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构造一元二次方程解竞赛题


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构造一元二次方程解竞赛题
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一元二次方程是初中数学的重要内容, 在数学竞赛中经常出现 $ 它是解决高次方程和其他方程的基础 $ 有些从表面上看不是一元二 次方程的问题, 通过变形等手段, 可以构造一元二次方程来解决 $ 下 面以竞赛题为例, 介绍构造一元二次方程的 %种方法 &

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例’ 值是 ( ) $ 若! ? 且有 (!)*) ""’!*+,"及 +" )*) ""’" *(,", 则 " "’,

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()""’年全国初中数学竞赛题) 解: (!)*) ""’!*+,"$ 因为 " ,"不是方程 +" *) ""’" *(,"的根,
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故可得 ( ? (

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由 (’) 、 ()) 和方程根的定义可知 !、 都是方程 (’) *) ""’’ *+," 的根,
!"#" $"$ %&&’ 年 (& 月号

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" , !#$%%"$&’()(*+%, " " 是方程的相异的实根 " " * (# ) # -选 " )

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由根与系数的关系得 ! ?

点评: 此类竞赛题往往是由已知条件并根据方程根的定义, 构造 出一元二次方程, 再利用根与系数的关系解之-

%&’()*+,例$
$ 已知 (" &$ ) (!&" ) ($ &!) , 且 !!%, 则 #

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( - "*** 年

全国初中数学联赛题) 解: 当 !%" #%时, "&$ /

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$ 当 !%" !%时, 由已知条件可变形为 ("%$ ) (!&" ) ($ &!) &’ #%0

故可以看作是关于 ( 的一元二次方(!&" ) (" &$ ) ($ &!) ( $. (. #% 的 判别式为 %-

1!&" ." &$ .$ &!#%, ,这个方程有一个根为";
(" &$ ) (!&" ) ($ &!) 又1 &’ #%,
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,方程的两根都为"由根与系数的关系得 "("# 即 $!#" .$ 0 ,

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&’(’ )’) !""# 年 $% 月号

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点评: 若由已知条件可得到形如 ! "#$"# %& 的形式, 则可构造出一 元二次方程, 再用方程根的定义和根与系数的关系解之 ’

!"#$#%&’(&)*
例! 已知实数 "、 !、 # 满足 "$!$# %", "!# %$’

(() 求 ", !, # 中的最大者的最小值; 求 )")*)! )*)# )的最小值 ’ (() ("&&!年全国初中数学竞赛题) 解: (() 不妨设 "是 "、 即 "!! , !、 # 中的最大者, "!# ’ 由题设知 "+&, 且 ! *# %"#", !# %

$ ’ " $ %& 的两 "

由根与系数的关系知 ! 、 ("#") # 是一元二次方程 %"# %* 实根 ,
" ("#") #$. -!%

$ 即 "!#$""*$"#(/% (""*$) ("#$) 故 "!$’ !&, !&, "

故 "、 "%$, !&# %#(满足题意, !、 # 中最大者的最小值为$’ (") 0"!# +&,

-"、 !、 # 为全大于&或一正二负 ’
若 "、 !、 # 均大于 &, () 由 (() 知 "、 这与 "$!$# %"矛盾; !、 # 中的最大者不小于$, 若 "、 不妨设 "+&, ") !、 # 为一正二负, ! 1&, # 1&, 则 )")*)! )*)# )%"’!’# %""#"’ 由 (() 知 "!$, 故 ""#"!/’ 当 "%$, 满足题设条件且使不等式成立 , ! %# %#(时,
!"#" $"$ %&&’ 年 (& 月号

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故 "!"#"" "#"# "的最小值为 $% 点评: 若由已知条件可得到形如根与系数的关系的形式, 则可构 造出一元二次方程, 再用判别式和已知条件解之%

%&’()*+,
例& 满足方程 $&#’%&#()&%’$ 的所有整数对 (% 、 $) ) ( % (**+ 年

江苏省初中数学竞赛题) 解: 确定原方程中的 % ’为主元, 则方程可看做是关于 %’ 的一元二
’ 次方程 ’ (%’) (%’) ,&$ #$&#()-%

.% 为实数,
’ ’ ’ (,&$ ) ($&#() ($’,() 即 ($’,() /!) ,&0’ ),1 !-, "-2

即 $&3(% /$’,()-, 当 $),(时, 代入原方程无解; 当 $)(时, 代入原方程解得 %)3(%故填 ((, (,(, () () % 请做下面 !道竞赛题: 则 (%实数’ 、 (满足(*’’#**’#()-, (’#**(#(*)-4且’(#(, ((***年全国初中数学联赛题) 那么 "!"#"" "#*# "的最小值是 ’%已知实数 !、 "、 # 满足!)")# )-, !"# )’, ( % (**1年黄冈市初中数学竞赛题)

’(#&’#( ) (

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!%已知 % 、 $ 是正整数,并且 %$)%)$)’!, %’$#%$’)(’-,则 %’$’)

%

(’--(全国初中数学联赛题) (提示:由已知可得 %$ , (%)$ )是方程 + ’,

’!+ #(’-)-的两实数根)

责任编辑 5 -./

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