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浙江省2014届理科数学专题复习试题选编13:导数计算、导数与单调性、导数在切线上的应用(教师版)


浙江省 2014 届理科数学专题复习试题选编 13:导数计算、导数与单调性、导数在切线上的应用
一、选择题 1 . (浙江省杭州二中 2013 届高三年级第五次月考理科数学试卷)已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足

f ( x) ? 2 xf ?(e) ? ln x ,则 f ?(e) ?
A.
【答案】C 2 . (浙江省五校 2013 届高三上学期第一次联考数学 (理) 试题) 已知 f ( x) ?

( C. ? e ?1 D. ? e



B. ?1

如果存在实数 t ,使 f ?(t ) ? 0 ,则 f ?(t ? 2) ? f ?( A.必为正数
【答案】

2t ? 1 ) 的值 3

1 3 x ? x 2 ? ax ? m ,其中 a ? 0 , 3
( )

B.必为负数 B.

C.必为非负

D.必为非正

? 3 . (浙江省湖州市 2013 年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ) 定义在 0 , 上的函数
f ? x ? , f ? ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ? x ? ? f ? ? x ? ? tan x 成立,则
A. 3 f ? ? 2 f ? 4 3 C. ( )

? 2?

? ? ? ? 2 f ?? ? ? f ?? ? 6 4

B. f ?1? ? 2 f ? sin1 6 D.

? ? 3 f ?? ? ? f ?? ? 6 3

【答案】D 4 . (浙江省宁波市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题) 设函数

f ( x)的导函数为 ?( x) ,对任意 f
( )

x ? R都有f ?( x) ? f ( x) 成立,则
A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)
【答案】C

B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确定

5 . (浙江省诸暨中学 2013 届高三上学期期中考试数学 (理) 试题) 设函数

f ( x) ? x n ? x ? 1(n ? N ? , n ? 2) .
( )

则 f (x) 在区间 ? A.不存在零点

?1 ? ,1? 内 ?2 ?

B.存在唯一的零点 xn ,且数列 x2 , x3 ,? , xn ? 单调递增 C.存在唯一的零点 xn ,且数列 x2 , x3 ,? , xn ? 单调递减
第 1 页,共 8 页

D.存在唯一的零点 xn ,且数列 x2 , x3 ,? , xn ? 非单调数列
【答案】B 6 . (浙江省海宁市 2013 届高三 2 月期初测试数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? a sin x ? x (a ? R),则下列错误 ..

的是 A.若 ?1 ? a ? 1 ,则 f ( x) 在 R 上单调递 减 B.若 f ( x) 在 R 上单调递减,则 ?1 ? a ? 1 C.若 a ? 1 ,则 f ( x) 在 R 上只有 1 个零点 D.若 f ( x) 在 R 上只有 1 个零点,则 a ? 1
【答案】D 7 ( . 【解析】 浙江省镇海中学 2013 届高三 5 月模拟数学 (理) 试题) 已知函数





f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ln x(a ? R ) ,
( )

则下列说法不正确的是 A.当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 有零点 B.若函数 y ? f ( x) 有零点,则 a ? 0

C.存在 a ? 0 ,函数 y ? f ( x) 有唯一的零点 D.若函数 y ? f ( x) 有唯一的零点,则 a ? 1
【答案】解法一:由

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ln x(a ? R ) 得

所以 g '( x) ?

? x ? 2 ln x ? 1 ,因 y ? ? x ? 2 ln x ? 1 在 (0, ??) 上递减且 x ? 1 时等于 0, x3

1 x ? ln x x ? ln x ,设 g ( x) ? , ? 2 2a x x2

所以 x ? (0,1), g ( x) 递增, x ? (1, ??), g ( x) 递减, 又 g (1) ? 1, x ? 0 ? 时,g ( x) ? -?,

x ? ??时, ( x) ? 0 .其图象如图所示. g
所以当 当

1 ? 0或2a ? 1 时有一个零点, 2a

1 1 ? (0,1) 时有两个零点. 所以当 a ? 0或a ? 时, 2a 2 1 函数有唯一零点, a ? 时,函数有两个零点, 2
则 A,C,D 正确, B 错误,故选 B.

y

1

o

1

x

第 2 页,共 8 页

解 法 二 : f '( x) ? 2 x ?

