益,则η 设 表示 万元投资乙项目的收益, 表示10万元投资乙项目的收益 的分布列为: 的分布列为: η P 2 α -2 β

5.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球, 5.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 袋中有相同的 ,2个黄球 中随机且不放回地摸球,每次摸1 中随机且不放回地摸球,每次摸1个,当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球, 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已 摸球的次数, 摸球的次数, (1)随机变量ξ的概率分布列; (1)随机变量 的概率分布列; (2)随机变量 的数学期望与方差. (2)随机变量ξ的数学期望与方差.



(1)随机变量 可取的值为2,3,4, (1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,

C1 C1 C1 3 P(ξ = 2) = 2 1 3 1 2 = ; C5C 4 5 2 A 2 C1 + A 3 C1 3 P(ξ = 3) = 2 13 1 1 2 = ; C5C 4 C3 10 A 3C1 1 3 2 P(ξ = 4) = 1 1 1 1 = ; C5C 4 C3C 2 10
的概率分布列为: 所以随机变量ξ的概率分布列为:

ξ
P

2 3 5

3 3 10

4 1 10

(2)随机变量 (2)随机变量ξ的数学期望
3 3 1 5 E (ξ ) = 2 ? + 3 ? + 4 ? = ; 5 10 10 2 随机变量ξ的方差
5 2 3 5 2 3 5 2 1 D(ξ ) = ( 2 ? ) ? + (3 ? ) ? + ( 4 ? ) ? 2 5 2 10 2 10 9 = . 20

6.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5 6.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次 某地区试行高考考试改革 统一测试,学生如果通过其中2 统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够 学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试, 学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每 个学生最多也只能参加5次测试. 个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通 每次测试时间间隔恰当, 过测试的概率都是 1 , 每次测试时间间隔恰当,每次 3 测试通过与否互相独立. 测试通过与否互相独立. (1)求该学生考上大学的概率; (1)求该学生考上大学的概率; 求该学生考上大学的概率 (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参 (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束, 如果考上大学或参加完 加测试的次数为X 加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望. 的分布列及X的数学期望.

(1)记 该学生考上大学”为事件A (1)记“该学生考上大学”为事件A,其对立事 2 5 1 1 2 4 件为 A , 则P ( A ) = C5 ( )( ) + ( ) , 3 3 3 2 5 131 1 1 2 4 . ∴ P ( A) = 1 ? [C5 ( )( ) + ( ) ] = 3 3 3 243 (2)参加测试次数 的可能取值为2,3,4,5. 参加测试次数X (2)参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5. 解

1 2 1 P ( X = 2) = ( ) = ; 3 9 2 1 4 1 1 P ( X = 3) = C 2 ? ? ? = ; 3 3 3 27 2 2 1 4 1 1 P ( X = 4) = C 3 ? ? ( ) ? = ; 3 3 3 27 2 3 2 4 16 1 1 P ( X = 5) = C 4 ? ? ( ) + ( ) = . 3 3 3 27

故X的分布列为: 的分布列为: X P 2 1 9 3 4 27 4 4 27 5 16 27

1 4 4 16 38 E( X ) = 2 × + 3× + 4 × + 5 × = . 9 27 27 27 9
答 该生考上大学的概率为
131 38 所求数学期望是 . , 243 9

3.设随机变量 3.设随机变量 ξ ~ B(n, p ), 且E (ξ ) = 1.6, D(ξ ) = 1.28, 则 (A ) A.n=8,p A.n=8,p=0.2 C.n=5,p C.n=5,p=0.32 解析 B.n=4,p B.n=4,p=0.4 D.n=7,p D.n=7,p=0.45

Q ξ ~ B(n, p),∴ E (ξ ) = np = 1.6,

?n = 8, D(ξ ) = np(1 ? p) = 1.28,∴ ? ? p = 0.2.

4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品, 4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放 有一批产品 12件正品和 回地任取3 回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)= 表示取到次品的次数, 9 ______. 16 解析 Q X ~ B (3, 1 ),∴ D( X ) = 3 × 1 × 3 = 9 . 4 4 4 16



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