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《高中竞赛教程》教案:第20讲 共点共线共圆问题(教师)



第 20 讲

共点、共线与共圆问题

本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常用证明方法.所谓共点,指 n 条(n≥3)直线经过同一点.或 n 个(n≥3)圆经过同一点; 共线,指的三个及以上的点在同一条直线上; 共圆,指不在一条直线上的三点确 定一个圆,以及有四点或四个以上的点在同一个圆上.证明中常用 到 Menelaus 定理、Ceva

定理、Fermat 点、Simson 线、Euler 线、四点共圆等知识. A 类例题 例 1 设线段 AB 的中点为 C,以 AC 为对角线作平行四边形 AECD、BFCG,又作平行四边形 CFHD、 D CGKE,求证:H、C、K 三点共线. 分析 C 为 AB 中点,若 C 为 HK 的中点, G H 则 AKBH 为平行四边形.反之,若平行四边形成立, A B 则 H、C、K 共线. C 证明 连 AK、DG、BH. K F ∵ AD∥EC∥KG,AD=EC=KG, E ∴ 四边形 AKGD 是平行四边形. ∴ AK∥GD,AK=GD. 同理,BH∥GD,BH=GD,∴ BH∥AK,BH=AK, ∴ 四边形 AKBH 是平行四边形.故 AB、HK 互相平分,即 HK 经过 AB 的中点 C. ∴ H、C、K 三点共线. 说明 证明具有特殊的性质的几个点共线. 链接 点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第 三点; 证明三点组成的三角形面积为零; 还可以利用 Menelaues 定理及其逆定理证明三点 共线等.n(n≥4)点共线可转化为三点共线.

例 2 求证:过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线,交于一点. 分析 画出图形,是必要的,可以研究一下两条垂线的交点的性质,不难发现证明的方法. 证明 若 ABCD 是特殊图形(矩形、等腰梯形),易知结论成立. 如图,设圆内接四边形 ABCD 的对边互不平行.E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点, EE'⊥CD,FF'⊥DA,GG'⊥AB,HH'⊥BC,垂足分别为 E',F',G',H'. 设 EE'与 GG'交于点 P.∵ E 为 AB 中点,∴ OE⊥AB,∴OE∥ C EE'. G E' 同理,OG∥EE'.∴ OEPG 为平行四边形. D H' ∴ OP、EG 互相平分.即 OP 经过 EG 中点 M. Q F F' 同理,设 FF'与 HH'交于 Q,则 OQ 经过 FH 中点 N. P M O H ∵ E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点, ∴ EFGH 是平行四边形,∴EG、FH 互相平分,即 EG 的中点就 A B E G' 是 FH 的中点于是 M 与 N 重合. ∴ OP、OQ 都经过点 M 且 OP=OQ=2OM. ∴ P、Q 重合,即四条垂线交于一点. 说明 本题利用了两条直线的交点具有某种性质来证明三线共点. 链接 证明线共点还可用有关定理(如三角形的 3 条高线交于一点、 Ceva 定理及逆定 理等),或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点,也可转化成点共线的问题给予证明.

-1-

例 3 ⊙O1 与⊙O2 相交于点 A、B,P 为 BA 延长线上一点, 割线 PCD 交⊙O1 于 C、D,割线 PEF 交⊙O2 于 E、F, 求证:C、D、E、F 四点共圆. 分析 可以通过 C、D、E、F 连成的四边形的对角互补或 四边形的外角等于内对角来证明. 证明 链接 CE、D F,PC· PD=PA· PB=PE· PF. D 于是,Δ PCE∽Δ PFD, ∴ ∠PEC=∠PDF. ∴ C、D、E、F 共圆.

P C E A O1 B O2 F

链接 证明共圆常用的方法有: 证明几个点与某个定点 距离相等; 如果某两点在某条 线段的同旁, 证明这两点对这条线段的张角相等; 证明凸四边形对角互补(或外角等于内对 角).(特别的,如果几个点对同一条线段张角为直角,则这几个点在以这条线段为直径的 圆上.)证明这四点可以满足圆幂定理.

