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第二章2.3-2.3.1平面向量基本定理



第二章

平面向量

2. 3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理

[ 学习目标 ] 1. 理解平面向量基本定理 ( 重点、难 点). 2.会用基底表示平面内任一向量(重点). 3.理解 两个非零向量的夹角与垂直的定义(重点).

[知识提炼· 梳理] 1.平面向量基本

定理
条件 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任意向量 a,有且只 有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底

基底

2.两个非零向量的夹角与垂直 → =a,OB → (1)夹角:已知两个非零向量 a 和 b,作OA =b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图所示). ①范围:向量 a 与 b 的夹角的 范围是 0°≤θ ≤180°. ②当 θ=0°时,a 与 b 同向; 当 θ=180°时,a 与 b 反向.

(2)垂直:如果 a 与 b 的夹角是 90°,则称 a 与 b 垂 直,记作 a⊥b. 温馨提示 引入夹角概念的目的是从数量上研究两 向量特别是不共线向量的关系.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√” ,错误的打“×”) (1)只有不共线的两个向量可以作为基底.( )

(2)平面内不共线的任意两个向量都可以作为此平面 内向量表示的一组基底.( )

(3)平面内的基底一旦确定,该平面的向量关于基底 的线性分解形式也是唯一确定的.( )

(4)若 e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,则 λ1e1 +λ2e2(λ1,λ2 为实数)可以表示该平面内所有向量.( 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ )

→ 与CD → 的夹角等于( 2.在正方形 ABCD 中,AC A.45° B.90° C.120°

)

D.135°

→ 平移到CE → ,则CE → 与CD → 的夹 解析:如图所示,将AC → 与CD → 的夹角,夹角为 135°. 角即为AC

答案:D

3.已知向量 a 与 b 是一组基底,实数 x,y 满足(3x -4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则 x-y=________. ? ? ?3x-4y=6, ?x=6, 解析:由原式得? 解得? ? ? ?2x-3y=3, ?y=3, 所以 x-y=3. 答案:3

4. 已知向量 a,b 的夹角为 60°,则向量-a 与 b 的 2 夹角为________,2a 与 b 的夹角为________. 3 解析:根据向量夹角定义作图如下,

图①

图②

则①向量-a 与 b 的夹角为 120°; 2 ②向量 2a 与 b 的夹角为 60°. 3 答案:120° 60°

5.请把正确的答案写在横线上. (1)在平面向量基本定理中,若 a=0,则 λ1=______, λ2=________. (2) 在 平 面 向 量 基 本 定 理 中 , 若 a ∥ e1 , 则 λ2 = ________;若 a∥e2,则 λ1=________. (3)同一个非零向量在不同________下的分解式是不 同的.

解析:(1)因为 a=0,所以 λ1e1+λ2e2=0,因为 0· e1 +0·e2=0,所以根据实数 λ1,λ2 相对于基底唯一性知 λ1 =λ2=0. (2)因为 a∥e1,且 a=λ1e1=λ1e1+λ2e2,所以根据实数 λ1,λ2 相对于基底唯一性知 λ1=λ,λ2=0. 同理当 a∥e2, 则 λ1=0.

(3)由平面向量基本定理可知:同一个非零向量在不 同的基底下的分解式是不同的. 答案:(1)0 0 (2)0 0 (3)基底

类型 1 平面向量基本定理(巧思妙解) [典例 1] 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,设对 → =a,BD → =b,试用基底 a,b 表示AB → ,BC →. 角线AC

[常规解答] 设 AC,BD 交于点 O, 1→ 1 → → 1→ 1 → → 则有AO=OC= AC= a,BO=OD= BD= b. 2 2 2 2 1 1 → → → → → 所以AB=AO+OB=AO-BO= a- b, 2 2 1 1 → → → BC=BO+OC= a+ b. 2 2

→ =x,BC → =y,则AD → =BC → =y, [巧妙解法] 设AB → +BC → =AC → , ?x+y=a, ?AB ? ? 又? 则? → -AB → =BD → , ?y-x=b, ? AD ? ? 1 1 1 1 所以 x= a- b,y= a+ b, 2 2 2 2 1 1 → 1 1 → 即AB= a- b,BC= a+ b. 2 2 2 2

归纳升华 常规解法通过观察图象,直接寻求向量之间的关系; →, → 表示 a, 巧妙解法则采用了方程思想, 即直接用AB BC b, →, → 看作是未知量, →, →, 然后将AB BC 利用方程思想解得AB BC → =x,BC → = y. 为使问题表达简单,采用了代换AB

[类题尝试] 已知 e1, e2 是平面内两个不共线的向量, a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用 a,b 表 示 c. [常规解答] 设 c=x a+y b, 则 7e1-4e2=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)= (3x-2y)e1+(-2x+y)e2.

? ?3x-2y=7, 由平面向量基本定理知? ? ?-2x+y=-4, ? ?x=1, 解得? 所以 c=a-2b. ? ?y=-2.

