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几何画板高级教程


第一章

函數圖形
國立台灣師範大學數學系 陳創義

[第一節畫函數圖形] [第二節畫動態函數圖形] [第三節畫極坐標方程式圖形] [第四節畫直角坐標參數式圖形] 很多數學老師在用電腦 word 打講義或考卷時,最令他們煩惱的問題是畫函 數圖形,常常需要去剪貼現成課本的函數圖形湊合湊合,但不見得跟自己所要的 相符合,而且無法存在電腦檔案裡頭;有的去使用數學軟體 MATHMATICA 繪圖 之後再複製插入文件,但這個圖插入之後所佔的記憶體就蠻大的,因為它是點陣 圖,況且一套 MATHMATICA 軟體是相當貴的;有的用 word 裡的繪圖工具慢慢 描個大概,但所費的功夫還蠻大的。價位便宜的 GSP 繪圖軟體可幫助他們解決 這方面的問題,不過需要一些小技巧,因為它並沒有直接這樣的功能,而且手冊 也沒有這樣的介紹,但透過一些數學知識,與它所附的計算機功能,就能夠畫一 般所熟知的基本函數圖形,如多項式函數、對數函數、指數函數、三角函數、有 理函數、反三角函數、冪函數等等。甚至把常用的函數錄製成巨集,到時想要甚 麼函數圖形,幾秒鐘自動就可畫好。第一節將用 f(x)=x3-3x+1 作例子介紹如 何畫函數圖形,且加上這種作法可調整函數圖形的範圍,特別適合複製(或形成 圖片檔)剪貼到 word 裡的講義裡編排,還可在 word 裡,作適當的修改。第二 節介紹函數動態圖形,以函數 y=sin(x)為例子,第三節介紹極坐標方程式的繪 圖,第四節介紹在直角坐標上繪參數曲線的圖形。 ※列印時要得到很平滑的曲線,要從 GSP 檔案去列印。

第一節

畫 f(x)=x3-3x+1 的函數圖形

各作法中,點的標籤原則上是以剛開檔後所呈現的軟體本身所給的點標籤, 所 以 初 學 者 , 先 在 上 頭 的 項 目 Display 按 一 下 , 出 現 選 單 , 在 選 單 的 Preferences 按一下,出現對話方塊,點選 Points 及 Circles 如下左圖, 然後在如下右圖 OK 的地方按一下,如此才能與作法內容的點標籤相對應。

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如果物件的標籤不相符時,選取標籤工具盒中(即滑鼠在上頭按一下),然後 出現滑鼠的手指頭,移到不符的標籤(符號上面不是物件上面),快速按兩下右 鍵,出現對話方塊,你就可以修改你所要的標籤。 下面作法中的「選取…」,是將滑鼠指向對準物件按左鍵一下,物件出現反 白表示已選取,若再指著它按一下,反白消失表示沒選取。 圖形的作法如下: 1.將滑鼠箭頭在 Graph 的 Create Axes 上點一下,此時螢幕出現了坐標軸, 在 x 軸上畫一條線段 CD(將取代原有 x 軸) 並在 y 軸上也畫上一條線段 EF(取 , 代原有 y 軸); 2.用滑鼠箭頭在坐標的原點 A 上快速連按兩下,此時螢幕上 A 點會閃一下(標定 中心點 A); 3.選取 B(用滑鼠指向對準點 B 按左鍵一下,點 B 出現反白表示已選取;其中 AB 為 x 軸的單位長),在 Transform 按 Rotate 一下,出現對話方塊,如下左 圖箭頭所示地方,把數字改成 90(表示將 B 繞 A 逆時針旋轉 90 度),然後在 對話方塊的 OK 按一下(或按鍵盤的 Enter 鍵),產生點 B’(此時 AB’為 y 軸 的單位長);

