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参 数 方 程



参 数 方 程
1、参数方程的概念

问题: 问题:   一个质点P开始时位于x轴正半轴的点P0处, 按逆时针方向绕原点O以匀角速度ω作圆周运动, 问题: 问题:其中 OP = r, ( )求旋转角θ与时刻t的函数关系式; θ =ω 1 t (2)求此质点P的坐标x, y分别与旋转角θ的函数关系;
(3)求此质点P的坐标x, y分别与时刻t的函数关系。 y ?x = r ? cosθ ?x = r ? cosωt ? P( x, y) ? ?y = r ?sin θ y = r ? sin ωt ? r θ θ ∈[0,2π) ω

O

P0

当 θ 确定时,点 P 的位置是否唯一确定?

x

问题: 问题:

 

问题: 问题:
θ = θ 0与 θ = θ 0 + 2 k π , k ∈ Z 时,点 P 的位置是否相同? 

1、参数方程的概念: 、参数方程的概念: 一般地,在平面直角坐标系中, 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任 意一点的坐标x 都是某个变数 都是某个变数t的函数 意一点的坐标 ,y都是某个变数 的函数
? x = f (t ), ? (1) ( t ∈D) ? y = g (t ).

并且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所 并且对于 的每一个允许值,由方程组( 的每一个允许值 确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(1) 都在这条曲线上, 确定的点 都在这条曲线上 那么方程( 就叫做这条曲线的参数方程 参数方程, 就叫做这条曲线的参数方程, 参数。 联系变数x,y的变数 叫做参变数,简称参数 的变数t叫做参变数 联系变数 的变数 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言, 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标 间关系的方程叫做普通方程 普通方程。 间关系的方程叫做普通方程。

1、参数方程的概念: 、参数方程的概念:
(1)

求曲线的参数方程时, 关键就是选择合适的参 数t , 必须写出参数的取值范 围。

(2)选取不同的参数,曲线的参数方程也会不同。 选取不同的参数,曲线的参数方程也会不同。 选取不同的参数

如何求曲线参数方程: 如何求曲线参数方程: (1)选定的参数可以确定曲线上一切点的位置; )选定的参数可以确定曲线上一切点的位置; 的相互关系比较明显, (2)选定的参数 与x、y的相互关系比较明显, )选定的参数t与 的相互关系比较明显 容易列出x 与 的关系 的关系。 容易列出 、y与t的关系。

动点M作等速直线运动,它在 轴和 轴和y轴方 动点M作等速直线运动,它在x轴和 轴方 向的速度分别为5 12, 向的速度分别为5和12,运动开始时位于 ),求点 的轨迹参数方程。 求点M 点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。 设动点M 运动时间为t,依题意, 解:设动点 ( x, y ) 运动时间为 ,依题意,得

? x = 1 + 5t ? ? y = 2 + 12 t

t≥0

所以, 所以,点M的轨迹参数方程为 的轨迹参数方程为 ? x = 1 + 5t t≥0 ? ? y = 2 + 12 t

已知曲线C的参数方程是 例1: 已知曲线 的参数方程是

? x = 3t , (t为参数)t ∈ R ? 2 ? y = 2t + 1.
(1)判断点 1(0,1), 2(5,4)与曲线 ),M )判断点M , ), , )与曲线C 的位置关系; 的位置关系; 在曲线C上 的值。 (2)已知点 3(6,a)在曲线 上,求a的值。 )已知点M ,

? x =1+t2 ,(t为参数,t ∈R 与x轴的交点坐标是 B ) ) 轴的交点坐标是 1、曲线? 轴的交点坐标是( 、 ?y = 4t ?3
25 25 ( , 0); A、( ,4); 、 16 、(1, ); );B、 C、 (1, ?3); D、 (± 16 , 0); 、( 、 、

课堂练习

? x = sinθ 2、方程 ? ,(θ为参 θ ∈R) 数, 、 所表示的曲线上一点的坐标是 ?y = cosθ
( D )

1 2 C、( 1 , 1 ); D、( ,0) A、( ,7); 、 , ); 、 、(2, ); ( );B、 、(1, ) 、( 、( 2 2 3 3

例2、已知曲线C的参数方程是 已知曲线C
? x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R, t ∈ R ) ? 2 ? y = at .

