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2012年咸阳市高考模拟考试理科数学试题



2012 年咸阳市高考模拟考试试题(三)

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答. 参考公式: 样本数据 x 1 , x 2 , ? , x n 的标准差 如果事件 A 在一次实验中发生的概率 是 P,那么

s?
概率

1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] n

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的
k pn ( k ) ? Cn p k ( 1 ? p )n ?k (k=0,1,

其中 x 为样本平均数 2,?,n) 如果事件 A 、 B 互斥,那么

球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

S ? 4? R2 , 其中 R 表示球的半径
球的体积公式 V= ? R ,其中 R 表示球的半径
3

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
第Ⅰ卷

4 3

选择题(共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z 满足 ( z ? 2)i ? 1 ? i ,那么复数 z 的虚部为 A. ( )

1

B. ?1

C. i

D. ?i

2.已知 U ? R , M ? ? x | A. ? C. ? x | 0 ? x ? 2?

? ?

x ? ? 0? , N ? x | x ? 2 ,则 M I N x?2 ?
B. ? x | 0 ? x ? 4? D. ? x | 0 ? x ? 2?

?

?





3. 下列四个命题中,假命题为 A. 存在 x ? R , lg x ? 0 C. 任意 x ? R , 2 ? 0
x

B. 存在 x ? R , x 2 ? 2 D.任意 x ? R , x ? 3x ? 1 ? 0
2

1

4、 已知向量 p ? (cos A,sin A) , q ? (? cos B,sin B) , A, C 是锐角 ?ABC 的三个内角, 若 B, 则 p 与 q 的夹角为( A.锐角

? ?

?

? ?

?

) B.直角 C.钝角 D.以上都不对

5.从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图,则该几何 体的体积为 A. ( B. )

7 8

5 8
C.10

C.

5 6
D.12

D.

3 4


6.执行如图所示的程序框图,则输出 k 的结果是 ( A.6 B.8

7. 定义运算 a ? b ? ?

?b ?a

( a ? b) ( a ? b)

, 则函数 f ( x) ? e

?x

? e x 的图像是





A

B

C

D

y 8.已知数组 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ? , ( x10 , y10 ) 满足线性回归方程 ? ? bx ? a ,则“ ( x0 , y0 ) 满足线 y 性回归方程 ? ? bx ? a ”是“ x0 ?
x1 ? x2 ? ? ? x10 10

, y0 ?

y1 ? y2 ? ? ? y10 10

”的

(

)

A. 充分不必要条件 C. 充要条件
2 2

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2

9. 若圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 4 ? 0 对称,则 a ? b 的最小 值是 A 、 2 C、 B、 3 D、1 ( )

2

10.如图,是中国西安世界园艺博览会某区域的绿化美化示意 图,其中 A、B、C、D 是被划分的四个区域,现用红、黄、蓝、 白 4 种不同颜色的花选栽,要求每个区域只能栽同一种花,允 许同一颜色的花可以栽在不同的区域,但相邻的区域不能栽同 一色花, A、 两个区域都种红色花的概率是 则 D ( ) A、

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D.

3 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 3 11.在二项式 ( x ? ) n 的展开式中,各项系数之和为 A ,各项二项式系数之和为 B ,且 x A ? B ? 72 ,则 n ? ____________. 12.设 f (x) 是定义在 R 上最小正周期为 ? 的函数,且在[ ?

5 3

2 ? ,? ) 上 3
.

2? ? ,0 ) ?sin x, x ? [? 16? f ( x) ? ? ,则 f (? ) 的值为 3 3 ?cos x, x ? [0, ? ) ?

1 13、有一个奇数列 1,3,5,7,9,┅,现在进行如下分组:第一组含一个数 ? ? ,第二组含两个 13 数 ?3,5? ,第三组含三个数 ?7,9,11?,第四组含四个数 ? ,15,17,19?,┅,现观察猜想每组
内各数之和 an 与其组的编号数 n 的关系为 .

14.设椭圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0 ? 的中心、右焦点、右顶点依次分别为 O, F , G ,且直线

x?

FG a2 与 x 轴相交于点 H ,则 最大值时的离心率为 _______ . OH c

15. (考生注意:请在下列三道试题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅计 分) A. (不等式选做题)若不等式 2a ? 1 ? x ?