情景再现
1.⊙I 内切于⊿ABC,D 为 BC 上的切点,M、N 分别为 AD、BC 的中点,求证:M、I、N 三点共线. 2. 证明三角形的三条高所在直线交于一点;三条中线交于一点;三条角平分线交于一点. 3. 设 PQ、QR 是⊙O 的内接正九边形的相邻两边.A 为 PQ 中点,B 为垂直于 QR 的半径的中点. 求∠BAO. B 类例题 例 4 设等腰三角形 ABC 的两腰 AB、AC 分别与⊙O 切于点 D、E,从点 B 作此圆的切线, 其切点为 F,设 BC 中点为 M,求证:E、F、M 三点共线. 分析 显然此圆和三角形的位置需要分情况讨论,要证明 E、F、M 三点共线, 可以证明连线成角为 0?或 180?,于是有下面的证明. 证明 ∵△ABC 是等腰三角形,AB=AC, ∴ 直线 AO 是∠BAC 的平分线.故 AO 所在直线通过点 M. ∴ ∠OMB=90?,又∠ODB=90?,∴D、O、M、B 四点共圆. ∴ ∠DFM=∠DOM.且∠ABM+∠DOM=180?. A A 1 ∵ ∠DFE=2∠DOE=∠ABM. ∴ ∠DFE+∠DFM=180?. ∴ E、F、M 共线. 如果切点 F 在三角形外,则由 D、B、F、M、O 共圆, 得∠DFM=∠DBM.
D O E

D
F B M C

E O

B F

M

C

1 而∠DBM=∠AOD= ∠DOE=∠DFE.∴ ∠DFM=∠DFE. 2 ∴ F、M、E 共线. 说明 证明三点共线常证明连线成角为 0?或 180?. 例 5 以锐角△ABC 的 BC 边上的高 AH 为直径作圆,分别交 AB、AC 于 M、N, 过 A 作直线 lA⊥MN,用同样的方法作 出直线 lB,lC, 求证:lA、lB、lC 交于一点. 分析 如果能证明这三条直线都经过三角形的外心,则此三线共点. M B 证明 取△ABC 的外接圆 O,连 HN,DB. 则∠CAD 与∠MNH 都是∠ANM 的余角,
-2-

A

N O H C

D

∴ ∠MNH=∠CAD, ∵ ∠MNH=∠MAH,∠CAD=∠CBD,∴ ∠CBD=∠MAH, ∵ ∠BAH+∠ABH=90?,∴ ∠CBD+∠CBA=90?. ∴ lA 是⊙O 的直径.即 AB 过⊙O 的圆心 O.同理 lB、lC 都过点 O. 即 lA、lB、lC 交于一点. 链接 利用某些特殊点证明三线共点是常用的方法, 三角形的五心是经常用到的. 对 于三角形的五心的性质,同学们可以参见第十七讲的内容.

例 6 在Δ ABC 的边 AB、BC、CA 上分别取点 D、E、F,使 DE=BE,EF=EC. 证明:Δ ADF 的外接圆圆心在∠DEF 的平分线上. 分析 设 O 为Δ ADF 的外接圆圆心,于是 OA=OD=OF. 若 EO 是∠DEF 的平分线,则出现了等线段对等角的情况, D 这在圆中有此性质.故应证明 O、D、E、F 共圆.

A O F

证明 ∵ EC=EF,∴ ∠2=180?-2∠C, 2 1 同理,∠1=180?-2∠B, B C E ∴ ∠DEF=180?-∠1-∠2=2(∠B+∠C)-180? =2(180?-∠A)-180?=180?-2∠A. 但 O 为Δ ADF 的外接圆圆心,∴∠DOF=2∠A,∴ ∠DEF+∠DOF=180?, ∴ O、D、E、F 四点共圆.但 OD=OF,∴∠DEO=∠OEF,即 O 在∠DEF 的角平分线上.

情景再现
·O 为△ABC 外接圆,M 为其上一点,连接 MC 交 AB 于 E,AM 交 CB 4. 菱形 ABCD 中,∠A=120°,○ 延长线于 F.求证:D,E,F 三点共线. 5.设 P、Q、R 分别为△ABC 的外接圆 O 上弧 BC、CA、AB 的中点. PR、PQ 分别交 AB、AC 于点 D、E,求证:DE∥BC. R A

M F B E O

A
D O E

Q C P

D C

B

6.以△ABC 的两边 AB、AC 为边向外作正方形 ABDE、ACFG,△ABC 的高为 AH, 求证:AH、BF、CD 三线交于一点. 7. 如图,两个正三角形Δ EFG 与Δ E'F'G'都内接于正方形 ABCD,求证:EE'GG'是平行四边形.
E

A E E'
D A G

M

D G' G

F B H C

B

F F'

