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2.2.3直线与平面平行的性质



1、理解掌握直线与平面平行的 性质定理;

2、掌握直线与平面平行的性质
定理的应用。

复习1:直线和平面的位置关系

1、直线和平面有哪几种位置关系?
平行、相交、直线在平面内 2、反映直线和平面三种位置关系的依据 是什么? 公共点的个数

?没有公共点:

/>平行

?仅有一个公共点:相交

?无数个公共点:直线在平面内

复习2:线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行。 a a ?? b?? a∥? b a∥ b

注明:

?

1、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线线平行,则线面平行。 3、定理告诉我们: 要证线面平行,需在平面内 找一条直线,使线线平行。

思考:如果一条直线与平面平行,那么
这条直线是否与这平面内的所有直线都 平行?
a c

?

b

那么直线a会与平面?内哪些线平行呢?
本节课研究的内容

思考: 教室内日光灯管所在直线与地
面平行,如何在地面上作一条直线与灯 管所在的直线平行?
怎样作平行 ? 线?

l

?

a

a

试用文字语言将上述原理表述成一个命题. 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直 线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行.

已知:直线a??? , a ? ? , ? ? ? ? b
证明: 因为a / /?

求证:a // b

所以a与? 没有公共点
又因为b在?内

?
a

? 又因为a与b都在平面?内

所以a与b没有公共点
且没有公共点 所以a / / b

b

知识探究(二):直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行,则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行。

a??? , a ? ?, ? ?? ?b

a // b

? a b

注意: 1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线面平行,则线线平行。

?

作用: 判定直线与直线平行的重要依据。

求证:b// ? 且 证明:过a作平面?, ? ? ? =c a // ? 性质定理 a ? ? ? a // c ?b // c ? ?? ? c a // b
判定定理 线面平行

且a//b, // ? , b ? ? , 已知:直线a、b,平面?, a

? b // ?
线线平行

c ??
b ??

?

a c

b

? 线面平行

推论:平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面,则另一条也平行于这个平面.

理论迁移
例1:有一块木料如图,已知棱BC平行于面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的 一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所 画的线和面AC有什么关系?
解:(1)过点P作EF∥B’C’, 分别交棱A’B’,C’D’于点E, F。连接BE,CF,则EF,BE, CF就是应画的线。 A’

D’ P

F

C’

E
D

B’
C B

A

例1: 有一块木料如图,已知棱BC平行于面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一 点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的 线和面AC有什么关系?

(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平 面A'C'交于B'C',所以BC∥B'C',由(1)知, EF∥B'C',所以,EF∥BC,因此,EF//BC, EF?平面AC,BC?平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。

探究: 变式:如果AD∥BC,BC∥面A′C′,那么,AD 和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关 系.为什么?
?
?

a

? b

c

练一练: 设平面α 、β 、γ ,α ∩β =a,β ∩γ =b, γ ∩α =c,且a//b. 求证:a∥b∥c.

例2:长方体ABCD-A1B1C1D1中,点P ? BB1 , PA ? BA1 ? M , PC ? BC1 ? N , 求证:MN//平面ABCD.
A1 D1 C1

B1 P M D N C

A

B

证明: 连结AC、A1C1

D1

C1

长方体中A1 A//C1C ? A1C1 // AC AC ? 面A1C1 A1C1 ? 面A1C1 ? AC / / 面A1C1 B
AC ? 面ACP
A1B ? PA ? M PC ? BC1 ? N ? AC // MN

A1

B1 P M D N C

A

B

? 面ACP ? 面AC1B ? MN 1

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

线//线

线//面

线//线

线//面

另证: (略写)
利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质
PM PB ?PBM∽ ?AA1 M ? ? MA AA1 PN PB ?PBN ∽?CC 1 N ? ? NC CC 1
A A1

D1

C1

B1 P M D N C

B

PM PN ? ? ? AC // MN MA NC

CC 1 ? AA1

MN ? 面ABCD AC ? 面ABCD

? MN // 面ABCD

例3:在空间四边形ABCD中,E,F,G, H分别为AC,BC,BD,AD上的点, 若四边形EFGH为平行四边形。 求证:AB∥平面EFGH。
A

H
E

B
F

G
C

D

课堂练习
1.以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面)

①若a∥b,b??, 则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??, 则a∥b
其中正确命题的个数是 ( ) A (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

2.判断下列命题是否正确?
(1)若直线a与平面?平行,则a与?内任何 ( ) 直线平行.
(
(

(2)若直线a、b都和平面?平行, 则a与b平行.
)
)

(3)若直线a和平面?, ?都平行, ?与?平行. 则

(4)若平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面,则另一条也平行于这个平面.
( )

3.已知:如图,AB//平面 ,AC//BD,且 AC、BD与 ?分别相交于点C, D. 求证:AC=BD
证明:

?

AC//BD ? AC与BD 确定一个平面AD AB//平面?
平面? ? 平面AD ? CD ?AB // CD ABCD为

AB ? 平面AD

AC // BD ?AC ? BD

?

平行四边形

?

4.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中 的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。

l

a

b β

α

5 . 一条直线和两个相交平面平行,求证:它和 这两个平面的交线平行。 已知直线a∥平面α,直线a∥ ? 平面β ,平面α 平面β =b, 求证a//b.
b a

b c a ? ? d ? ?

【总一总★成竹在胸】
1.直线与平面平行的性质定理 性质定理的运用. 2.判定定理与性质定理展示的数学思想方法: (1)判定定理. 线线平行 (2)性质定理. 线面平行 线面平行 线线平行

3.对直线与平面平行的性质的进一步探索.



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