1 对一切非零实数 x 恒成立, x

A

D

则实数 a 的取值范围为 . B.( 几何证明选讲)如右图,直角三角形 ABC 中, ?B ? 90? , AB ? 4 ,以 BC 为直径的圆交 AC 边于 点 D , AD ? 2 ,则 ?C 的大小为 .

B

C

C . 极 坐 标 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 若 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos( ? ( ? C: ?

?
4

) ? 3 2 ,圆
.

? x ? cos ? ( ? 为参数)上的点到直线 l 的距离为 d,则 d 的最大值为 ? y ? sin ?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 图象如图所示. (Ⅰ)求 y ? f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)求 y ? f ( x ?

?
2

)的

?
8

) 的零点.

17. (本题满分 12 分) 已知等比数列 {a n }中,a3 ? a 4是a 2与 ? a3的等差中项, 且a1 ? (I)求 {a n } 的通项公式; (II)已知数列 {bn }满足:a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn ? 2n ? 1, (n ? N ), 求{bn }前n项和S n .
*

1 , q ? 1. 2

18.本题满分 12 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? CC1 ? 2, AB ? BC ,

D 是 BA1 上一点,且 AD ? 平面 A1 BC .
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 ABB1 A1 ; (Ⅱ) 在棱 BB1 是否存在一点 E 使平面 AEC 与平面 ABB1 A1 的夹 角等于 60 ,若存在试确定 E 点位置,若不存在,请说明理由.
?

19. (本题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如下:

日销售量 频数 频率 (I)求m, n 的值;

1 10 0.2

1.5 25 m

2 15 n

(II)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立. ①5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元,ξ 表示该种商品两天销售利润的和(单 位:千元) ,求 ? 的分布列及数学期望. 20. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 x ? 4 y ,过点 A ? 0, a ? (其中 a 为正常数) ,任意作一条直线 l 交抛物线 C 于
2

M , N 两点, O 为坐标原点. ???? ???? ? ON 的值; (Ⅰ)求 OM ?
(Ⅱ)过 M 、 N 分别作抛物线 C 的切线 l1、l2 ,试探求 l1与l2 的交点是否在定直线上,证 明你的结论. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? a ln x(a ? 0) ,
2

(Ⅰ)若直线 l 交 f (x) 的图象 C 于 A, B 两点,与 l 平行的另一直线 l ' 切图象 C 于点 M, 求证: A, M , B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围;

(Ⅲ)求证:

ln 2 4 ln 3 4 ln n 4 2 ? 4 ? ? ? 4 ? (其中 e 为无理数,约为 2.71828) 。 e 24 3 n

2012 年咸阳市高考模拟考试试题(三) 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答. 参考公式: 样本数据 x 1 , x 2 , ? , x n 的标准差 如果事件 A 在一次实验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k pn ( k ) ? Cn p k ( 1 ? p )n ?k (k=0,1,2,?,n)

s?

1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] n

其中 x 为样本平均数 如果事件

A 、 B 互斥,那么

球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

S ? 4? R2 ,

其中 R 表示球的半径

球的体积公式 V=

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

4 3 ? R ,其中 R 表示球的半径 3

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.1.已知 U ? R , M ? x | x ? x ? 2 ? ? 0 , N ? x | A. ? C. ? x | 0 ? x ? 2? 2.复数 A. i

?

?

?

x ? 2 ,则 M I N

?





B. ? x | 0 ? x ? 4? D. ? x | 0 ? x ? 2? ( C.1 D. ?1 ( B.任意 x ? R , x ? 3x ? 1 ? 0
2

i(1 ? i) 等于 1? i B. ?i



3. 下列四个命题中,假命题为 A. C. 任意 x ? R , 2 ? 0
x



存在 x ? R , lg x ? 0

D. 存在 x ? R , x 2 ? 2

1

4.已知 x 为实数,条件 p: x 2 < x ,条件 q: A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ≥1,则 p 是 q 的( x

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.当前,国家正在分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题.甲、乙、丙三个社 区现分别有低收入家庭 150 户、200 户、100 户,若第一批经济适用房中有 90 套用于解决这 三个社区中 90 户低收入家庭的住房问题,现采用分层抽样的方法决定各社区的户数,则应 从乙社区中抽取的低收入家庭的户数为( ) A.30 B.50 C.40 D. 20

? ? ? 6.已知向量 p ? (cos A,sin A) , q ? (? cos B,sin B) ,若 A,B,C 是锐角 ?ABC 的三 ? ? ? 个内角,则 p 与 q 的夹角为(

) C.钝角


A.锐角

B.直角

D.以上都不对

7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 ( A. 6 B.8 C.10 D.12

8.从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图,则该几何体 的体积为 ( A. ) B.