C

-3-

C 类例题 例 7 设 AD、BE、CF 为△ABC 的三条高,从点 D 引 AB、BE、CF、AC 的垂线 DP、DQ、DR、DS, 垂足分别为 P、Q、R、S,求证:P、Q、R、S 四点共线. 分析 这里有多 个四点共圆,又有多个垂线.四点共圆, 可以看成圆的内接三角形与圆上一点.故适 用于 Simson 线. A 证明 设 H 为垂心. F 由∠HDB=∠HFB=90?,∴ H、D、B、F 四点共圆. P E Q ∵ DP⊥BF,DQ⊥BH,DR⊥HF,P、Q、R 分别为垂足. R S ∴ P、Q、R 共线,(△HBF 的 Simson 线). B C D 同理,Q、R、S 共线(△CEH 的 Simson 线). ∴ P、Q、R、S 共线. 说明 利用几何名定理(Simson 线等)证明三点共线是常用方法. 链接 (Simson 线)设 P 是△ABC 的外接圆上(异于 A、B、 C)一点,PX⊥BC,PY⊥CA,PZ⊥AB,垂足分别为 X、Y、Z, 则 X、Y、Z 共线.

P

Y A

Z

B

X

C

例 8 设 A1、B1、C1 是直线 l1 上三点,A2、B2、C2 是直线 l2 上三点 .A1B2 与 A2B1 交于 L, A1C2 与 A2C1 交于 M,B1C2 与 B2C1 交于 N,求证:L、M、N 三点共线. 分析 图中有许多三点共线,可以利用这些三点共线来证明 L、M、N 三点共线. 所以可以选定一个三角形,这个三角形的三边上分别有 L、M、N 三点. 设 A1C2 与 A2B1、B2C1 交于 P、Q,A2B1 与 B2C1 交于 R. PM QN RL 则只要证明MQ· NR· LP=1,则由 Menelaues 定理的逆定理可证明 L、M、N 三点共线. PM QC1 RA2 证明 A2C1 截△PQR 得,MQ· C R· A P=1,
1 2

QN RB1 PC2 B1C2 截△PQR 得,NR· B1P· C2Q=1, RL PA1 QB2 A1B2 截△PQR 得,LP· A Q· B R=1,
1 2

B1 C1 P M Q C2 A2

A1

l1

N

L

PB1 RC1 QA1 l1 截△PQR 得,B R· C1Q· A1P =1, 1 RB2 QC2 PA2 l2 截△PQR 得,B Q· C2P · A2R=1. 2 PM QN RL 五式相乘,即得 · · =1,从而 L、M、N 三点共线. MQ NR LP 说明 本题利用了 Menelaues 定理及其逆定理证明三点共线.

B2

l2

R

-4-

链接 证明三点共线和三线共点常用以下两个定理: (Menelaues 定理) X、Y、Z 是△ABC 的三边 BC、 CA、AB 所在直线上的三点,则 X、Y、Z 三点共线的充 AZ BX CY 要条件是ZB· XC· YA =1. (Ceva 定理)X、Y、Z 是△ABC 的三边 BC、CA、AB AZ BX CY 上三点, , 则 AX、 BY、 CZ 三线共点的充要条件是ZB· XC· YA =1. 同学们可参见本书第十八、十九讲的内容.
B

