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高一数学课后强化练习:2.1.4 第1课时 函数的奇偶性的定义(人教B版必修1)



第二章

2.1.4 第 1 课时

一、选择题 1.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(-3)=-2,则 f(3)+f(0)=( A .3 C.2 [答案] [解析] C ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, B.-3 D.7 )

∴f(0)=0,又 f(-3)=-f(3)=-2,∴f(3)=2,

∴f(3)+f(0)=2,故选 C. 2.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定经过原点;③偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是( A .1 C.3 [答案] [解析] A 偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误;奇函数的图象关于原点对称, B.2 D.4 )

但不一定经过原点,因此②不正确;若 y=f(x)既是奇函数又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,只 要定义域关于原点对称即可,故④错误,既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为 零,区别在定义域,选 A. 3.(2013~2014 学年度宝鸡中学高一上学期期中测试)若二次函数 f(x)=x2+(b-2)x 在区间[1-3a,2a]上是偶 函数,则 a,b 的值是( A.2,1 C.0,2 [答案] [解析] B 由题意,得 ) B.1,2 D.0,1

? ? ?1-3a+2a=0 ?a=1 ? ,∴? . ?b-2=0 ? ? ?b=2

4.(2014· 湖南理,3)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1) +g(1)=( A.-3 C.1 [答案] C ) B.-1 D.3

[解析]

∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,

∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,① 又∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,② 由①②得 f(x)=x2+1,g(x)=-x3, ∴f(1)=2,g(1)=-1,∴f(1)+g(1)=1. 5.(2014· 全国新课标Ⅰ理,3)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结 论中正确的是( ) B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 [答案] [解析] C 令 F(x)=f(x)|g(x)|,

则 F(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-F(x), ∴函数 f(x)|g(x)|是奇函数. 6.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则函数 f(x)在 R 上的解析式是( A.f(x)=-x(x-2) C.f(x)=|x|(x-2) [答案] [解析] D 解法一:设 x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x, B.f(x)=x(|x|-2) D.f(x)=|x|(|x|-2) )

∵y=f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x),即 f(x)=x2+2x(x<0).
2 ? ?x -2x?x≥0? ∴f(x)=? 2 , ?x +2x?x<0? ?

? ?x?x-2??x≥0? 即 f(x)=? , ?-x?-x-2??x<0? ?

∴f(x)=|x|(|x|-2). 解法二:只有 D 中的函数是 R 上的偶函数,故选 D. 二、填空题 1 7.(2013~2014 学年度天津市五区县高一上学期期中测试)已知 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x+ ,则 f(- x 1)=________. [答案] [解析] -2 1 ∵x>0 时,f(x)=x+ , x

∴f(1)=1+1=2, 又∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2.

8.(2012· 重庆文)若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=______. [答案] [解析] 4 本题考查二次函数、偶函数概念. a- 4 =0,即 a=4. 2

由 f(x)=x2+(a-4)x-4a 为偶函数知其对称轴 x=- 另外本题也可利用偶函数定义求解. 三、解答题

x +2x+3 ?x<0? ? ? ?x=0? 的奇偶性. 9.判断函数 f(x)=?2 2 ? ?-x +2x-3 ?x>0? [解析] 函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),

2

当 x>0 时,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x); 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-(x2+2x+3)=-f(x). 由于当 x=0 时,f(0)=2≠-f(0),因此尽管 x≠0 时 f(-x)=-f(x)成立,但是不符合函数奇偶性的定义.∴ 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

一、选择题 1.如右图是偶函数 y=f(x)的局部图象,根据图象所给信息,下列结论正确的是( )

A.f(-2)-f(6)=0 B.f(-2)-f(6)<0 C.f(-2)+f(6)<0 D.f(-2)-f(6)>0 [答案] [解析] B 由图象可知,f(2)<f(6),又∵f(x)为偶函数,∴f(-2)=f(2),∴f(-2)-f(6)<0. )

2.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若 x1<0 且 x1+x2>0,则( A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)<f(-x2) D.f(-x1)与 f(-x2)的大小不确定 [答案] [解析] A ∵x2>-x1>0,f(x)是 R 上的偶函数,

∴f(-x2)=f(x2).又 f(x)在(0,+∞)上是减函数,

∴f(-x2)=f(x2)<f(-x1). 3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且有 f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是( A.f(-1)<f(3) C.f(3)>f(2) [答案] [解析] A ∵f(x)为偶函数,∴f(-3)=f(3), B.f(0)<f(5) D.f(2)>f(0) )

f(-1)=f(1),又 f(3)>f(1), ∴f(-3)>f(1),f(3)>f(-1)都成立. 4.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) [答案] [解析] A 若 x2-x1>0,则 f(x2)-f(x1)<0, B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) f?x2?-f?x1? <0,则( x2-x1 )

即 f(x2)<f(x1), ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数, 又 f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2), ∵3>2>1,∴f(3)<f(2)<f(1), ∴f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 二、填空题
?2x-3 ?x>0? 5.如果 F(x)=? 是奇函数,则 f(x)=________. ?f?x? ?x<0?

[答案] [解析]

2x+3 设 x<0,则-x>0,

∴F(-x)=2(-x)-3,即 F(-x)=-2x-3, 又 F(x)为奇函数,∴F(-x)=-F(x), 即 F(x)=-F(-x)=2x+3,∴f(x)=2x+3. 6. 如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数, 且最小值为 5, 那么 f(x)在[-7, -3]上的最________值为________. [答案] [解析] 大 -5

由 f(x)在[3,7]上是增函数可知,f(x)在[3,7]上的最小值为 f(3)=5,∵奇函数在关于原点对称的区间上

具有相同的单调性, ∴f(x)在[-7,-3]上也是增函数, 又 f(x)为奇函数, ∴f(x)在[-7,-3]上的最大值为 f(-3)=-f(3)=-5. 三、解答题 7.判断函数 f(x)=x2-2|x|+1,x∈[-1,1]的奇偶性.

[解析]

函数的定义域为[-1,1],关于坐标原点对称.

又∵f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x), ∴f(x)是偶函数. 8.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=(x2+1)(x+1),求 f(x)、g(x). [解析] ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 在已知条件中,将 x 全部换成-x, 得 f(-x)+g(-x)=(x2+1)(-x+1), 即 f(x)-g(x)=(x2+1)(-x+1).
2 ? ?f?x?+g?x?=?x +1??x+1? 由? , 2 ? ?f?x?-g?x?=?x +1??-x+1?

得 f(x)=x2+1,g(x)=x(x2+1). 2 9.函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,函数的解析式为 f(x)= +1. x (1)用定义证明 f(x)在(0,+∞)上是减函数; (2)当 x<0 时,求函数 f(x)的解析式. [解析] 2 (1)设 0<x1<x2,由 x>0 时,f(x)= +1 x

2?x2-x1? 2 2 得:f(x1)-f(x2)=( +1)-( +1)= , x1 x2 x1x2 ∵0<x1<x2,∴x1x2>0,x2-x1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. (2)当 x<0 时,-x>0, 2 ∵x>0 时, f(x)= +1, x ∴f(-x)= 2 2 +1=- +1, x -x

又 f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x), 2 2 ∴-f(x)=- +1, f(x)= -1, x x 2 ∴x>0 时, f(x)= -1. x



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