7 8

5 8

C.

5 6

D.

3 4

9.设椭圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0 ? 的中心、右焦点、右顶点依次分别为 O, F , G ,且直线
( )

x?

FG a2 与 x 轴相交于点 H ,则 最大值时的离心率为 OH c

A 、2

B、

3 4

C、

1 2

D、

1 4

? y ? 1, ? 10. 已知实数 x,y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 , 则实数 m 等于 ? x ? y ? m. ?
( A.7 B.5 C.4 D.3 )

第Ⅱ卷(非选择题
三.

共 100 分)
.

填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上.

11.圆心在原点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆方程为 12.设 f (x) 是定义在 R 上最小正周期为 ? 的函数,且在[ ?

5 3

2 ? ,? ) 上 3
.

2? ? ,0 ) ?sin x, x ? [? 16? f ( x) ? ? ,则 f (? ) 的值为 3 3 ?cos x, x ? [0, ? ) ?
? ? 成 75 的视角,则 BC ?

13..海面上有 A、B、C 三个灯塔,AB=10 海里,从 A 望 B 和 C 成 60 的视角,从 B 望 A 和 C 海里.

1 14.有一个奇数列 1,3,5,7,9,┅,现在进行如下分组:第一组含一个数 ? ? ,第二组含两个 13 数 ?3,5? ,第三组含三个数 ?7,9,11?,第四组含四个数 ? ,15,17,19?,┅,现观察猜想每组
内各数之和 an 与其组的编号数 n 的关系为 .

15. (考生注意:请在下列三道试题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅计 分) A. (不等式选做题)若不等式 2a ? 1 ? x ?

1 对一切非零实数 x 恒成立,则实数 a 的取值 x
A
D

范围为 . B.( 几何证明选讲)如右图,直角三角形 ABC 中, ?B ? 90? , AB ? 4 ,以 BC 为直径的圆交 AC 边于 点 D , AD ? 2 ,则 ?C 的大小为 。

B

C

C . 极 坐 标 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 若 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos( ? ( ? C: ?

?
4

) ? 3 2 ,圆
.

? x ? cos ? ( ? 为参数)上的点到直线 l 的距离为 d,则 d 的最大值为 ? y ? sin ?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.

16. (本题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 图象如图所示. (Ⅰ)求 A,? 及 ? 的值; (Ⅱ)求 y ? f ( x ?

?
2

)的

?
8

) 的零点.

17.本题满分 12 分) 如 图 , 在 直 三 棱 柱

ABC ? A1 B1C1 中 , AC ? CC1 ? 2, AB ? BC , D 是 BA1 上一点,且 AD ? 平面 A1 BC .
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 ABB1 A1 ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? BCD 的体积.

18. (本题满分 12 分) 已知等比数列 {a n }中,a3 ? a 4是a 2与 ? a3的等差中项, 且a1 ? (I)求 {a n } 的通项公式; (II)已知数列 {bn }满足:a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 2n ? 1, (n ? N ), 求{bn }的通项公式.
*

1 , q ? 1. 2

19. (本题满分 12 分) 从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 人测量身 高.据测量,被测学生身高全部介于 155 cm 到 195 cm 之间, 将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组 [160,165);?;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得 到的频率分布直方图 (I)估计这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上 (含 180 cm)的人数; (II)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽 取两人,记他们的身高分别为 x、y,求满足“|x-y|≤5”的 事件的概率 20、 (本题满分 13 分) 已知抛物线 x ? 4 y ,过点 A ? 0,1? 作直线 l 交抛物线 C 于 M , N 两点, O 为坐标原点.
2

(1)求 OM ? ON 的值; (2)过 M 、 N 分别作抛物线 C 的切线 l1、l2 ,试探求 l1与l2 的交点是否在定直线上,证明 你的结论. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R ) . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间;
2 ( Ⅲ ) 设 g ( x) ? x ? 2 x? 2, 若 对 任 意 x1 ? (0, ??) , 均 存 在 x2 ? ? 0, 1? , 使 得

???? ???? ?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

2012 年咸阳市高考模拟考试试题(三) 文科数学答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 A 5 C A 7 B 8 C 9 C 10

二、填空题 11. x ? y ? 1;
2 2

12. ?