A z Y B
A z P X C Y

C

X

例 9 四边形内接于⊙O,对角线 AC、BD 交于点 P,设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 的外接圆 圆心分别为 O1、O2、O3、O4,求证:OP、O1O3、O2O4 共点.(1990 年全国联赛) 证明 ∵O 为⊿ABC 的外心,∴ OA=OB. E ∵ O1 为⊿PAB 的外心,∴O1A=O1B. 1 D ∴ OO1⊥AB. 作⊿PCD 的外接圆⊙O3,延长 PO3 与所作圆交于点 E, O3 2 C 并与 AB 交于点 F,连 DE,则?1=?2=?3,?EPD=?BPF, O4 P ∴ ?PFB=?EDP=90?. O2 O ∴ PO3⊥AB,即 OO1∥PO3. 同理,OO3∥PO1.即 OO1PO3 是平行四边形. O1 3 A ∴ O1O3 与 PO 互相平分,即 O1O3 过 PO 的中点. F B 同理,O2O4 过 PO 中点. ∴ OP、O1O3、O2O4 三直线共点. 例 10 Δ ABC 是等腰三角形,AB=AC,若 M 是 BC 的中点,O 是直线 AM 上的点, 使 OB⊥AB;Q 是 BC 上不同于 B、C 的任一点;E 在直线 AB 上,F 在直线 AC 上, 使 E、Q、F 不同且共线. 求证:OQ⊥E F 当且仅当 QE=QF. 分析 证明“当且仅当”时,既要由已知 OQ⊥EF 证明 QE=QF,也要由 QE=QF 证明 OQ⊥EF. 证明 连 OE、OF、OC 先证 OQ⊥EF?QE=QF. OB⊥AB,OQ⊥QE?O、Q、B、E 四点共圆?∠OEQ=∠OBM. A 由对称性知 OC⊥CA,OQ⊥QF?O、Q、F、C 四点共圆 ?∠OFQ=∠OCQ, F 又∠OBC=∠OCB?∠OEF=∠OFE?OE=OF?QE=QF. Q M B 再证 QE=QF?OQ⊥EF. (用同一法) C 过 Q 作 E?F?⊥OQ,交 AB 于 E?,交 AC 于 F?. O E 由上证,可得 QE?=QF?. 若 E?F?与 EF 不重合,则 EF 与 E?F?互相平分于 Q, 则 EE?F?F 为平行四边形,EE?∥FF?,这与 AB 不与 AC 平行矛盾. 从而 E?F?与 EF 重合.

-5-

情景再现
8.以△ABC 的三边为边向形外作正方形 ABDE、BCFG、ACHK, 设 L、M、N 分别为 DE、FG、HK 的中点. 求证:AM、BN、CL 交于一点.
L

E K D R Q B P C A N H

G

M

F

9.如图,已知两个半径不相等的圆⊙O1,⊙O2 相交于 M、N 两点, ⊙O1,⊙O2 分别与⊙O 内切于点 S、T, 求证:OM⊥MN 的充要条件是 S、N、T 三点共线.

O O
1

M

O
2

N S

T

10.给出锐角△ABC,以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC′及其延长线交于 M,N.以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB′及其延长线将于 P,Q.求证:M,N,P,Q 四点共圆. (第 19 届美国数学奥林匹克) A N Q C′ B′ K P M B C

习题 20
1.选择题: (1) 如图,在四边形 ABCD 的对角线的延长线上取一点 P,过 P 作两条直线分别交 AB、BC、CD、 AR BQ CN DM DA 于点 R、Q、N、M,记 t= · · · ,则 t 的值 RB QC ND MA A.t>1 B.t=1 C.t<1 D.t 的值不定
B A R N Q C P M D

(2)如图,在不等边三角形 ABC 内取异于内心的点 P,连接 PA、PB、PC, 把角 A、B、C 分成 α、α’、β、 、γ、γ’, 记 M=sinαsinβsinγ,N=sinα’sinβ’sinγ’.则 A.M>N B.M=N C.M<N D.不能确定 B
D

A

? ?' ?' ?
P

?'

?
C

2.填空题: AB DF DE (1)如图,若BC=FB=2,则EC=
E


A

F B C

-6-

(2)三角形三个旁切圆与三角形三边 BC、CA、AB 切于点 D、E、F, AF BD CE 则FB· DC· EA= .
B D

A

?

? C

3.(Desargues 定理)已知直线 AA1、BB1、CC1 相交于点 O, 直线 AB 与 A1B1 交于点 X,BC 与 B1C1 交于点 Y,CA 与 C1A1 交于点 Z, 求证:X、Y、Z 共线.
O X A A1 C1 C B1 Z B

Ia

A

Y

R

?
R'

?
N' N

4.已知△ABC 外有三点 M、N、R, 且∠BAR=∠CAN=α,∠CBM=∠ABR=β, ∠ACN=∠BCM=γ, 证明:AM、BN、CR 三线交于一点.

?
B

? ?
M M'

?

C

5.设 P 为正方形 ABCD 的边 CD 上任一点,过 A、D、P 作 一圆 交 BD 于 Q,过 C、P、Q 作一圆交 BD 于 R, 求证:A、P、R 三点共线.