点M(5,4)在该曲线上,求常数a; M(5,4)在该曲线上,求常数 ; 在该曲线上 由题意可知: 解: 由题意可知: at2=4 a=1 解得: 解得: ∴ a=1 t=2 1+2t=5

参 数 方 程
2、参数方程与普通方程的互化

新课讲解
? x = cos θ + 3, 由参数方程 ? (θ 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y = sin θ 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。

由参数方程得: ?cosθ = x ? 3 2 2 2 2 ,sin θ + cos θ = ( x ? 3) + y = 1 ? ?sinθ = y 所以点M的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明 把下列参数方程化为普通方程, 它们各表示什么曲线? 它们各表示什么曲线?
? x= t + 1 ? x = 3t ? 5, ? ( t为 参 数 ) (1) ? (t为参数) ( 2 )? ? y = ?2t + 1 ? y = 1? 2 t ?

解: 应用加减消元法,得2x + 3 y = ?7,因此,所求 (1) 的普通方程是
解 : )因 为 x = (2

2x+3y+7=0
t +1≥1

所 以 普 通 方 程 是 y = ? 2 x + ( x ≥ 1) 3 这 是 以 (1, 为 端 点 的 一 条 射 线 ( 包 括 端 点 ) 1)

参数方程化普通方程总结: 参数方程化普通方程总结

(1)消参数。 消参数。 消参数

(2)求范围。 求范围。 求范围

(3)必要时指出曲线的类型和范围。 必要时指出曲线的类型和范围。 必要时指出曲线的类型和范围

例2:求下列参数方程的普通方程

? x = 2t + 3 (1) ? ) 2 ? t ?y = ?3 ? 2
3 ? x= 2 (2) ? ) ? 1+ t ? ? y = 3t 2 ? 1+ t ?

(3) )

? 1? t ? x = 1+ t2 ? ? ? y = 2t 2 ? 1+ t ?
2

1 ? x= (4) ? ) ? t ? ? y = 1 t 2 ?1 ? t ?

将下列参数方程化成普通方程。 例3:将下列参数方程化成普通方程。

(1) )

? x = 5sin θ ? ? y = 4 cos θ (0 ≤ θ < 2π )

? x = a sec θ (2) ? ) ? y = b tan θ
(?

π
2

<θ <

π
2

, a, b为正常数)

(3)

? x = 2 cos θ ? ? y = cos θ ? 1

(4)

? x = sin 2θ ? ? y = sin θ + cos θ

课堂练习: 课堂练习:
1、若曲线{ 轨迹是( x = 1 + cos 2θ y = sin θ
2

(θ为参数), 则点( x, y )的

D )

A、直线x + 2 y ? 2 = 0, B、以(2,0)为端点的射线 C、圆( x ? 1) 2 + y 2 = 1, D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段

x = 1+ t 2、 若已知直线的参数方程为{ (t为参数)则它 y = 1? t x = 2 cos α 2 与曲线{ (α为参数)的交点有 _____ 个. y = 2 sin α

小结: 小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参 过程常见方法有三种: 过程常见方法有三种: 1.代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代 1.代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代 代入法 t, 入消去参数 2.三角法 三角法: 2.三角法:利用三角恒等式消去参数 3.整体消元法 根据参数方程本身的结构特征, 整体消元法: 3.整体消元法:根据参数方程本身的结构特征, 从整体上消去。 从整体上消去。 化参数方程为普通方程为F( )=0 )=0: 化参数方程为普通方程为 (x,y)=0:在消参过 程中注意变量 变量x 取值范围的一致性 取值范围的一致性, 程中注意变量 、y取值范围的一致性,必须 根据参数的取值范围,确定f(t)和 值域得 值域得x 根据参数的取值范围,确定 和g(t)值域得 、 y的取值范围。 的取值范围。 的取值范围

普通方程化为参数方程需要引入参数 直线L 的普通方程是2x如:①直线 的普通方程是 -y+2=0,可 , 以化为参数方程

? x = t, 为参数) (t为参数) 为参数 ? ? y = 2t + 2.

例4、选择适当的参数,将圆的方程 (x-a) + ( y ? b) = r 化成参数方程.
2 2 2
P

y

b

A

α

B

a
O

x

(1)设x=3cos?,?为参数; Q cos ? + sin ? = 1

x y 例5 求 椭 圆 + = 1的 参 数 方 程 。 9 4 2 2
x y 令 = cos ? , = sin ? 3 2 ? x = 3 cos ? ?为 参 数 ? ? y = 2 sin ?

