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陕西省西工大附中2014届高考第七次适应性训练 文科数学试卷及答案


陕西省西工大附中 2014 届高考第七次适应性训练 数学(文)试卷及答案
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? I , M ? {x | y ? ln(1 ? x)}, N ? {x | 2 x ( x ?2) ? 1} , 则右图中阴影部分表示的集合为( A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 1} )

2. 已知方程 y=bx+a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1, y1), (x2, y2), ?, x1+x2+?+x10 y1+y2+?+y10 (x10,y10)的回归方程,则“x0= , y ”是“(x0,y0) 0= 10 10 满足线性回归方程 y=bx+a”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.各项都是正数的等比数列 {an } 中, 3a1 , 1 a3 , 2a2 成等差数列,
a ? a2014 ? ( 则 2012 a2013 ? a2011
2

)

A. 1

B. 3
1 a

C. 6
).

D. 9

4.函数 f ( x) ? ax3 ? bx 在 x ? 处有极值,则 ab 的值为( A. 3 B. ?3 C. 0

D. 1

5.已知 ?ABC 的三顶点坐标为 A(3,0) , B(0,4) , C(0,0) , D 点的坐标为 (2, 0) ,向 ?ABC 内 部投一点 P ,那么点 P 落在 ?ABD 内的概率为( ).
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A.

1 3

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 6

6.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也 不垂直. 其中为真命题的是( A.①和② ) C.③和④ D.②和④

B.②和③

7. 某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所 示的图形(实线组成半径为 2 cm 的半圆,虚线是等 腰三角形的两腰) ,俯视图是一个半径为 2 cm 的圆
2 cm 2 cm 1 cm

1 cm

(包括圆心) ,则该零件的体积是(
4 A. π 3
cm3 cm3



第 7 题图

C. 4 π

? ? 8.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) (? ? 0) 的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 6 2
的等差数列,要得到函数 g ( x) ? A cos ? x 的图像只需将 f ( x) 的图像( )

8 B. π cm3 3 20 D. π cm3 3

? 6 2? C.向左平移 3
A.向左平移 9.已知点 F1、F2 分别是椭圆

? 3 2? D.向右平移 3
B.向右平移
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,A、B 是以 O(O a 2 b2

为坐标原点)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB 是 正三角形,则此椭圆的离心率为( )

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A. 3 10.已知函数 f ( x) ?

B.

3 2

C. 2 ? 1

D. 3 ? 1

4 与 g ( x) ? x3 ? t ,若 f ( x) 与 g ( x) 的交点在直线 y ? x 的两侧, x 则实数 t 的取值范围是 ( )

A. (?6,0]

B. (?6,6)

C. (4, ??)

D. (?4, 4)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横在线.
11. 已知复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , 且 z ? 2 ? 1, 则x, y 满足的轨迹方程是 12. 已知如下算法语句 输入 t; If t<5 Then y=t2+1; Else if t<8 Then y=2t-1; Else y= 8t ? 1 ; End If End if 输出 y 若输入 t=8,则下列程序执行后输出的结果是 ;

.

13.观察下列各式: a ? b ? 1, a 2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a 4 ? b 4 ? 7,
a5 ? b5 ? 11...... 则 a10 ? b10 ? ___________.
?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 14. 已知变数 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 , 目标函数 z ? x ? ay (a ? 0) 仅在点 (2, 2) ?3 x ? y ? 8 ? 0 ?

处取得最大值,则 a 的取值范围为_____________. 15.选做题:(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果 多做,则按所做的第一题评阅记分.) A.(不等式选作题)若不等式 | x ? 2 | ? | x ? 3|? a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围为________;
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B. (几何证明选做题)如图, 已知 ? O 的直径 AB ? 6 ,C 为 ? O 上一点, 且 BC ? 2 , 过点 B 的 ? O 的切线交 AC 延长线于点 D ,则 DA ? ________;

C. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 2 上 的 点 到 直 线

? (cos ? ? 3 sin ? ) ? 6 的距离的最小值为________.
三.解答题 本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分)如图所示的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是边长 为 2 的正方形, O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ? 2 ,
M 是线段 B1 D1 的中点.

(1)求证: BM / / 平面 D1 AC ; (2)求三棱锥 D1 ? AB1C 的体积.

17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,点 (a, b) 在直 线 x(sin A ? sin B) ? y sin B ? c sin C 上. (1)求角 C 的值; (2)若 2 cos 2
A B 3 c ? 2sin 2 ? ,且 A ? B ,求 . 2 2 2 a

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18. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列 {bn } 的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)若数列 {cn } 对任意 n ? N * ,均有
cn ? 2 ? n ? 2? ; bn c c1 c2 ? ? ...... ? n ? an ?1 成立. b1 b2 bn

①求证:

②求 c1 ? c2 ? ...... ? c2014 .