A R

D P Q

B

C A U V B' W

6.如图,两个全等三角形 ABC 与 A?B?C?,它们的对应边也互相平行, 因而两个三角形内部的公共部分构成一个六边形, C' 求证:此六边形的三条对角线 UX、VY、WZ 交于一点.
Z B

Y

X A'

C

7.⊙O1,⊙O2 外切于点 P,QR 为两圆的公切线, 其中 Q、R 分别为⊙O1,⊙O2 上的切点, 过 Q 且垂直于 QO2 的直线与过 R 且垂直于 RO1 的直线交于点 I, IN⊥O1O2,垂足为 N,IN 与 QR 交于点 M, Q 证明:PM、RO1、QO2 三条直线交于一点.

I

R M O2

O 1N

P

-7-

8.设Δ ABC 为锐角三角形,高 BE 交以 AC 为直径的圆于点 P、Q, 高 CF 交以 AB 为直径的圆于点 M、N, 求证:P、Q、M、N 四点共圆.

N F P B

A Q

H E M D C

9. 凸四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相垂直并交于点 E, 求证:点 E 关于此四边形的四边的对称点 P、Q、R、S 共圆.

10. 四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相垂直,对角线交于点 P,PF⊥AB 于 E,PF⊥BC 于 F,PG ⊥CD 于 G,PH⊥DA 于 H,又 EP、FP、GP、HP 的延长线分别交 CD、DA、AB、BC 于点 E?、F?、G?、 H?,求证:E?、F?、G?、H?四点与 E、F、G、H 八点共圆. A 11. 以锐角⊿ABC 的边 BC 为直径作圆交高 AD 于 G, 交 AC、AB 于 E、F,GK 为直径,连 KE、KF 交 BC 于 M、N, 求证:BN=CM.

G F

E

B
12.已知:如图,I 为Δ ABC 的内心, 作直线 IP、IR,使∠PIA=∠RIA=α(0<α<

D N

OM

C

1 ∠BAC), 2

K

IP、IR 分别交直线 AB、AC 于 P,Q;R,S. (1)求证:P、Q、R、S 四点共圆. (2)若 α=30?,E、F 分别为点 I 关于 AB、AC 的对称点,直线 BE、CF 交于点 D, 求证:E、F、F 在⊙PQRS 上.

D Q S E P I B
本节“情景再现”解答 1.证明:设 F 为⊙I 切 AB 的切点,延长 DI 交⊙I 于 K, 连 AK 延长交 BC 于 G,过 K 作⊙I 的切线 PQ. 由梯形 PKDB 可证 PK·BD=IF2; (连 PI、BI,则 PI、BI 平分?QPB 与?PBD, 于是⊿PIB 为 Rt.⊿,IF 为其直角边上的高) B 同理,QK·CD=IF2.
-8A P F K M I C G N D Q

A F R C

PK CD ∴ PK·BD=QK·CD;?QK=BD, PK BG 又,PQ∥BC?QK=GC, CD BG ∴BD=GC,?CD=BG,

∴ N 是 DG 中点. 又:M 为 AD 中点 N 为 GD 中点?MN∥AG. I 为 KD 中点,N 为 GD 中点?IN∥KG. ∴ M、I、N 三点共线. 说明 由于 BG=CD=p-c,故点 G 是⊿ABC 的在?A 内部的旁切圆与 BC 的切点;证明三点共线常证 明过同一点的两直线平行于同一直线. 2. 提示:根据中垂线的性质很容易证明三条中垂线交于一点, 可以用构造法证明三条高所在直线交于一点; 用 Ceva 定理很容易证明三条中线交于一点; 直接根据角平分线的性质很容易证明三条角平分线交于一点. 3. 解 连 OP、OQ,PB.∵∠POQ=∠QOR=40?. ⌒ C 为QR中点, ∴∠QOC=20?, ∠POC=60?. Δ POC 为等边三角形. ∵ B 为半径 OC 中点,A 为 PQ 中点,∴∠PAO=∠PBO=90?. ∴ P、A、B、O 四点共圆.∴ ∠OAB=∠OPB=30?. ·O 上,则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB, 4.证明:如图,连 AC,DF,DE.因为 M 在○ 有△AMC∽△ACF,得
Q A P C R B O