2

2

练习: 练习: 2 2 2 3、由方程x + y ? 4tx ? 2ty + 5t ? 4 = 0(t为 参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 ( D ) A、一个定点 、 C、一条抛物线 、
? x = sin t B、 ? y = sin 2 t ?

B、一个椭圆 、 D、一条直线 、
?x = t D、 ? y = t2 ?

4、曲线y=x2的一种参数方程是( D). 曲线y=x 的一种参数方程是(
?x = t2 ? A、 ? 4 ?y = t ? ? ?x = t C、 ? ?y = t ?

练习5: 练习5:
θ θ ? ? x =| cos 2 + sin 2 |, ? (0 < θ < 2π ) 表示 ( ) ? B 1 ? y = (1 + sin θ ) ? ? 2 1
2

A)双曲线的一支,这支过点(1, (A)双曲线的一支,这支过点(1, )

(C)双曲线的一支,这支过点(–1, ); )双曲线的一支,这支过点( , 2 1 (D)抛物线的一部分,这部分过(–1, ) )抛物线的一部分,这部分过( , 2

1 (B)抛物线的一部分,这部分过( 1, ); )抛物线的一部分,这部分过( , 1 2

参 数 方 程
3、圆的参数方程

轴正半轴的交点,  圆  x 2 + y 2 = r 2 , P0为圆与 x轴正半轴的交点, 设 θ = ∠ P0 OP  ( P0 逆时针运动到 P点)。
y

P( x, y)

θ
O

P0

x

? x = r cos θ ? ? y = r sin θ
( 0 ≤ θ < 2π )

问题: 问题:
确定时, 的位置是否唯一确定? 当 θ 确定时,点 P 的位置是否唯一确定?  

圆的参数方程: 圆的参数方程:
y

P( x, y)

θ
O

P0

x

? x = r cos θ ? ? y = r sin θ

( 0 ≤ θ < 2π )

圆的参数方程: 圆的参数方程:
1、 圆心: ( 0,0) ,半径: r 、 圆心: 半径:

普通方程: 普通方程: x 2 + y 2 = r 2
? x = r cos θ 参数方程: 参数方程:? ? y = r sin θ
2、 圆心: 、 圆心:

(0 ≤ θ < 2π )

( a , b ),半径: r 半径:

普通方程: 普通方程:( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 = r 2
? x = a + r ? cos θ   (0 参数方程 : ?     ≤ θ < 2π ) ? y = b + r ? sin θ  

课堂练习: 课堂练习: 1、 把圆 、

x 2 + y 2 = 25

转化为参数方程。 转化为参数方程。

2 、把

? x = 4 cos θ 转化为普通方程。 ( 0 ≤ θ < 2π ) 转化为普通方程。 ? ? y = 4 sin θ
? x = 3 + 2 cos θ ? ? y = ?2 + 2 sin θ
2

3 、把方程 转化为普通方程。 转化为普通方程。
2

(0 ≤ θ < 2π )

4、把圆 ( x + 2) + ( y ? 5) = 16 转化为参数方程。 、 转化为参数方程。

例1:已知圆O的参数方程是: :已知圆O的参数方程是:

? x = 5 cos θ ( 0 ≤ θ < 2π ) ? ? y = 5 sin θ
所对应的圆O 设旋转角 θ = θ i ,所对应的圆O上点是 Pi ( x i , y i ) 。 π 5π θ1 = (1)已知 1) ,2= 。求点 P1 与点 P2 的 θ 6 3 坐标。 坐标。 5 5 P3 的坐标是 ( , 3 ) ,求 θ 3 的值。 (2)已知点 ) 的值。 2 2

的参数方程是: 例2:已知圆 的参数方程是: :已知圆O的参数方程是
? x = 3 + 2 cos θ ? ? y = ?1 + 2 sin θ
5π θ1 = 6

( 0 ≤ θ < 2π )

所对应的圆O上点是 设旋转角 θ = θ i ,所对应的圆 上点是 Pi ( xi , yi ) 。 (1)已知 ) 的坐标。 。求点 P1 的坐标。 (2)已知点 P2 的坐标是 ( 2 + 3, 2 ? 1) , ) 的值。 求 θ 2 的值。