19. (本小题满分 12 分)空气质量指数 PM2.5(单位:μ g/m3)表示每立方米空气中可 入肺颗粒物的含量,这个值越高,解代表空气污染越严重: PM2.5 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250 日均浓度 空气质量级别 空气质量类别 一级 优 二级 良 三级 轻度 污染
15 10

四级 中度 污染
天数

五级 重度 污染
16

六级 严重 污染

某市 2013 年 3 月 8 日—4 月 7 日(30 天)对空气 质量指数 PM2.5 进行检测,获得数据后整理得 到如下条形图: (1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的 概率; (2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个,求至少有一天空气质量类别为中度污染 的概率.

8

5

4 2

O

一级 二级

三级

四级

级别

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20. (本小题满分 13 分)如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别 a 2 b2

为 F1 , F2 ,其上顶点为 A. 已知 ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形. (1)求椭圆 C 的方程; ( 2 )过点 Q(? 4, 0)任作一动直线 l 交椭圆 C 于
???? ? ???? M , N 两点,记 MQ ? ? ? QN .若在线段 MN 上取

???? ???? 一点 R ,使得 MR ? ?? ? RN ,当直线 l 运动时,点

R 在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)试判断函数 f ( x) 的单调性;

ln x ?1. x

(2)设 m ? 0 ,求 f ( x) 在 [m, 2m] 上的最大值;
1? n e 1? n (3) 试证明:对任意 n ? N * ,不等式 ln( 都成立(其中 e 是自然对数的 ) ? n n 底数) .

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高三数学(文科)参考答案 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. C 6. D 2.A 7.C 3.B 8.A 4.B 9.D 5. A 10.B 共 100 分)
1 14. ( , ??) 3

第Ⅱ卷(非选择题

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11. ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1
2

12. 9 B. 3

13. 123 C.1

15.A. (??,5] 骤.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由题得 a ? sin A ? sin B ? ? b sin B ? c sin C , 由正弦定理
2 2 a b c 得 a ? a ? b ? ? b ? c 2 ,即 a 2 ? b ? c 2 ? ab . ? ? sin A sin B sin C

由余弦定理得 cos C ? 结合 0 ? C ? ? ,得 C ? (2)因为 2cos2

a 2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2

?
3

.

A B ? 2sin 2 ? cos A ? cos B 2 2 2? ? cos A ? cos( ? A) 3
? 1 3 ? 3 cos A ? sin A ? sin( A ? ) ? 2 2 6 2

因为 A ? B ?

2? ? ? ? ? ? ? ,且 A ? B 所以 0 ? A ? , ? ? A ? ? ? A? ? 3 3 6 6 2 6 3
数学(文科) 第 7 页 (共 6 页)

所以, A ?

?
6

,B ?

?
2

,C ?

?

c , ? ? 3 3 a

17. (本小题满分 12 分) 解:(1)连结 D1O ,如图, ∵ O 、 M 分别是 BD 、 B1 D1 的中点, BD1 D1 B 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形, ∴ D1O / / BM . --------2 分

∵ D1O ? 平面 D1 AC , BM ? 平面 D1 AC , ∴ BM / / 平面 D1 AC .-------------------6 分 (2)解法 1 连结 OB1 ,∵正方形 ABCD 的边长为 2,
BB1 ? 2 ,∴ B1 D1 ? 2 2 , OB1 ? 2 , D1O ? 2 ,则 OB12 ? D1O 2 ? B1D12 ,

∴ OB1 ? D1O .

--------------------------------------------------------8 分

又∵在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AC ? BD , AC ? D1 D ,且 BD ? D1D ? D , ∴ AC ? 平面 BDD1 B1 ,又 D1O ? 平面 BDD1 B1 , ∴ AC ? D1O ,又 AC ? OB1 ? O , ∴ D1O ? 平面 AB1C ,即 D1O 为三棱锥 D1 ? AB1C 的高. ----------10 分
1 1 ∵ S?AB1C ? ? AC ? OB1 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 , D1O ? 2 2 2
1 1 4 ∴ VD1 ? AB1C ? ? S?AB1C ? D1O ? ? 2 2 ? 2 ? 2 . --------------------------------12 分 3 3 3

解法 2: 三棱锥 D1 ? AB1C 是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 割去三棱锥 D1 ? DAC 、三棱
数学(文科) 第 8 页 (共 6 页)

锥 B1 ? BAC 、三棱锥 A ? A1 B1 D1 、三棱锥 C ? C1 B1 D1 后所得,而三棱锥 D1 ? DAC 、
B1 ? BAC 、 A ? A1 B1 D1 、 C ? C1 B1 D1 是等底等高,故其体积相等.

?VD1 ? AB1C ? VABCD ? A1B1C1D1 ? 4VB1 ? BAC ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 4 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 4 2 .
3 2 3

18. (本小题满分 12 分) 解 : ( 1 ) ? a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,
d ?2 ( ? d ? 0)
? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1. ? (1 ? 4d )2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ), 解 得

又? b2 ? a2 ? 3, a5 ? b3 ? 9
b3 ? 3. ? bn ? b2 q n ?2 ? 3n ?1 b2

所以,等比数列{bn } 的公比 q ?