1 2



13. 5 6 ; C. 3 2 ? 1 .

14. an ? n ;
3

15.A. ?

1 3 ?a? 2 2

;B. 30?

;

三、解答题 16.解: (Ⅰ)由图知 A ? 2 , T ? 2 ? ∴? ? 2 ∴ f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ? ) ∴sin( 又∵ f ( ) ? 2 sin(

? 5? ? ? ? ? ?? ? 8 8?

, ?????3 分

?

?
4

8

? ?) ? 2

?
4

? ? )=1,



?
4

?? =

?
2

? 2k? ,?=

? 2k? + ,(k?Z) 4
?????6 分

∵0 ?? ?

?
2

,∴?=

? 4
? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ∴ f (x ?

??
4? ?



?

?? ? ) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 cos 2 x ? 0 8 2? ?

?????9 分

2 x ? k? ?

?
2

,即x?

k? ? ? ?k ? Z ? 2 4 ) 的零点为 x ? k? ? ? ?k ? Z ? 2 4
?????12 分

∴函数 y ? f ( x ?

?
8

17.证明: (Ⅰ)∵ AD ? 平面 A1 BC ,∴ AD ? BC . ∵ ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,∴ AA1 ? 平面 ABC ,∴ AA1 ? BC . ?????3 分 ∵ AD ? AA1 ? A , AD ? 平面 ABB1 A1 , AA1 ? 平面 ABB1 A1 ,

得 BC ? 平面 ABB1 A1 . Ⅱ)? BC ? 平面 ABB1 A1 .∴ BC ? AB .? AB ? BC ∴ ?ABC 是等腰直角三角形,且斜边 AC ? 2 , AB ? BC ? 解直角三角形得 AD ?

?????6 分

2,

AA1 ? AB 2 ? 2 2 3 AB 2 2 6 ? ? ? ? , BD ? A1 B 3 A1 B 3 6 6 1 1 2 ?????12 分 VA? BCD ? VB ? ACD ? BC ? AD ? DC = 3 2 9 1 18.解:(I)由已知得 2( a3 ? a4 ) ? a2 ? a3 , 故q ? 2 1 1 ?????6 分 因a1 ? ,所以an ? n 2 2 (II)当 n ? 1 时 a1b1 ? 1 , b1 ? 2
因为 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 2n ? 1 当 n ≥ 2 时 a1b1 ? a2b2 ? ? ? an ?1bn ?1 ? 2( n ? 1) ? 1 两式相减得 an bn ? 2 ,得 bn ? 2
n ?1

. bn ? ?

? 2 ? n ? 1? ? n ?1 ?2 ? n ? 2 ? ?

?????12 分

19.解:(I) 由频率分布直方图得组后三组频率为(0.016+0.012+0.008)×5=0.18 ?3 分 这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数为 800×0.18=144. ????6 分 (II)由已知得身高在[180,185)内的人数为 4,设为 a、b、c、d,身高在[190,195]内 的人数为 2,设为 A、B,若 x,y∈[180,185)时,有 ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 6 种情况; 若 x,y∈[190,195]时,有 AB 共 1 种情况; 若 x,y 分别在[180,185)和[190,195]内时,有 aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB,共 8 种情况. 所以,基本事件总数为 6+1+8=15, ????10 分 事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数有 6+1=7, 7 所以 P(|x-y|≤5)= . 15 20.解:(Ⅰ)设直线 l 方程为 y ? kx ? 1 , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ????12 分

? y ? kx ? 1 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ? 2 ? x ? 4y
y1 y2 ? ? kx1 ? 1?? kx2 ? 1? ? k 2 x1 x2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 1 = ?4k 2 ? 4k 2 ? 1 ? 1 ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?4 ? 1 ? ?3 . 故 OM ? ???? ???? ?

????3 分

????6 分

(Ⅱ) y ' ?

