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2017届高考数学(理)一轮复习课件:第3章 三角函数、解三角形3-1



第三章

三角函数、解三角形

第 1讲

任意角、弧度制及任意角的三角函数

考纲展示 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度 的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义.

三年高考总结 从近三年高考情况来看,本课时在高考中一般不

直 接考查,常与三角恒等变形进行综合考查,但本讲 是学习后边内容的基础,是学好三角函数必须要掌 握的基本内容.

考点多维探究

考点 1 回扣教材 1.角的概念的推广

象限角及终边相同的角

(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
?按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k· 360° ,k ∈Z}.

2.必记结论 (1)象限角

(2)轴线角

小题快做 1.思考辨析 (1)小于 90° 的角是锐角.( × ) (2)钝角是第二象限的角.( √ ) (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( × )

2.下列与

9π 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 9 B.k· 360° + π(k∈Z) 4 D.kπ+ 5π (k∈Z) 4

)

A.2kπ+45° (k∈Z) C.k· 360° -315° (k∈Z)

解析 利用终边相同角的定义易知选 C.

π 3.[2015· 兰州模拟]下列各角与 终边相同的角是( 3 4 A. π 3 4 C.- π 3 5 B. π 3 5 D.- π 3

)

π 5π 解析 由 =2π- ,故选 D. 3 3

? θ? θ θ ? ? 4.设 θ 是第三象限角,且 cos2 =-cos ,则 是( 2 2 ? ?

)

A.第一象限角 C.第三象限角

B.第二象限角 D.第四象限角

解析 故选 B.

3π π θ 3π θ 由 θ 在第三象限,所以 2kπ+π<θ<2kπ+ (k∈Z),所以 kπ+ < <kπ+ (k∈Z).又 cos ≤0, 2 2 2 4 2

典例1 A.M=N C.N?M

? ? ? ? ? ? k k 180° +45° ,k∈Z ?,N=?x?x= · 180° +45° ,k∈Z ?,那么( (1)设集合 M=?x?x=2· 4 ? ? ? ? ? ?

)

B.M?N D.M∩N=?

(2)已知角 α 的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),则角 α 的集合为 {α|90° +n· 180° ≤α≤135° +n· 180° ,n∈Z} _____________________________________________ .

? ? ? k 180° +45° ,k∈Z ?={?,-45° 解析 (1)解法一:由于 M=?x?x=2· ,45° ,135° ,225° ,?}, ? ? ? ? ? ? k 180° +45° ,k∈Z ?={?,-45° N=?x?x=4· ,0° ,45° ,90° ,135° ,180° ,225° ,?},显然有 M?N. ? ? ?

k k 解法二: 由于 M 中, x= · 180° +45° = k· 90° +45° =45° · (2k+1)(k∈Z), 2k+1 是奇数; 而 N 中, x= · 180° 2 4 +45° = k· 45° +45° =(k+1)· 45° (k∈Z),k+1 是整数,因此必有 M?N. (2)在 0° ~360° 范围内,终边落在阴影内的角为 90° ≤α≤135° 或 270° ≤α≤315° .所以终边落在阴影所表 示的范围内的角 α 的集合为{α|90° + k· 360° ≤α≤135° +k· 360° ,k∈Z}∪{α|270° + k· 360° ≤α≤315° +k· 360° , k∈Z}={α|90° + 2 k· 180° ≤α≤135° +2k· 180° , k∈Z}∪{α|90° +(2k+1)· 180° ≤α≤135° +(2k+1)· 180° , k∈Z} ={α|90° + n· 180° ≤α≤135° + n· 180° ,n∈Z}.

象限角和终边相同角的判断及表示方法 θ (1)已知 θ 所在的象限, 求 或 nθ(n∈N*)所在的象限的方法是: 将 θ 的范围用不等式(含有 n θ k)表示,然后两边同除以 n 或乘以 n,再对 k 进行讨论,得到 或 nθ(n∈N*)所在的象限. n (2)象限角的判定有两种方法:一是根据图象,其依据是终边相同的角的思想;二是先将 此角化为 k· 360° +α(0° ≤α<360° ,k∈Z)的形式,即找出与此角终边相同的角 α,再由角 α 终边所在的象限来判断此角是第几象限角. (3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号,需确定各三角函数的符号,然后依据 “同号得正,异号得负”求解.