MC CF CF ? ? . MA CA CD
M F B E O C D A

又因为∠AMC=BAC,所以△AMC∽△EAC,得

MC AC AD CF AD ? ? ? .所以 , MA AE AE CD AE
又∠BAD=∠BCD=120°,知△CFD∽△ADE. 所以∠ADE=∠DFB.因为 AD∥BC, 所以∠ADF=∠DFB=∠ADE,于是 F,E,D 三点共线. 5.证明 连 DO,AR,EO,AQ. 1 1 ∵ ∠ADR=2(AR+BP),∠AOR=2(AR+CP), ∴ ∠ADR=∠AOR,∴ A、O、D、R 四点共圆. ∴ ∠AOD+∠ARD=180?, 同理,∠AQE+∠AOE=180?, 而∠ARP+∠AQP=180?, ∴ ∠AOD+∠AOE=180?. ∴ D、O、E 三点共线. ∵ ∠ADO=∠ARO=∠ABC, ∴ DE∥BC. 6.证明 延长 HA 到 K,使 AK=BC,连 BK、CK. 则可证△BA K≌△DNC,△CAK≌△FCB. ∵ AK⊥BC.∴ CD⊥BK,BF⊥CK, 即可把 KH、CD、BF 看成△KBC 的三条高所在直线, 从而此三线共点.

R A

Q D O B E

C

P

K E

D A

G

F B H C

-9-

7. 证明 取 EG 的中点 M,连 BM、FM、CM,则 FM⊥EG. E E' ∵ ∠EBF=∠EMF=90?,∴ B、F、M、E 四点共圆. ∴ ∠MBF=∠MEF=60?.同理∠MCF=60?. 即Δ MBC 为正三角形.点 M 为定点. ∴ EG 的中点就是正Δ BCM 的顶点 M, B 同理 E'G'的中点也是Δ BCM 的顶点 M. 即 EG 与 E'G'互相平分.∴ EE'GG'是平行四边形. 8.证明 设 AM、BN、CL 分别交 BC、CA、AB 于 P、Q、R. 易知,∠CBM=∠BCM=∠QCN=∠QAN=∠LAR=∠LBR=θ. BP S?ABM AB· BMsin(B+θ) ABsin(B+θ) PC=S?ACM=AC· CMsin(C+θ)=ACsin(C+θ); CQ BCsin(C+θ) AR ACsin(A+θ) 同理, = ; = . QA ABsin(A+θ) RB BCsin(B+θ) BP CQ AR 三式相乘即得PC· QA· RB=1,
D

A

M

D G' G

F F'
E L

C

K A R Q B P C N H

由 Ceva 定理的逆定理知 AM、BN、CL 交于一点. G 9.证明 (1)充分性:若 S、N、T 三点共线,证明 OM⊥MN 连 O1O2,O1N,O1M,O2N,O2M. ∵ OS=OT,O1N=O1S,O2N=O2T, ∴ △OST、△O1SN 与△O2NT 都是等腰三角形. ∴ O1NO2O 为平行四边形. O ∴ O1N=OO2,OO1=O2N,但 O1N=O1M,O2N=O2M, ∴ OO1=MO2,OO2= MO1. O1 ∴ △OO1M≌△MO2O, ∴ O1O2∥OM, ∵ O1O2⊥MN, ∴ ∠OMN=90?. (2)必要性:若 OM⊥MN,证明 S、N、T 三点共线.分别连 SN、NT, 设⊙O、⊙O1、⊙O2 的半径分别为 r、r1、 、r2,OM=a. ∵ O1O2⊥MN,OM⊥MN,∴ O1O2∥OM. ∵ △OMO1 与△OMO2 的面积相等.有一边公共,且周长都等于 a+r(=2p). ∴ p(p-a)(p-r1)(p-(r-r1))=p(p-a )(p-r2)((p-(r-r2)). 化简得 (r1-r2)(r-r1-r2)=0,由 r1≠r2,得 r=r1+r2. 于是 OO1=O2M=O2N,OO2=O1M=O1N. ∴ OO1NO2 为平行四边形.∠O1OO2=∠O1NO2=∠NO1S=∠NO2T.

M

F

M

O2 N S

T

1 1 在等腰△O1SN 中,∠SNO1=2(180?-∠O1OO2),∠TNO2=2(180?-∠O1OO2). ∴ ∠SNO1+∠O1NO2+∠O2NT=180?.即 S、N、T 三点共线. 10.分析:设 PQ,MN 交于 K 点,连接 AP,AM. 欲证 M,N,P,Q 四点共圆, 须证 MK·KN=PK·KQ, 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) =(PB′-KB′)·(PB′+KB′) 2 2 2 2 或 MC′ -KC′ =PB ′ -KB′ .①
- 10 -

N C′ B P

A Q B′ K M C

不难证明 AP=AM,从而有 AB′ +PB′ =AC′ +MC′ . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 故 MC′ -PB′ =AB′ -AC′ =(AK -KB′ )-(AK -KC′ )=KC′ -KB′ .② 由②即得①,命题得证. 习题 20 解答 1.选择题: AR BQ CP CN DM AP (1)提示:RB· QC· PA =1,ND· MA· PC=1,相乘即得 t=1,故选 B. (2)提示:延长 AP、BP、CP 与对边交于点 D、E、F,则∴ ∴ S?ABD AB· ADsinα ABsinα = = , S?ACD AC· ADsinα? ACsinα?