4.在 Graph 按 Hide Axes 一下(把原有的坐標軸隱藏起來),此時螢幕上只有 線段 CD、EF 及點 A、B、B’,分別代表新的 x 軸、y 軸及原點、x 軸 1 單位、 y 軸 1 單位。 5.滑鼠箭頭指向線段 CD,按左鍵一下(選取線段 CD),然後在 Construct 按 Point On Object 一下,則在線段 CD 上產生動點 G(將代表函數的 x); 6.選取點 G,然後在 Measure 按 Coordinate 一下,此時螢幕出現 G 的坐標 [m1]; 7.選取 G 的坐標[m1],然後在 Measure 按 Calculate 一下,此時出現一個計 算機,用滑鼠箭頭在計算機的 Values 按一下,接著在 Point G 按一下,再
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在 x 上按一下(表點 G 的 x 坐標),此時計算機的小螢幕出現 xG,接著在計算 機的鍵盤按^3-3*,接著再重複做 xG 的動作,然後再按+1(也就是計算 xG3-3*xG+1),接著按 OK,此時螢幕出現計算的值[m2]。 8.標定中心點 A,選取點 B’,在 Transform 按 Dilate 一下,出現對話方塊, 將上面的框框取反白(或把上頭的數字消去),然後用滑鼠箭頭在[m2](即剛剛 計算 xG3-3*xG+1 的值)上按一下,然後按 OK,表示以點 A 為伸縮中心,[m2] 為伸縮比例,將點 B’作伸縮變換,產生點 B”; 9.選取點 B”及線段 EF,在 Construct 按 Perpendicular,產生過點 B”與線 段 EF 垂直的直線 l; 10. 選取點 A、G,然後在 Transform 按 Mark Vector,(即以 A->G 為平移向 量),選取線段 EF,在 Transform 按 Translate,出現對話方塊,不管它 直接按 OK(即把線段 EF 平移 A->G 向量),產生線段 k’; 11. 先移動點 G,使直線 l 及線段 k’相交狀態,然後選取直線 k 及線段 l,在 Construct 按 Point At Intersection,產生點 H(或用滑鼠指向它們 相交的地方,按一下左鍵); 12. 選取點 H 及點 G 在 Construct 按 Locus 此時螢幕出現 f(x)=xG3-3*xG+1 , , 的函數圖形; 13. 選取直線 l 及線段 k’,按快速鍵盤的 Ctrl+H 鍵(即把它們隱藏起來)。並 可把你不想出現的東西隱藏起來。
G: (1.912, 0.000) x G 3 - 3 x G + 1 =2.25

E l B'' B' H k' B G D

C

A

F

※這函數的圖形(軌跡部分)左右介於點 C 與點 D 之間及上下介於點 E 與點 F 之 間。可隨時調整點 B、C、D、E、F 的位置,滿足所要的需求。
3

※如果你覺得圖形不夠平滑,在 Display 按 Preference,產生對話方塊,在 More 地方再按一下,又產生另一個對話方塊,在如下圖箭頭所指的地方,把數字更 改提高,表示描點點數提高,曲線會較平滑。這數字高低可依據自己針對不同 需求及不同效果來作調整。

※如果我們也想把切線放進來也希望切線不超出範圍,把上述作法的點向右平移 1 單位,產生點 H’,計算斜率[m3]=3*xG2-3,將剛剛的點 H’往上平移[m3] 單位,產生點 H”,將點 H 與點 H”連線,即為切線。過點 C 及點 D 作與線段 垂直的線,再作過點 E 及點 F 與線段 EF 的垂線,把垂線的四個交點用線段連 起來成一個矩形,並把垂線隱藏起來,移動點 G 使切線與矩形不同邊的交點, 沿切線用線段連接,然後將切線隱藏,此時切線被切線段取代,然後再把不想 出現的東西隱藏,大功告成。移動點 G,切線就會跟著跑。 ※在教學上可把多種函數(如三角函數等)放在一起比較,然後利用按鈕控制顯 現或隱藏或動態的產生,或造可改變係數的控制點以觀察其變化等。 ※學習 GSP 最主要精神,不在於一定要先熟悉什麼技巧或功能,而是在你要如 何呈現主題,情境的佈置,要有什麼特效,然後再去尋求如何才能達成此目標。 如此你才能感受到創作的成就感,技術才能很快提昇。所以只要掌握幾個造圖 的指令及變換馬上可開始創作屬於你自己想法的東西。