【跟踪训练】 1.若 sinα· tanα<0,且 A.第一象限角 C.第三象限角 cosα <0,则角 α 是( tanα B.第二象限角 D.第四象限角 )

解析 由 sinα· tanα<0 可知 sinα,tanα 异号,从而 α 为第二或第三象限角;由 异号,从而 α 为第三或第四象限角.综上,α 为第三象限角.

cosα <0,可知 cosα,tanα tanα

2.若 α=k· 360° +θ,β=m· 360° -θ(k,m∈Z),则角 α 与 β 的终边的位置关系是( A.重合 C.关于 x 轴对称 B.关于原点对称 D.关于 y 轴对称

)

解析 轴对称.

本题属于选择题,我们不妨令 k=m=0,此时则很容易得出 α=θ,β=-θ,且这两个角关于 x

考点多维探究

考点 2 回扣教材 弧度制的定义和公式

弧度制及扇形面积公式的应用

(1)定义:把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.弧度记作 rad. (2)公式 l 角 α 的弧度数公式 |α|= (弧长用 l 表示) r 角度与弧度的换算 ①1° = 弧长公式 扇形面积公式
?180? π rad,②1 rad=? π ?° 180 ? ? 弧长 l= |α|r

1 1 S= lr= |α|r2 2 2

小题快做 1.思考辨析 (1)1 弧度的角就是长度为 1 的弧所对的圆心角.( × ) (2)终边落在 x 轴非正半轴上的角可表示为 α=2kπ+π(k∈Z).( √ ) (3)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位.( √ )

2.[教材改编]单位圆中,200° 的圆心角所对的弧长为( A.10π 9 C. π 10 B.9π 10 D. π 9

)

200° 10 解析 由条件易知 r=1,弧长 l=α· r= ×π×1= π,故选 D. 180° 9

3.[2015· 太原模拟]已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长是( A.2 C. 2 sin1 B.sin2 D.2sin1

)

1 2 解析 设圆的半径为 r,则 r= ,所以由公式 l=|α|· r= ,故选 C. sin1 sin1

2 1 4.已知扇形的周长为 4 cm,当它的半径为________ cm 和圆心角为________ 弧度时,扇形面积最大, 1 这个最大面积是________ cm2.

解析

1 1 设此扇形的半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=4,∴l=4-2r,S 扇形= lr= (4-2r)· r=-(r-1)2+1, 2 2

l 4- 2 ∴当 r=1 时,(S 扇形)max=1,此时 α= = =2. r 1

典例2

已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R.

(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;

解 (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则 π π 10π α=60° = ,R=10,l= ×10= (cm), 3 3 3 1 10π 1 π S 弓=S 扇-S△= × ×10- ×102×sin 2 3 2 3
?π 50 50 3 3? = π- =50? - ?(cm2). 3 2 ?3 2 ?

(2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?
解 C (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+ α

1 2 1 ? C ?2 ? ? ∴S 扇= α· R = α· 2 2 ?2+α? C2 1 C2 1 C2 = α· = · ≤ . 2 4+4α+α2 2 4 16 4+α+ α C2 当且仅当 α =4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16
2

应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到 解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

【跟踪训练】 3.已知扇形的周长是 6,面积是 2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 C.1 或 4
解析

)

B.4 D .2 或 4

设此扇形的半径为 r,弧长为 l,

? ?2r+l=6, 则? 1 ? ?2rl=2,
?r=1, ?r=2, ? 解得 或? ?l=4 ?l=2.

l 4 l 2 从而 α= = =4 或 α= = =1. r 1 r 2 故选 C.