? ? ?a=3e1-2e2, ?e1=-a-2b, [巧妙解法] 由? 解得? ? ? ?b=-2e1+e2, ?e2=-2a-3b. 所以 c=7e1-4e2=7(-a-2b)-4(-2a-3b)= -7a-14b+8a+12b=a-2b.

类型 2 两个向量的夹角(互动探究) [典例 2] (1)已知向量 a,b,c 满足|a|=1,|b|=2,c =a+b,c⊥a,则 a,b 的夹角等于________. (2)若 a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为________.

→ =a,CA → =b,则 c=a+b=BA → (如图 解析: (1)作BC 所示), 则 a,b 夹角为 180°-∠C. 因为|a|=1,|b|=2,c⊥a, 所以∠C=60°, 所以 a,b 的夹角为 120°.

(2)由向量运算的几何意义知 a+b,a-b 是以 a、b 为邻边的平行四边形两条对角线. 如图所示,因为|a|=|b|=|a-b|, 所以∠BOA=60°. → =a+b,且在菱形 OACB 中,对角线 OC 又因为OC 平分∠BOA,

所以 a 与 a+b 的夹角是 30°. 答案:(1)120° (2)30°

[迁移探究] (变换条件)若题(1)的已知条件中的“|b| =2”改为“|b|= 2” ,其余条件都不变,则 a,b 的夹角 又如何求解呢? → =a,CA → =b,则 c=a+b=BA → (如图所示). 解:作BC

则 a,b 夹角为 180°-∠C. 因为|a|=1,|b|= 2,c⊥a, 所以∠C=45°, 所以 a,b 的夹角为 135°.

归纳升华 两个向量夹角的实质及求解的关键 1.实质:两个向量的夹角,实质上是从同一起点出 发的两个非零向量构成的角.

2.关键:求两个向量的夹角,关键是利用平移的方 法使两个向量的起点重合, 然后按照“一作二证三算”的 步骤,并结合平面几何知识求出两个向量的夹角.

类型 3 平面向量基本定理的综合应用 [典例 3] (1)设点 O 是面积为 4 的△ABC 内部一点, → +OB → +2OC → =0,则△AOC 的面积为( 且有OA A.2 B.1 1 C. 2 1 D. 3 )

(2)如图所示,在△AOB 中,点 P 在直线 AB 上,且 → =2tPA → +tOB → (t∈R), 满足OP →| |PA 求 的值. →| |PB

(1)解析:如图所示,以 OA,OB 为邻边作?OADB, → =OA → +OB → ,结合条件OA → +OB → +2OC → =0,知OD →= 则OD →. -2OC

→ =2OM →, 设 OD 交 AB 于点 M,则OD → =-OC → ,故 O 为 CM 的中点, 所以OM 1 1 1 所以 S△AOC= S△CAM= S△ABC= ×4=1. 2 4 4 答案:B

→ =OA → -OP → ,所以OP → =2t(OA → -OP → )+tOB →, (2)解:PA → =2tOA → +tOB →, 即(1+2t)OP 2t → t → → 得OP= OA+ OB. 1+2t 1 + 2t 而 P,A,B 三点共线,

→ =λAB → ,即OP → =(1-λ)OA →+ 所以存在实数 λ 使得AP →, λOB

2t t 所以 + =1,解得 t=1, 1+2t 1+2t → =2PA → +OB → ,得OP → -OB → =2PA →, 所以OP →| 1 | PA → =2PA → ,有 = . 则BP →| 2 |PB

归纳升华 用向量解决平面几何问题的一般步骤 1.选取不共线的两个平面向量作为基底. 2.将相关的向量用基底向量表示,将几何问题转化 为向量问题. 3.利用向量知识进行向量运算,得出向量问题的解.

4.再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.

[变式训练] 如图所示,在矩形 OACB 中,E 和 F 分别是边 AC 和 BC 上的点,满足 AC=3AE,BC=3BF, → =λOE → +μOF → ,其中 λ,μ∈R,求 λ,μ 的值. 若OC → =OA → +OB →, 解:在矩形 OACB 中,OC → =λOE → +μOF → =λ(OA → +AE → )+μ(OB → +BF → )= OC

?→ 1→? ?→ 1→? λ?OA+3OB?+μ?OB+3OA?= ? ? ? ?

3λ+μ → 3μ+λ → OA+ OB, 3 3 3λ+μ 3μ+λ 所以 =1, =1, 3 3 3 所以 λ=μ= . 4

1.平面向量基本定理 (1)基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向 量;②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是 这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的 条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底.

(3)准确理解平面向量基本定理: ①平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面 内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量 和的形式,且分解是唯一的; ②平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思 想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底, 将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.

2.两个向量的夹角 (1)向量夹角的几何表示. 依据向量夹角的定义,两个非零向量的夹角是将两 个向量的起点移到同一点,这样它们所成的角才是向量 的夹角. (2)注意事项: ①向量的夹角是针对非零向量定义的;

②向量的夹角与直线的夹角范围是不同的,它们分
? π? 别是[0,π]和?0,2?. ? ?



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