1 x 2
x12 1 x2 1 ? x1 ? x ? x1 ? , 整理得 y ? x1 x ? 1 4 2 2 4
? x12 1 ? y ? x1 x ? ?1? ? 2 4 ;联立方程 ? 2 ? y ? 1 x x ? x2 ? 2 ? 2 ? ? 2 4
x1 x2 ? x2 ? x1 ? 4
,y? ????9 分

l1 方程为 y ?

2 x2 1 同理得 l1 方程为 y ? x2 x ? 2 4

x2 ? ?1? ? x1 ? ? 2 ? 得 ? x2 ? x1 ? y ?

x1 x2 ? ?1 4
????13 分 ??????2 分

故 l1与l2 的交点在定直线 y ? ?1 上. 21.解:(Ⅰ)由已知 f ?( x) ? 2 ?
1 ( x ? 0) , x

f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 .
故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 . (Ⅱ) f '( x) ? a ?
1 ax ? 1 ? ( x ? 0) . x x

??????4 分 ??????5 分

1 当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) ????10 分 a a

(Ⅲ)由已知转化为 f ( x) max ? g ( x) max .

g ( x)max ? 2

????11 分

由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e ) ? ae ? 3 ? 2 ,故不符合题意.)
3 3

1 1 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减, a a

故 f ( x) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln( 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) , 解得 a ? ?

1 a

1 ) ? ?1 ? ln(?a) , ?a

1 . e3

??????14 分

2012 年咸阳市高考模拟考试试题(三)
理科数学答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 B 7 D 8 B 9 A 10 A

二.填空题 11. n ? 3 ; 15.A. ? 三、解答题 16.解: (Ⅰ)由图知 A ? 2 , T ? 2 ? ∴? ? 2 ∴ f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ? ) ∴sin( 又∵ f ( ) ? 2 sin( 12. ?

1 2



13. an ? n ;
3

14.

1 ; 2

1 3 ?a? 2 2

;B. 30?

;

C. 3 2 ? 1 .

? 5? ? ? ? ? ?? ? 8 8?

, ?????3 分

?

?
4

8

? ?) ? 2

?
4

? ? )=1,



?
4

?? =

?
2

? 2k? ,?=

? 2k? + ,(k?Z) 4
?????6 分

∵0 ?? ?

?
2

,∴?=

? 4
? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ∴ f (x ?

??
4? ?



?

?? ? ) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 cos 2 x ? 0 8 2? ?

?????9 分

2 x ? k? ?

?
2

,即x?

k? ? ? ?k ? Z ? 2 4 k? ? ? ?k ? Z ? 2 4
1 2
?????6 分 ?????12 分

∴函数 y ? f ( x ?

?
8

) 的零点为 x ?

17.解:(I)由已知得 2( a3 ? a4 ) ? a2 ? a3 , 故q ?

1 1 因a1 ? ,所以an ? n 2 2 (II)当 n ? 1 时 a1b1 ? 1 , b1 ? 2
因为 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 2n ? 1

当 n ≥ 2 时 a1b1 ? a2b2 ? ? ? an ?1bn ?1 ? 2( n ? 1) ? 1 两式相减得 an bn ? 2 ,得 bn ? 2
n ?1

. bn ? ?

? 2 ? n ? 1? ? n ?1 ?2 ? n ? 2 ? ?

?????10 分 ?????12 分

S n ? 2n ? 2 ? 6
18.证明: (Ⅰ)∵ AD ? 平面 A1 BC ,∴ AD ? BC . ∵ ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,∴ AA1 ? 平面 ABC ,∴ AA1 ? BC . ∵ AD ? AA1 ? A , AD ? 平面 ABB1 A1 , AA1 ? 平面 ABB1 A1 , ∴ BC ? 平面 ABB1 A1 .

?????6 分

(Ⅱ)? BC ? 平面 ABB1 A1 .∴ BC ? AB .又 BB1 ? AB, BB1 ? BC ,于是可建立如图所 示的空间直角坐标系 B ? xyz .∵ ?ABC 是等腰直角三角 形,且斜边 AC ? 2 , ∴ AB ? BC ? 从而, A

2.

?

2,, 0, 0 , B ? 0, 0, 0 ? , C 0, 2 , 0

?

?

? ?

设存在满足条件的点 E 坐标为 ? 0, 0, a ?? 0 ? a ? 2 ? 由(Ⅰ)知平面 ABB1 A1 的法向量 BC = 0, 2 , 0 , ?6 分 令平面 ACE 的法向量 n ? ? x , y , z ?

