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空间中的垂直关系教案



敬业、协作、启智、进取

任课教师:张胜利

任课班级:三、1,2 班

《空间中的垂直关系一》复习课教案 临潼区华清中学:张胜利 一.教学目标
1、知识与技能 (1).以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的有关性质 与判定定理. ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与

此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。

◆出垂直于同一个平面的两条直线平行

◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (2).能运用公理、定理及已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题. (3).能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理) 2、过程与方法: (1)通过本节课的复习培养学生应用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决相关问题的能 力。 (2)通过师生共同探讨培养学生对知识的归纳总结能力,对知识的灵活应用能力。 3、情感态度与价值观: 培养学生发现问题的意识和运用知识的意识,让学生参与解决相关问题的全过程,享受成功的 喜悦,感受数学的魅力,激发学生学习数学的兴趣。

二、重、难点分析:
1、重点:理解空间中三种垂直关系的定义;掌握空间中三种垂直关系判定及性质;用空间中三种 垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题。 2、难点:空间中三种垂直关系的判定及性质综合应用。

三、教学方法与学法分析:
1、教学方法:本节课是高三第一轮复习中的《空间中的垂直关系 的复习课》 ,重点是理解空间中三种垂直关系的定义;掌握空间中三种垂直关系判定及性质;用空 间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题。 2、教学手段:利用多媒体和导学案,导学案把大容量的信息提前呈现给学生,让学生提前思考, 培养学生自学能力;多媒体演示使空间图形更加直观;利用黑板适当的板书弥补导学案在即时信息, 反馈和信息的储存方面的不足。 3、学法指导:根据高三学生已具备了一定分析问题、解决问题的能力和积极参与意识,自主探索 意识,由本节课的内容特点及学生已有的知识、能力、情感等因素定为问题探究式学法。

四.要点精讲
1.线线垂直 判断线线垂直的方法:
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(1)定义:所成的角是直角,两直线垂直; (2)垂直于平行线中的一条,必垂直于另一条。 (3)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直。其作用是证两异面直线垂直 (4)三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也 和这条斜线的射影垂直。其作用是证两异面直线垂直

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO 。 a ? ? , a ? AP ? ?
A

P
O

?

a

注意:三垂线定理及其逆定理实质上是证明线面垂直,进而得出线线垂直。 (5)向量法:两直线的方向向量的数量积等于零。 (6)线面垂直的性质:线垂直于面,则线垂直于面内的任意一条直线。 例:已知正方体

ABCD ? A' B 'C ' D' ,求证: BD' ? AC

你有几种证明方法?

学生小组讨论(教师指导)
2.线面垂直 (1)定义:如果一条直线 l 和一个平面α 相交,并且和平面α 内的任意 一条直线都垂直,我们 .. 就说直线 l 和平面α 互相垂直 其中直线 l 叫做平面的垂线, 平面α 叫做直线 l 的垂面,直线与平面的交
王新敞
奎屯 新疆

点叫做垂足。直线 l 与平面α 垂直记作:l⊥α。 注意:任一条 直线并不 等同于无数条 直线; ... . ... (2)线面垂直的判定方法: ①判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平 .... 面。
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②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直。 ③若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。 (面面 垂直 ? 线面垂直) 以上内容的图形及符号表示见多媒体课件 ④向量法:直线的方向向量与平面的法向量为共线向量。 (3)线面垂直的性质: ①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。 ②性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

例:已知正方体 ABCD ? A B C 你有几种方法证明
' '

'

D ' ,求证: BD ' ? 平面 A'C ' D

学生小组讨论完成, (用几何画板展示) 3.面面垂直 (1)两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。 (2)两个平面垂直的判定方法: ①两平面垂直的判定定理: (线面垂直 ? 面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直。 ②定义法:即证两个相交平面所成的二面角为直二面角; ③向量法:两个平面的法向量互相垂直也即数量积等于零; (3)两平面垂直的性质 定理:若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。 (面面垂直 ? 线面垂直)
' ' ' ' ' 例:已知正方体 ABCD ? A B C D ,点 E 为 AA 的中点。求证:平面 BDE ? 平面 BDC '

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练习 :1、如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点,PA=AD=a. (1)求证:MN⊥平面 PCD; (2)求证:平面 PMC⊥平面 PCD.

2、如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2 BD ,M 是 EA 的中点, 求证: (1)DE =DA ; (2)平面 BDM ⊥平面 ECA ; (3)平面 DEA ⊥平面 ECA。

五 课堂小结:
①本节课主要复习了空间中三种垂直关系的定义、判定及性质。 ②运用三种垂直关系的定义、判定及性质解决空间中与垂直相关的问题。

六 课后作业
优化探究:P116

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