2a ? 2a, ( x ? 0). 当 a ? 0 时 , f '( x) ? 0 恒 成 立 . f ( x)递增 且 x

f (1) ? 1 ? 2a ? 0 , x ? 0?, f ( x) ? ??. 所以一定有唯一零点;当 a ? 0 时,无零点;

t2 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 必有一个根 t>0,即 t ? at ? a ? 0 ,则 a ? . t ?1
2

当 x ? (0, t ) 时, f ( x) 递减,当 x ? (t , ??) 时, f ( x) 递增.

f ( x) min ? f (t ) ? t 2 ? 2at ? 2a ln t ?

?t 3 ? t 2 ? 2t 2 ln t ?t 2 (2 ln t ? t ? 1) , ? t ?1 t ?1

令 f (t ) ? 0 ,即得 h(t ) ? 2 ln t ? t ? 1 ? 0 ,由于 h(t ) ? 2 ln t ? t ? 1 为增函数,仅当 t=1 时, h(t ) ? 0 ,此

1 . 即时,函数 f ( x) 有唯一零点 x ? t ? 1 , 2 1 所以当 a ? 0或a ? 时,函数 f ( x) 有唯一零点,则 A,C,D 正确, B 错误,故选 2
时a ? 0.

B.

8 . 浙江省十校 联合体 2013 届高三上 学期期初联考数 学(理)试 题) 已知函数 f ( x) 在 R 上满 足 (

f(x)=2 f(4-x)-2x +5x,则曲线 y ? f ( x) 在点(2,f(2) )处的切线方程是(
2

)





A.y=-x
【答案】A

B. y ? x

(C )y=-x +4

D.y=-2x+2

9 . (浙江省宁波市金兰合作组织 2013 届高三上学期期中联考数学(理)试题)设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上 ,点 2


Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为
A. 1 ? ln 2
【答案】B

( C. 1 ? ln 2 D. 2(1 ? ln 2)

B. 2(1 ? ln 2)

10. (浙江省杭州二中 2013 届高三 6 月适应性考试数学(理)试题)若曲线 y ? sin x, x ? ( ?? , ? ) 在点 P 处的

切线平行于曲线 y ?

x x ( ? 1) 在点 Q 处的切线,则直线 PQ 的斜率为 3
B.1 C.





A.

3 4

4 3

D.

2 2 3

第 II 卷(共 100 分) 【答案】C
二、填空题 11. (浙江省杭州市 2013 届高三上学期期中七校联考数学(理)试题)若函数 f(x)= | e ?
x

a ? 1 ? | 在 x ? ? ? ,1? x e ? 2 ?

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上增函数,则实数 a 的取值范围是__.
【答案】 ? ,

? 1 1? ? e e? ? ?

12. (浙江省重点中学 2013 届高三上学期期中联谊数学 (理) 试题) 已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1))

处的切线方程是 y ?
【答案】 3

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? _________ _; 2

13. (浙江省宁波市金兰合作组织 2013 届高三上学期期中联考数学(理)试题)曲线 y

? x 3 ? x ? 3 在点 ?1,3?

处的切线方程 为________.
【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 14. (浙江省黄岩中学 2013 年高三 5 月适应性考试数学(理)试卷 ) 设曲线 y

? x n ?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切

线在 y 轴上的截距为 y n ,则数列 {

1 } 的前 n 项和为__________. y n y n ?1

【答案】

n n ?1

15. (浙江省海宁市 2013 届高三 2 月期初测试数学(理)试题)平面直角坐标系中,过原点 O 的直线 l 与曲线

y ? e x ?1 交于不同的 A,B 两点,分别过点 A,B 作 y 轴的平行线,与曲线 y ? ln x 交于点 C,D,则直线 CD 的

斜率是____. 【答案】1.[来: ]
三、解答题 16. (2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题)已知函数

f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x.

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,设切点为 P(m, n) ,求实数 m 的值; (Ⅲ) 设 定 义 在 D 上 的 函 数 y ? g ( x) 在 点 P( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 为 l : y ? h( x),当 x ? x0 时 , 若

g ( x ) ? h( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? g ( x) 的“转点”.当 a ? 8 时,试问函数 y ? f ( x) x ? x0
是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由.

' 【答案】解:(I)当 a ? 1 时, f ?x ? ? 2 x ? 3 ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? ? , x x x

当0 ? x ? 当

1 ' 时, f ?x? ? 0 , 2

1 ? x ? 1 时 f ' ?x ? ? 0 , 2
第 4 页,共 8 页

当 x ? 1 时 f ' ?x ? ? 0 . 所以当 x ? 1 时, f ?x ? 取到极小值 ? 2 . (II) f ( x) ? 2 x ?

?