??? ?

?

?

? ???? ? n ? AC ? 0 ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? ,? ? ? ??? ? n ? AE ? 0 ? ? 2 x ? az ? 0 ? ? 令 z ? 2 得 n ? a, a, 2 .

?

?

?平面 AEC 与平面 ABB1 A1 的夹角等于 60? ????? ? 2a 1 ? ,的 a ? 1 ∴ COS n, BC ? 2 2 2a ? 2 2 ? 所以当 E 为棱 BB1 中点时平面 AEC 与平面 ABB1 A1 的夹角等于 60 . ?????12 分 19.解: (I)表中 m ? 0.5, n ? 0.3. ?????2 分 (II)依照题意得一天的销售量为 1.5 吨的概率 p ? 0.5 5 天中该种商品恰好有 X 天的销售量为 1.5,则 X ? B ? 5, 0.5 ?
P ? X ? 2 ? ? C52 0.52 ?1 ? 0.5? ?
3

(II) ? 的取值为 4,5,6,7,8

5 ? 0.3125 16

?????6 分

p ?? ? 4 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 ; p ?? ? 5? ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2 ; p ?? ? 6 ? ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.37 ; p ?? ? 7 ? ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3 ; p ?? ? 8 ? ? 0.3 ? 0.3 ? 0.09
?????9 分 5 0.2 6 0.37 7 0.3 8 0.09

? 的分布列为

? p

4 0.04

E ?? ? ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.37 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.09 ? 6.2 ?????12 分
20.解:(Ⅰ)设直线 l 方程为 y ? kx ? b , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?

? y ? kx ? a 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4a ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a ? 2 ? x ? 4y
y1 y2 ? ? kx1 ? a ?? kx2 ? a ? ? k 2 x1 x2 ? ak ? x1 ? x2 ? ? a = ?4ak 2 ? 4ak 2 ? a ? a ???? ???? ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?4a ? a ? ?3a . 故 OM ? ?????6 分 1 (Ⅱ) y ' ? x 2

l1 方程为 y ?

x12 1 x2 1 ? x1 ? x ? x1 ? , 整理得 y ? x1 x ? 1 4 2 2 4 x2 1 x2 x ? 2 2 4
?????9 分

同理得 l1 方程为 y ?

? x2 1 y ? x1 x ? 1 ?1? ? ? 2 4 联立方程 ? 2 ? y ? 1 x x ? x2 ? 2 ? 2 ? ? 2 4
x2 ? ?1? ? x1 ? ? 2 ? 得 ? x2 ? x1 ? y ?

x1 x2 ? x2 ? x1 ? 4

,y?

x1 x2 ? ?a 4
?????13 分

故 l1与l2 的交点在定直线 y ? ?a 上.

21.解: (Ⅰ)设切点 M 的横坐标为 x0 , A, B 点的横坐标分别为 x1 , x2 ; 因为 f
'

? x ? ? 4 x ,所以 kl ? kl

'

? 4 x0 ;令 AB 方程为 y ? 4 x0 x ? b

? y ? 2 x2 2 2 消去 y 得 2 x ? 4 x0 x ? b ? 0 ,当 ? ? 16 x0 ? 8b ? 0 时 ? y ? 4 x0 x ? b ?

x1 ? x2 ? 2 x0 ,所以 A, M , B 三点的横坐标成等差数列. ?????4 分

(Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? a ln x , F ' ( x) ? 4 x ?
2

a , x ? a ? ? 2? a , ?? ? , 令 F '( x) ? 0 ,得 x ? ,所以 f ? x ? 的减区间为 ? 0, ? ? ? 2 ? ,增区间为 ? 2 ? 2 ? ? ? ?
a a a a ? a ln ,只要 ? a ln ? 0 即可, 2 2 2 2
?????10 分

F ? x ?极小值 = F ( x) min ?
得 a ? 4e .

4 ln x 2 (Ⅲ) 由(Ⅱ)得 2 x 2 ? 4e ln x ,即 ? 2 ,所以 4 x ex ln 2 4 ln 3 4 ln n 4 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ? 4 ??? 4 ? ( 2 ? 2 ??? 2 ) ? ( ? ??? )? 4 e 2 e 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) e 2 3 n 3 n
?????14 分



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