4

第二節

動態的函數圖形

有時我們想給函數圖形能動起來,有許多呈現方式,在此介紹一種點走到那 裡就畫到那裡。我們以 y=sin(x)為例,大致上與(一)作法相同,但有些我們 作一些改變,作法如下: 1. 先作如同(一)的第 1 至第 4 步驟產生直角坐標; 2. 選取點 A 及點 B,在 Measure 按 Distance,產生點 A 與點 B 的距離[m1]; 3. 滑鼠箭頭指向線段 CD,按左鍵一下(選取線段 CD),然後在 Construct 按 Point On Object 一下,則在線段 CD 上產生一動點 G; 4. 選取點 A 及點 G,在 Construct 按 Segment,產生線段 AG,並在選取線段 AG 之下,在 Construct 按 Point On Object,產生點 H; 5. 依序選取三點 A、B、H,(左手仍按鍵盤的 Shift 鍵不放)在 Measure 按 Ratio,產生 AH/AB 的比值[m2]; 6. 在 Measure 按 Calculate,計算 sin([m2]*180°/pi)*[m1]產生[m3]; [在計算機先按 Functions 裡的 sin(,再用滑鼠按外面的比值[m2],再按 *180,再按 Units 裡的 degrees,再按/,再按 Values 裡的 pi,再按), 再按外面的距離[m1],然後按 OK] 7. 選取點 H,在 Transform 按 Translate,沿 90 度方向以[m3]為大小,將 點 H 作平移,產生點 H’; 8. 選取點 H’及點 H,在 Construct 按 Locus,產生當點 H 沿著線段 AG 變化 時所生成點 H’的軌跡; 9. 選取點 G 及線段 CD,在 Edit 按 Action Button 再按 Animation,在對 話方塊選取適當形式及速度(如下圖),按 Animate,產生點 G 在線段 CD 上 跑的動態 Animate 按鈕。

5

Animate
AB = 1.000 cm AH = 1.72 AB AH AB

E H' C A B H G D

sin

180   AB = 0.990 cm

F

6

第三節

畫極坐標函數圖形

有許多漂亮的圖形,來自於極坐標方程式,我們將以 r=cos(5θ)為例子及 r=cos(7θ/3)。 r=cos(5θ)的作法如下: 1. 給定點 A 及點 B,以點 A 為圓心過點 B 畫圓,產生圓 c1;(AB 當單位長) 2. 在圓 c1 上任取一動點 C; 3. 依序選取點 B、點 A、點 C,在 Measure 按 Angle,產生∠BAC 的有向角度 [m1];(當θ用) 4. 在 Measure 按 Calculate,計算 cos(5*[m1]),產生[m2];(當 r 用) 5. 標定中心點 A,選取點 C,在 Transform 按 Dilate,以點 A 為伸縮中心, 以[m2]為伸縮比例,將點 C 作伸縮變換,產生點 C’; 6. 選取點 C’及點 C,在 Construct 按 Locus,產生點 C’的軌跡。
C