(2)①证明:?

c c1 c2 ? ? ...... ? n ? an ?1 b1 b2 bn

?当 n ? 2 时,

c c1 c2 ? ? ...... ? n ?1 ? an b1 b2 bn ?1

两式相减,得

cn ? an ?1 ? an ? 2 (n ? 2) bn

.

②由①得 cn ? 2bn ? 2 ? 3n ?1 (n ? 2) 当 n ? 1 时,
c1 ? a2 , ? c1 ? 3 不满足上式 b1
n ?1 ?3, . 故 cn ? ? n ?1 n?2 ?2 ? 3

? c1 ? c2 ? ...... ? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ...... ? 2 ? 32013 ? 3 ?

6 ? 6 ? 32013 ? 3 ? 3 ? 32014 ? 32014 1? 3

19. (本小题满分 12 分)
(1)由条形监测图可知,空气质量级别为良的天数为16天 所以此次检测结果中空气质量为良的概率为 16 8 = 30 15

(2)样本中空气质量级别为三级的有4天,设其编号为 a , b, c , d ; 样本中空气质量级别为四级的有2天,设其 编号为e , f .则基本事件有:
9 页 (共 6,页) (a , b),(a , c ),(a , d ),(a ,数学(文科) e ),(a , f ),(b第 , c ),( b, d ),(b e ),(b, f ),

(c , d ),(c , e ),(c , f ),(d , e ),(d , f ),(e , f )共15个

其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有: (a , e ),(b, e ),( c , e ),( d , e ),( a , f ),( b, f ),( c , f ),( d , f ),( e , f ) 共9个,所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概 率为 9 3 = 15 5

20. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形,所以 c ? 1, a ? 2, b ? 3 ,所以, 椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ?1 4 3

( Ⅱ ) 由 题 意 知 , 直 线 MN 的 斜 率 必 存 在 , 设 其 方 程 为 y ? k( x ? 4 ). 并 设
M( x 1 , y 1 ) , N (x 2 ,y 2 )

? x2 y2 ?1 ? ? , 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0, 由? 4 3 ? y ? k ( x ? 4) ?

则 ? ? 144(1 ? 4k 2 ) ? 0,

x1 ? x2 ?

?32k 2 , 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ?

64k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2

???? ? ???? x ?4 . 由 MQ ? ? ? QN 得 ?4 ? x1 ? ? ( x2 ? 4), 故 ? ? ? 1 x2 ? 4

???? ???? 设点 R 的坐标为 ( x0 , y0 ), 则由 MR ? ?? ? RN 得 x0 ? x1 ? ?? ( x2 ? x0 )
x1 ? ? x2 ? 1? ? x1 ? x1 ? 4 ?24 ? x2 x2 ? 4 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) 3 ? 4k 2 ? ? ? ?1 x1 ? 4 24 ( x ? x ) ? 8 1 2 1? 3 ? 4k 2 x2 ? 4

解得: x0 ?

故点 R 在定直线 x ? ?1 上.
数学(文科) 第 10 页 (共 6 页)

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)解: (1)函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) .由已知 f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e . 因为当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递增,在 [e, ??) 上单调递减. ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 当 2m ? e , 即 m ?

1 ? ln x . x2

e 时 , f ( x ) 在 [m, 2m] 上 单 调 递 增 , 所 以 2

f ( x)max ? f (2m) ?

ln 2m ?1 . 2m ln m ?1 . m

当 m ? e 时, f ( x) 在 [m, 2m] 上单调递减,所以 f ( x)max ?

当 m ? e ? 2m ,即

1 e ? m ? e 时, f ( x)max ? f (e) ? ? 1 . e 2
e ? ln 2m ? 2m ? 1, 0 ? m ? 2 ? e ?1 ? ? ? 1, ? m ? e 2 ?e ? ln m ? 1, m ? e ? ? m

综上所述, f ( x) max

( 3 ) 由 ( 1 ) 知 当 x ? (0, ??) 时 f ( x)max ? f (e) ?

1 ? 1 . 所 以 在 x ? (0, ??) 时 恒 有 e

f ( x) ?

ln x 1 ln x 1 ? 1 ? ? 1 ,即 ? ,当且仅当 x ? e 时等号成立.因此对任意 x ? (0, ??) 恒有 x e x e

1 1? n 1 1? n 1? n 1? n 1? n e 1? n ln x ? .因为 ? ? ? 0, ? e ,所以 ln ) ? ,即 ln( .因此对任 e n e n n n n n
意 n ? N ,不等式 ln(
*

1? n e 1? n ) ? . n n
数学(文科) 第 11 页 (共 6 页)



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