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高一数学三角函数的诱导公式1


1.3

三角函数的诱导公式 第一课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样 定义的?

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边

y

P(x,y)

O

y tan ? ? ( x ? 0) x

x

2. 2kπ +α (k∈Z)与α 的三角函数 之间的关系是什么?
公式一: sin(? ? 2 k? ) ? sin ?
cos(? ? 2 k? ) ? cos ?

( k ? Z) tan(? ? 2 k? ) ? tan ?

3.你能求sin750°和sin930°的值吗?

4.利用公式一,可将任意角的三角函数 值,转化为00~3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数可以查表计算, 而对于900~3600范围内的三角函数值, 如何转化为锐角的三角函数值,是我们 需要研究和解决的问题.

知识探究(一):π+α的诱导公式

思考1:210°角与30°角有何内在联系? 210°=180°+30° 思考2:若α 为锐角,则 (180°,270°)范围内的角可以怎样 表示? 180°+α

思考3:对于任意给定的一个角α ,角 π +α 的终边与角α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

π+α 的终边

思考4:设角α 的终边与单位圆交于点P (x,y),则角π +α 的终边与单位圆 的交点坐标如何?
y α 的终边 P(x,y) o

x Q(-x,-y) π+α 的终边

思考5:根据三角函数定义, sin(π+α) 、cos(π +α )、 tan(π +α )的值分别是什么?
y α 的终边

sin(π +α )=-y cos(π +α )=-x
y tan(π +α )= x x
Q(-x,-y) π+α 的终边

P(x,y)
o

思考6:对比sinα ,cosα ,tanα 的值, π +α 的三角函数与α 的三角函数有什 么关系?
sin( ? ? ? ) ? ? sin ? 公式二: cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? tan ?

思考7:该公式有什么特点,如何记忆?

知识探究(二):-α ,π -α 的诱导公式:

思考1:对于任意给定的一个角α ,-α 的终边与α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

-α 的终边

思考2:设角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),则-α 的终边与单位圆的交 点坐标如何?
y α 的终边

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

思考3:根据三角函数定义,-α 的三角 函数与α 的三角函数有什么关系?
α 的终边 y

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

公式三:

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

思考4:利用π -α =π +(-α ),结 合公式二、三,你能得到什么结论?
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

公式四:

思考5:如何根据三角函数定义推导公式 四?
α 的终边 y

π -α 的终边 P(-x,y)
x

P(x,y)
o

-α 的终边

思考6:公式三、四有什么特点,如何记 忆? 公式三:
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

公式四:

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan( ? ? ? ) ? ? tan ?

思考7:公式一~四都叫做诱导公式,他 们分别反映了2kπ +α (k∈Z),π + α ,-α ,π-α的三角函数与α的三角 函数之间的关系,你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗? 2kπ +α (k∈Z),π +α ,-α ,π -α 的三角函数值,等于α 的同名函数 值,再放上原函数的象限符号.

理论迁移

例1 求下列各三角函数的值:
(1)cos225
?

11? ( 2)sin 3
( 4)cos(-2040 )
?

16? (3)sin() 3

例2 已知cos(π +x)= 1 3 各式的值:

,求下列

(1)cos(2π-x);(2)cos(π-x).
例3 化简:
cos(180 ? ? ) ? sin( ? ? 360 ) (1) sian(- ? - 180? ) ? cos(-180? - ? ) ; ? ? cos190 ? sin (?210 ) (2 ) ? ? . cos(-350 ) ? tan585
? ?

小结作业 1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一~四为基础,还可以 产生一些派生公式, 如sin(2π -α )=-sinα , sin(3π -α )=sinα 等.

3.利用诱导公式一~四,可以求任意 角的三角函数,其基本思路是:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数

锐角的三角 函数

0~2π 的角 的三角函数

这是一种化归与转化的数学思想.

作业: P27练习:1,2,3,4.

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,朦朦胧胧地发现小院儿南面靠墙有一个很大的炉子,炉子边上立着一个就好像捅火棍一样的物件。耿正一个箭步跳过去,抓起这条又粗 又长的捅火棍就冲了过来。此时,第二个倒在地上的伙计已经情况危急了。虽然这个伙计看见窃贼高举的凳子朝自己头上打来,急中生智 赶快翻了一个身没有被打中头部,但这贼顺势划拉了一下,他一侧的肩部和腰腿已经是受伤不轻了。当这个疯狂的窃贼第二次举起凳子朝 伙计的头上打来时,耿正高高举起的捅火棍已经重重地落到了他的额角上。只听这贼“哎呀”一声惨叫,扔掉凳子夺路往门外逃走了。耿 正担心门外的弟弟和妹妹,赶快举着捅火棍追出门来,只见这贼已经捂着额头朝巷子口跑去了。再追到巷子口时,发现这贼往西快速跑走 了。模模糊糊地望到他的身上斜挎着一个包裹,估计是偷得两位老人的财物。耿正很想追上去把财物夺回来,无奈这家伙虽然受了伤,但 跑得却非常快。心想这贼大概是练过老人们常说的“轻功”了,自己是绝对追不上的。再说院子里还有四个受伤的人呢,就赶快返了回来。 耿正还没有走到俩老人后院儿的门口,对门儿和隔壁的院门儿就几乎同时打开了,有几个人急匆匆地各举着家伙什儿冲了出来。对门儿里 出来的是两个人,走在前面的壮年汉子手里提着一把铁锹,紧跟在他身后的是一个十几岁的男娃儿,手里拿了一条长长的擀面杖。这壮年 汉子看到耿正提着捅火棍返回来了,就问:“你已经把贼赶走了?”耿正喘着气一边走一边说:“哦,这贼往西跑走了。很厉害的,我们 三个人都对付不了,被他打爬了两个!要不是我摸到了这条捅火棍,估计也够呛了!”从隔壁门里出来的是一男一女两个年纪不大的人, 看样子是夫妇俩。听到耿正说三个人被打爬了两个,就赶快跑了过来。耿正抬眼一看,这男的手里也提了一把铁锹,女的则和自己一样, 也提着一条捅火棍。这女的一见到已经走到俩老人后院儿门口的人是耿正,大吃一惊,脱口说:“你不就是经常和弟弟妹妹来这个小饭店 吃早点的吗?怎么,你的弟弟和妹妹被贼打爬下了?”耿正说:“不是,是送我们回来的两个伙计!”耿正说完,赶快朝巷子里轻轻叫一 声:“英子,小直子,窃贼被打跑了,你俩也过来吧!”看到妹妹拉着弟弟朝这边跑来了,耿正这才放心。在朦胧的光线下,耿正看着弟 弟吃惊地说不出话来的样子,就摸摸他的头安慰说:“别怕,没有事儿了!”又对妹妹说:“你俩也进来吧。这贼很厉害,打倒了四个人, 两个伙计都受伤了!”这时候,对门儿院子里又出来一个壮年夫人。这五个人也跟随耿正兄妹三人一起进了这个遭窃的小院儿里。85第五 十七回 拳拳舔犊“慈父”情|(“慈父”情怀大展露,才艺忘了从头教;带领“儿女”帮李家,乐乐呵呵无忧愁。)就这


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