4.[2016· 大连模拟]一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R,则这个扇形所含弓形的面积是( R2 A. 2 1 C. R2(2-sin1· cos1) 2
解析

)

1 B. R2sin1· cos1 2 D.R2(1-sin1· cos1)

设圆心角为 θ,由题知 2R+R· θ=4R,得 θ=2,

? ? 1 1 1 1 ?1- sin2?=R2(1-sin1· 所以 S 弓=S 扇-S 三角形= · 2 R· R- R2· sin2=R2- R2· sin2=R2· cos1).故选 D. 2 2 2 2 ? ?

考点多维探究

考点 3 回扣教材 1.任意角的三角函数

三角函数定义的应用

y ,cosα= x ,tanα (1) 定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x , y) ,那么 sin α = y (x≠0) =x .
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在 x 轴上,余弦线的起点 正弦线,余弦线和正切线 都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角 α 的 .

2.必记结论

y 设 P(x,y)是角 α 终边上异于顶点的任一点,其到原点 O 的距离为 r,则 sinα= r y = x(x≠0) .
(2)三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

(1)任意角三角函数的定义

x ,cosα= r ,tanα

小题快做 1.思考辨析 (1)终边在 y 轴上的角的正切值不存在.( √ ) (2)若 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在第二象限.( √ )
? π? (3)若 α∈?0,2?,则 tanα>α>sinα.( √ ) ? ?

2.[2015· 石家庄模拟]已知角 α 的终边在直线 y=-x 上,且 cosα<0,则 tanα=( A. 2 2 B.- 2 2

)

C.1

D.-1

解析 由角 α 的终边在 y=-x 上,且 cosα<0 知角 α 在第二象限,故选 D.

3.sin2· cos3· tan4 的值( A.小于 0 C.等于 0

)

B.大于 0 D.不存在

解析 ∵sin2>0,cos3<0,tan4>0,∴sin2· cos3· tan4<0.故选 A.

4.[2016· 大连模拟]已知 θ 是第四象限角,则 sin(sinθ)( A.大于 0 C.小于 0 B.大于等于 0 D.小于等于 0

)

解析

∵θ 是第四象限角,∴sinθ∈(-1,0).

令 sinθ=α,当-1<α<0 时,sinα<0.故 sin(sinθ)<0.

三角函数的定义是高考中的一个常考内容,多以选择题、填空题的形式出现,难度较小,属中低档题 . 考查利用三角函数的定义求三角函数值或已知角求点的坐标等问题,常有以下几种命题角度 .

命题角度 1 典例3
? ? π? 上,则 sin?2θ+4?的值为( ?

利用三角函数的定义求三角函数值

[2015· 广州模拟]已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 y=2x ) B. 7 2 10

A.-

7 2 10

2 C.- 10

2 D. 10

5 2tanθ 4 解析 由三角函数的定义得 tanθ=2,cosθ=± ,所以 tan2θ= =- ,cos2θ=2cos2θ-1=- 2 5 3 1-tan θ
? π? 3 4 2 2 ?4 3 ? 2 ? ? ? ? ,所以 sin2θ=cos2θtan2θ= ,所以 sin 2θ+4 = (sin2θ+cos2θ)= × 5-5 = ,故选 D. 5 5 2 ? ? ? 2 ? 10

命题角度 2 典例4

利用三角函数线解三角不等式

? π π? ? ?,k∈Z k π - , k π + 2 3 3 ? ? [2015· 合肥调研]函数 y=lg (3-4sin x)的定义域为____________________________ .

解析

3 3 3 ∵3-4sin2x>0,∴sin2x< ,∴- <sinx< . 4 2 2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),

? π π? ? ∴函数 y=lg (3-4sin x)的定义域为 kπ-3,kπ+3?,(k∈Z). ? ?
2

命题角度 3 典例5 6 - ________ . 4

利用三角函数的定义求点的坐标 2 m,则 cosθ 的值为 4

[2015· 广州模拟]若角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sinθ=

解析

点 P(- 3,m)是角 θ 终边上一点,由三角函数定义可知 sinθ=

m 2 . 又 sin θ = m, 4 3 + m2

m 2 ∴ = m. 3 + m2 4 又 m≠0,∴m2=5, - 3 6 ∴cosθ= =- . 4 3 + m2

命题角度 4 典例6

对三角函数值的符号或角的位置的判断 )

[2015· 大连模拟]点 A(sin2015° ,cos2015° )在直角坐标平面上位于( B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

解析 象限.