C' m BAC = 58.6 cos (5 m BAC) = 0.394 A B

c1

如果直接用上面的方法作 r=cos(7θ/3),會有一部分圖形沒有出來,因為 測量角度範圍只能從-180°到 180°,所以必須使用小技巧,才能畫出整個圖形。 我們把上面作法的∠BAC 當θ/3 用,那麼 3*∠BAC 就是θ。其它像 nθ/m 有理數 型,都可如此處理。 r=cos(7θ/3)的作法如下: 1. 給定點 A 及點 B,以點 A 為圓心過點 B 畫圓,產生圓 c1;(AB 當單位長) 2. 在圓 c1 上任取一動點 C; 3. 依序選取點 B、點 A、點 C,在 Measure 按 Angle,產生∠BAC 的有向角度
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[m1];(當θ/3 用) 4. 在 Measure 按 Calculate,計算 2*[m1],產生[m2]; 5. 標定中心點 A 選取點 C 在 Transform 按 Rotate 將點 C 繞點 A 旋轉[m2] , , , 角度,產生點 C’; 6. 在 Measure 按 Calculate,計算 cos(7*[m1]),產生[m3]; 7. 選取點 C’,在 Transform 按 Dilate,以點 A 為伸縮中心,以[m3]為伸縮 比例,將點 C’作伸縮變換,產生點 C”; 8. 選取點 C”及點 C,在 Construct 按 Locus,產生點 C”的軌跡。

C' C''

C

m BAC = 44.2 2 m BAC = 88.4 cos (7 m BAC) = 0.636 A B

c1

※我們也可把它變成動畫形式呈現,也就是能看到圖形慢慢畫出來,作法與前面 的動態作法一樣。以 r=cos4θ的作法為例,作法如下: 1. 畫點 A 為圓心且通過點 B 的圓,產生圓 c1;(以 AB 當單位長) 2. 在圓 c1 上任取一動點 C; 3. 依序選取點 B、點 C、圓 c1,在 Construct 按 Arc On Circle,產生圓 弧 a1; 4. 選取圓弧 a1,在 Construct 按 Point On Object,產生點 D; 5. 依序選取點 B、點 A、點 D,在 Measure 按 Angle,產生∠BAD 的有向角度 [m1];(當θ用) 6. 在 Measure 按 Calculate,計算 cos(4*[m1]),產生[m2];(當 r 用) 7. 標定中心點 A,選取點 D,在 Transform 按 Dilate,以點 A 為伸縮中心, 以[m2]為伸縮比例,將點 D 作伸縮變換,產生點 D’;
8

8. 選取點 D’及點 D,在 Construct 按 Locus,產生點 D’的軌跡。 9. 選取點 C 及圓 c1,在 Edit 按 Action Button 裡的 Animation,選擇 normal 速度,按 Animate,產生動態 Animate 按鈕。並將點 D、D’隱藏。

m BAD = 113   cos (4 m BAD) = -0.05

A C

B

Animate

※如果遇到極坐標方程式像 r = cos 2θ + si θ 等的方程式,就有必要改用參數式 n 作法,並作成動態,效果較好。 作法如下: 1. 先在螢幕的下方畫一條線段 AB; 2. 在線段 AB 上取兩個點,產生點 C 及點 D; 【線段 AC 當參數的長度單位用】 3. 畫線段 AD,並再線段 AD 上取一點 E; 4. 依序選取三點 A、C、E,在 Measure 按 Ratio【注意是否仍按 Shift 鍵】, 產生[m1];【[m1]當參數 t 用】 5. 給定點 F 及點 G;【點 F 當原點,FG 當軸方向及單位長】 6. 在 Measure 按 Calculate,出現計算機,計算[m1]*180°/pi,產生[m2]; 7. 在 Measure 按 Calculate,計算 cos(sqrt(2)*[m2])+sin([m2]), 產生[m3]; 8. 標定中心點 F,選取點 G,繞點 F 旋轉[m2],產生點 G’; 9. 選取點 G’,以點 F 為伸縮中心,[m3]為比例,將點 G’作伸縮變換,產生點 G”; 10.選取點 G”及點 E,在 Construct 按 Locus,產生軌跡。 11.選取點 D 及線段 AB,在 Edit 的 Action Button 按 Animation,出現 對話方塊,選擇適當形式及速度,按 Animate,產生 Animate 按鈕。 12.將點 G’、點 G”隱藏,並將所有標籤隱藏。