2

2

2

2

sinα AC· S?ABD AC· BD sinβ BA· CE sinγ BC· AF = = CD,同理,sinβ?=BC· EA,sinγ?=AC· BF .∴ M=N.选 B. sinα? AB· S?ACD AB·
A

2.填空题: DE CA BF BF 1 CA 3 DE 4 (1)提示: · · =1,现 = , = ,代入得 = . EC AB FD FD 2 AB 2 EC 3 BD B tan 2 BD IaD cotβ (2)提示:如图,DC=DC=cotγ = C,同理可得其余.故结果=1. tan 2 IaD
B

?

D

? C

Ia

OA A1Z B1B 3.证明:由⊿OA1B1 与直线 AB 相交,得AA · ZB · BO =1;
1 1

O X A A1 C1 C B1 Z B

A1A OC C1Y 由⊿OA1C1 与直线 AC 相交,得 AO · CC · YA =1;
1 1

OB B1X CC1 由⊿OB1C1 与直线 BC 相交,得BB · XC · C O=1.
1 1 1

A1Z B1X C1Y 三式相乘,得ZB · · =1.由 Menelaus 的逆定理,知 X、Y、Z 共线. 1 XC1 YA1
Y

4.证明 设 AM、BN、CR 分别与 BC、CA、AB 交于点 M?,N?,R?. 则 BM? S?ABM AB· BMsin(B+β) ABsinγsin(B+β) = = = ; CMsin(C+γ) ACsinβsin(C+γ) M?C S?ACM AC·
A R

?
R'

?
N' N

CN? BCsinαsin(C+γ) AR? ACsinβsin(A+α) 同理, = ; = . N?A ABsinγsin(A+α) R?B BCsinαsin(B+β) AR? BM? CN? 三式相乘即得 · · =1, R?B M?C N?A 由 Ceva 定理的逆定理知 AM、BN、CR 交于一点.
?
B

? ?
M M'

?

C

5.证明 设 AP 交 BD 于 R?,即证明 R 与 R?重合,连 PQ、RC. ∵ A、D、P、Q 四点共圆,∴ ∠DQP=∠DAP. ∵ C、Q、R、P 四点共圆,∴ ∠DQP=∠DCR, ∴ ∠DAR=∠DCR.但若 AP 交 BD 于 R?, 由对称性知∠DCR?=∠DAP. ∴ CR 与 CR? 重合,即 R 与 R? 重合. ∴ A、R、P 三点共线.

A R R' Q B

D P

C

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6.证明 连 AA?,BB?,CC?,UX,VY,WZ,易证,AZA?W 是平行四边形, ∴ AA?、WZ 交于 AA?的中点 O.AUA?X 是平行四边形, ∴ AA?与 UX 交于 AA?中点 O.AVA?Y 是平行四边形, ∴ AA?与 VY 交于 AA?中点 O. C' U ∴ UX、VY、WZ 交于一点. Z 说明 △ABC 与△A?B?C?是位似图形. B 对应点连线都交于一点. Y
X A'

A V W C

B'

7.证明 设⊙O1、⊙O2 的半径分别为 r1,r2,则 O1O2=r1+r2. ∵ ∠IQO2=∠INO2, ∴ I、Q、N、O2 四 点共圆. ∴ ∠QIM=∠QO2O1, 又∠IQM=∠O2QO1=90?-∠RQO2, QM QO1 ∴ △IQM∽△O2QO1, MI =O O ,
1 2

RM RO2 QM r1 O1P 同理 IM =O O .∴ MR =r =PO , 1 2 2 2 ∴ MP∥O2R. 设 O1R 与 O2Q 交于点 S,∵ O1Q∥O2R, ∴ △O1QS∽△RO2S, r1 O1S ∴ r = SR .过 S 作 M’P’∥O2R,交 QR 于 M’, 2 则 O1P? QM? O1S r1 = = = , P?O2 M?R SR r2