由 2015° =360° ×5+215° ,知 2015° 是第三象限角,∴sin2015° <0,cos2015°<0,则点 P 在第三

三角函数定义问题的常见类型及解题策略 (1)利用三角函数定义求角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点 的点的横坐标 x、纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上, 此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同). (2)利用三角函数线解三角不等式的步骤: ①确定区域的边界; ②确定区域; ③写出解集. (3)已知角 α 的终边所在的直线方程或角 α 的大小, 根据三角函数的定义可求角 α 终边上 某特定点的坐标. (4)三角函数值的符号及角的位置的判断.已知一角的三角函数值 (sinα,cosα,tanα)中任 意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位 置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.

【跟踪训练】 5.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( A.- C. 3 5 4 5 B.- D. 4 5 3 5 )

解析

解法一:设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点,则 cosθ= 5 5 ;当 t<0 时,cosθ=- . 5 5

t . 5|t|

当 t>0 时,cosθ=
2

2 3 所以 cos2θ=2cos θ-1= -1=- . 5 5 解法二:直线 y=2x 的斜率 k=tanθ=2, cos2θ-sin2θ cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 1-4 3 所以 cos2θ=cos θ-sin θ= = 2 = = =- . 1 5 cos θ+sin2θ 1+tan2θ 1+4
2 2

6.[2016· 南昌质检]已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点, 且 sinθ=- 2 5 -8 ,则 y=________. 5

解析

根据正弦值为负数且不为-1, 可判断出角 θ 的终边在第三或第四象限. 又角 θ 终边上一点的横

坐标为正,断定该角为第四象限角,∴y<0. y 2 5 ∵sinθ= =- ,∴y=-8. 5 16+y2

[方法与技巧] 1. 任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关, 而与角 α 终边上点 P 的位置无关. 若角 α 已经给出, 则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是确定的.如有可能则取终边与单位圆的交 点.其中|OP| =r 一定是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

[失误与防范] 1.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、 第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可 混用. 3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况. 4.三角函数线是有向线段,在应用时要注意这一点.

微专题——创新题型

以三角函数的定义为载体的创新问题 三角函数的定义是考查三角函数的重要工具,在高考命题中很少单独考查,但经常结合三角函数的基 础知识、三角恒等变换和向量等知识进行综合命题考查,涉及的知识点较多,且难度一般较大.

1.[2014· 课标全国卷Ⅰ]如图所示,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点.角 x 的始边为 射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函 数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

解析

以 O 为坐标原点,射线 OA 为 x 轴的正方向,建立坐标系.

1 则 P(cosx,sinx),M(cosx,0),故 M 到直线 OP 的距离为 f(x)=|sinx· cosx|= |sin2x|,x∈[0,π],故选 2 B.

2. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 一单位圆的圆心的初始位置在(0,1), 此时圆上一点 P 的位置在(0,0), → (2-sin2,1-cos2) 圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为____________________ .

解析

如图,连接 AP,分别过 P、A 作 PC、AB 垂直 x 轴于 C、B 点,过 A 作 AD⊥PC 于 D 点.

︵ 由题意知BP的长为 2. ∵圆的半径为 1, π ∴∠BAP=2,故∠DAP=2- . 2
? π? ∴DP=AP· sin?2-2?=-cos2, ? ? ? π? ∴PC=1-cos2,DA=APcos?2-2?=sin2, ? ?

∴OC=2-sin2. → 故OP=(2-sin2,1-cos2).

温馨提醒

以三角函数定义为载体的创新题型在求解时把待求问题和已知条件联系起来,分析、寻找

它们之间的联系,寻求解决问题的方案.解答第 1 题时易出现两个问题:一是不会应用三角函数的定义; 二是求点 M 到直线 OP 的距离时忘记带绝对值符号.

课后课时作业



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