1 ( x ? 0) , x

所以切线的斜率 k ? 2m ? 1 ? 整理得 m ? ln m ? 1 ? 0 ,
2

1 m 2 ? m ? ln m ? m m

显然 m ? 1 是这个方程的解, 又因为 y ? x 2 ? ln x ? 1在 (0,??) 上是增函数,
2 所以方程 x ? ln x ? 1 ? 0 有唯一实数解,故 m ? 1 .

(III)当 a ? 8 时,函数 y ? f (x) 在其图象上一点 P?x0 , f ?x0 ?? 处的切线方程为

h? x ? ? ( 2 x 0 ?

8 2 ? 10)( x ? x0 ) ? x0 ? 10 xo ? 8 ln x0 , k

' ' ' 设 F ( x) ? f ( x) ? h( x) ,则 F ( x0 ) ? 0 , F ( x) ? f ( x) ? h ( x)

? (2 x ?

? 8 8 2 4? ? 10) ? (2 x0 ? ? 10) ? ( x ? x0 ).? x ? ? ? x x0 x x0 ? ? ?
? ? 4 x0 ? ? 上单调递减, ? ?

若 0 ? x0 ? 2 , F (x) 在 ? x 0 , ?

所以当 x ? ? x 0 , ?

? ?

4 x0

? F ( x) ? 时 F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,此时 ? 0; ? x ? x0 ? ? 4 ? , x 0 ? 上单调递减, ? ? x0 ?

若 x0 ? 2 时, F (x) 在 ? ?

所以当 x ? ? ?

? 4 ? , x0 ? 时, F ( x) ? F ?x0 ? ? 0 , ? ? x0 ?

此时

F ( x) ? 0, x ? x0

所以 y ? f (x) 在 (2,??) 上不存在“转点”. 若 x0 ? 2 时 F ( x ) ?
r

2 ( x ? 2) 2 ,即 F (x) 在 (0,??) 上是增函数, x

当 x ? x0 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,
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当 x ? x0 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 , 即点 P?x0 , f ?x0 ?? 为“转点”, 故函数 y ? f (x) 存在“转点”,且 2 是“转点”的横坐标.
17 . 浙 江 省 宁 波 市 十 校 2013 届 高 三 下 学 期 能 力 测 试 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 2, a ? R.
(1)当 a ? 0 时,试求函数 y ? f ( x) 的单调递减区间; (2)若 a ? 0 ,且曲线 y ? f ( x) 在点 A, B ( A, B 不重合)处切线的交点位于直线 x ? 2 上,求证: A, B 两 点的横坐标之和小于 4; (3) 当 a ? 0 时 , 如 果 对 于 任 意 x1 . x2 . x3 ? [0,1] , ( x1 , x2 , x3可以相等), 总 存 在 以

f ( x1 ) . f ( x2 ) . f ( x3 ) 为三边长的三角形,试求实数 a 的取值范围.

【答案】

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18. 浙江省宁波一中 2013 届高三 12 月月考数学 ( (理) 试题) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 ax ? bx(a ? 0) 2

(I)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (II)设函数 f (x) 的图象 C1 与函数 g (x) 的图象 C2 交于点 P . Q ,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线 分别交 C1 . C2 于点 M . N ,问是否存在点 R ,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行?若存在, 求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(I)依题意: h( x)

? ln x ? x 2 ? bx. ? h( x) 在(0,+ ? )上是增函数,

? h?( x) ?

1 ? 2 x ? b ? 0 对 x ∈(0,+ ? )恒成立, x
第 7 页,共 8 页

? b?

1 ? 2 x, x

? x ? 0 ,则

1 ? 2 x ? 2 2. x

? b 的取值范围是 (??, 2 2] .

(II)设点 P.Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), 且0 ? x1 ? x 2 . 则点 M.N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 . 2
1 2 | x1 ? x2 ? . x x? 2 x1 ? x 2
x ?x x? 1 2 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

?

a ( x1 ? x 2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 . 即

a ( x1 ? x2 ) 2 ? ? b. 则 x1 ? x2 2

2 2( x2 ? x1 ) a ( x2 ? x12 ) a 2 a ? ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x2 2 2 2

? y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 ? ln

x2 , x1
x2 2(u ? 1) , u ? 1, ? 1, 则 ln u ? 1? u x1

x2 ? 1) x2 2( x2 ? x1 ) x1 ? ln ? ? x x1 x1 ? x2 1? 2 x1 2(
T ( x) ? ln x ?
点 R 不存在.

设u ?

?x ? 1? ? 0 T (u ) ? T (1) ? 0 2( x ? 1) / 1 4 , T ( x) ? ? ? 2 1? x x (1 ? x) x(1 ? x) 2 ,
2

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