I

R M O2

Q

O 1N

P

即 M?与 M 重合,P?与 P 重合. ∴ PM、O1R,O2Q 三线共点. 8.证明 设 BE、CF 交于点 H,则 BC 边上的高 AD 过点 H. ∵ ∠ADC=90?,∠AFC=90?,∴ D、F 都在以 AC 为直径的圆上. ∴ HP· HQ=HA· HD,同理,HM· HN=HA· HD. ∴ HP· HQ=HM· HN,∴ P、Q、M、N 四点共圆. 说明 如果不用圆幂定理的逆定理, 则可连 PM、QN,再证明Δ HPM∽Δ HNQ, 得到∠MPH=∠QNH,从而得到结论. 9.证明:∵ P、E 关于 AB 对称,∴ AP=AE,同理,AS=AE, 即 P、E、S 都在以 A 为圆心的圆上. 1 ∴ ∠PSE=2∠PAE=∠BAE. 1 同理∠PQE=2∠PB E=∠ABE.∠RQE=∠DCE,∠RSE=∠CDE. ∴ ∠PSR+∠PQR=∠PSE+∠RSE+∠PQE+∠RQE=180?. ∴ P、Q、R、S 四点共圆.

N F

A Q E

H P B

M D C

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10.证明 PE⊥AB,PF⊥BC,∴ P、E、B、F 四点共圆.∴ ∠PEF=∠PBF, 同理,∠PGF=∠PCF,但 AC⊥BD, G D C ∴∠PBF+∠PCF=90?,∴ ∠PEF+∠PGF=90?, 同理,∠PEH+∠PGH=90?. F H ∴ ∠FEH+∠FGH=180?. P ∴ E、F、G、H 四点共圆. A 证明 ∠EG?G=∠G?BP+∠G?PB, E ∵ E、B、F、P 四点共圆, B ∴∠G?BP=∠EFP,∠G?PB=∠GPD, G E‘ C D 但∠DPC=90?,PG⊥CD,∴∠DPG=∠PCG. F H ∵ P、F、C、G 四点共圆, H’ P ∴ ∠PCG=∠PFG,∴ ∠EG?G=∠EFP+∠PFG=∠EFG. F’ ∴ G?在⊙EFGH 上.同理,可证其余.
A

11.证明 连 FD、FC、FG,GN、GM. ∵∠GDN=90?,∠GFN=90?,∴ G、F、D、N 四点共圆. ∴ ∠GNF=∠GDF.∵ CF⊥AF,CD⊥AD, ∴ A、F、D、C 四点共圆. ∴ ∠ADF=∠ACF. ∵ ∠ECF=∠EKF,∴ ∠GNF=∠EKF. ∴ GN∥EK. ∵ GO=OK,∴ GN=MK, 四边形 GNKM 为平行四边形. ∴ ON=OM,从而 BN=CM. 1 12. (1)证明 ∠QAI=180?-∠IAC=180?-2∠BAC=∠SAI.

E G‘

B

A G F E

B

D N

OM

C

K

又 AI=AI,∠PIA=∠RIA=α,∴∠PQR=∠PSR. ∴ P、Q、R、S 四点共圆. (2)证明 连 EP、ER、EI.易知Δ IPR、Δ IQS 都是等边三角形. 1 ∵ ∠EPB=∠IPB=2∠A+30?, 1 ∴ ∠PEI=60?-2∠A. 1 但 PE=PI=PR=IR,∠IER=2∠IPR=30?. 1 ∴ ∠PER=30?-∠PEI=2∠A-30?. 1 ∠PQR=∠IAC-∠AIP=2∠A-30?=∠PER. ∴ E 在⊙PQR 上. 同理 F 在⊙PQR 上. ∵∠EPI=2∠IPB=∠A+60?, ∴∠EPR=360?-∠EPI-60?=240?-∠A. 1 1 ∵ ∠RFI=90?-(2∠A+30?)=60?-2∠A. 1 ∴∠RPF=∠RFP=30?—∠RFI=2∠A-30?.
- 13 -

D Q S E P I B C A F R

3 ∴ ∠EPF=∠EPR-∠RPF=270?-2∠A. 3 3 3 但Δ DBC 中,∠D=180?-2(∠B+∠C)=180?-2(180?-∠A)= 2∠A-90?. ∴ ∠EPF+∠EDF=180?, ∴ 点 D 在⊙EPF 上. ∴ D、E、F 在⊙PQRS 上.即七点共圆.

- 14 -



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