9

AE = 17.84 AC AE AC 180   = 1022 

cos

2

AE AC

180   + sin

AE 180   = 0.15 AC

Animate

10

第四節 在直角坐標上的參數式
很多的情況必須要使用參數式的繪圖才能把圖形畫好,尤其是不具週期性的 圖形。 例 1、x=t+2*sin(2*t),y=t+2*cos(5*t)的作法如下: 1. 先在螢幕的下方畫一條線段 AB; 2. 在線段 AB 上取兩個點,產生點 C 及點 D;【線段 AC 當參數的長度單位用】 3. 依序選取三點 A、C、D,在 Measure 按 Ratio【注意是否仍按 Shift 鍵】, 產生[m1];【[m1]當參數 t 用】 4. 畫一條線段 EF;【線段 EF 當 x 軸的單位,點 E 當原點。】 5. 標定中心點 E,選取點 F 及線段 EF,在 Transform 按 Rotate,將點 F 及 線段 EF 繞點 E 旋轉 90 度,產生點 F1 及線段 EF1;【線段 EF1 當 y 軸單位 用】 6. 在 Measure 按 Calculate,計算 x 的坐標 [m1]+2*sin(2*[m1]*180°/pi),產生[m2]; 7. 在 Measure 按 Calculate,計算 y 的坐標 [m1]+2*cos(5*[m1]*180°/pi),產生[m3]; 8. 選取點 F,在 Transform 按 Dilate,以點 E 為伸縮中心,以[m2]為伸縮 比例,將點 F 作伸縮變換,產生點 F2; 9. 選取點 F1,在 Transform 按 Dilate,以點 E 為伸縮中心,以[m3]為伸縮 比例,將點 F1 作伸縮變換,產生點 F3; 10.依序選取點 E、點 F2,在 Transform 按 Mark Vector,標定向量 E->F2, 選取點 F3,在 Transform 按 Translate,以 E->F2 為平移向量將點 F3 平移,產生點 F4; 11.將點 F2 及點 F3 隱藏,選取點 F4 及點 D,在 Construct 按 Locus,產生點 F4 的軌跡。

11

t = 2.39 t + 2 sin t + 2 cos 2 t 180   = 0.40 5 t 180   = 4.05

F4

F1 E A C D F B

12

例 2、x=cos(t)-cos(80*t)*sin(t),y=2*sin(t)-sin(80*t)的作 法如下: 1. 以點 A 為圓心通過點 B 畫圓 c1; 2. 在圓 c1 上任取一點 C,依序選取點 B、點 A、點 C,在 Measure 按 Angle, 產生∠BAC 的有向角度[m1];【當參數 t 用】 3. 畫一條線段 DE,當 x 軸的單位用; 4. 標定中心點 D,選取點 E 及線段 DE,在 Transform 按 Rotate,將點 E 及 線段 DE 繞點 D 旋轉 90 度,產生點 E1 及線段 DE1;【線段 DE1 當 y 軸單位 用】 5. 在 Measure 按 Calculate,計算 x 的坐標 cos([m1])-cos(80*[m1])*sin([m1]),產生[m2]; 6. 在 Measure 按 Calculate,計算 y 的坐標 2*sin([m1])-sin(80*[m1]),產生[m3]; 7. 選取點 E,在 Transform 按 Dilate,以點 D 為伸縮中心,以[m2]為伸縮 比例,將點 E 作伸縮變換,產生點 E2; 8. 選取點 E1,在 Transform 按 Dilate,以點 D 為伸縮中心,以[m3]為伸縮 比例,將點 E1 作伸縮變換,產生點 E3; 9. 依序選取點 D、點 E2,在 Transform 按 Mark Vector,標定向量 D->E2, 選取點 E3,在 Transform 按 Translate,以 D->E2 為平移向量將點 E3 平 移,產生點 E4; 10. 將點 E2 及點 E3 隱藏,選取點 E4 及點 C,在 Construct 按 Locus,產生點 E4 的軌跡。

13

t = 110  cos (t) - cos (80 t) sin(t) = 0.38 2 sin(t) - sin (80 t) = 1.24

E1

E4

C A B

D

E

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