已知点P是圆 是圆x 例3. 如图,已知点 是圆 2+y2=16上的一个动点, 上的一个动点 当点P在圆 点A是x轴上的定点,坐标为 是 轴上的定点 坐标为(12,0).当点 在圆 线段PA中点 中点M的轨迹是什么 上运动时,线段 中点 的轨迹是什么? 解:设M的坐标为 的坐标为(x,y), 圆 的坐标为(x,y),圆x2+y2=16 设 的坐标为 的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ 可设点P坐标为 坐标为(4cosθ,4sinθ) ∴可设点 坐标为
y P M

O

A x

x =6+2cosθ 由中点公式得:点M的轨迹方程为 的轨迹方程为 y =2sinθ 的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。 为圆心、 为半径的圆 为半径的圆。 ∴点M的轨迹是以 的轨迹是以 为圆心

已知点P是圆 是圆x 例3. 如图,已知点 是圆 2+y2=16上的一个动点, 上的一个动点 当点P在圆 点A是x轴上的定点,坐标为 是 轴上的定点 坐标为(12,0).当点 在圆 线段PA中点 中点M的轨迹是什么 上运动时,线段 中点 的轨迹是什么? 的坐标为(x,y), 解:设M的坐标为 设 的坐标为 P M 由中点坐标公式得: 由中点坐标公式得: 的坐标为(2x点P的坐标为 -12,2y) 的坐标为 O A x 在圆x ∵点P在圆 2+y2=16上 在圆 上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16 的轨迹方程为(x即 M的轨迹方程为 -6)2+y2=4 的轨迹方程为 的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。 为圆心、 为半径的圆 为半径的圆。 ∴点M的轨迹是以 的轨迹是以 为圆心
y

例4、已知点 (x,y)是圆 2+y2- 6x- 4y+12=0上动 、已知点P( )是圆x 上动 的最值, 点,求(1) x2+y2 的最值, ) 的最值, (2)x+y的最值, ) 的最值 到直线x+y- 1=0的距离 的最值。 的距离d的最值 (3)P到直线 ) 到直线 的距离 的最值。
解:圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即(x- 3)2+(y- 2)2=1, 即 ) ( ) , 用参数方程表示为

?x = 3 + cosθ ? ? y = 2 + sinθ
由于点P在圆上,所以可设 ( 由于点 在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ), 在圆上 , ),

参 数 方 程
4、椭圆的参数方程

例1、如下图,以原点为圆心,分别以 ,b(a>b>0) 、如下图,以原点为圆心,分别以a, ( > > ) 为半径作两个圆, 是大圆半径OA与小圆的交点,过 与小圆的交点, 为半径作两个圆,点B是大圆半径 是大圆半径 与小圆的交点 点A作AN⊥ox,垂足为 ,过点 作BM⊥AN,垂足为 , 作 ⊥ ,垂足为N,过点B作 ⊥ ,垂足为M, 求当半径OA绕点 旋转时点 的轨迹参数方程 绕点O旋转时点 的轨迹参数方程. 求当半径 绕点 旋转时点M的轨迹参数方程 的横坐标与点A的横坐标相同 分析: 的横坐标与点 的横坐标相同, 分析:点M的横坐标与点 的横坐标相同 的纵坐标与点B的纵坐标相同 点M的纵坐标与点 的纵坐标相同 y 的纵坐标与点 的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 、 的坐标可以通过 引进参数建立联系. 引进参数建立联系 设∠XOA=φ
O

A
B N M

x

例1、如下图,以原点为圆心,分别以 ,b(a>b>0) 、如下图,以原点为圆心,分别以a, ( > > ) 为半径作两个圆, 是大圆半径OA与小圆的交点,过 与小圆的交点, 为半径作两个圆,点B是大圆半径 是大圆半径 与小圆的交点 点A作AN⊥ox,垂足为 ,过点 作BM⊥AN,垂足为 , 作 ⊥ ,垂足为N,过点B作 ⊥ ,垂足为M, 求当半径OA绕点 旋转时点 的轨迹参数方程 绕点O旋转时点 的轨迹参数方程. 求当半径 绕点 旋转时点M的轨迹参数方程 y 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M

?x = acosφ O N x 由已知: 由已知 ? (θ为参数 ) ?y = bsinφ 即为点 的轨迹参数方程 参数方程. 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 即为点 的轨迹普通方程. 普通方程 消去参数得: 2 + 2 = 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b

数方程. 数方程 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 在椭圆的参数方程中,常数 分 在椭圆的参数方程中 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b 别是椭圆的长半轴长和短半轴长.

x = a cos ? 1 .参数方程 y = b sin ? 是椭圆的参 参数方程

另外, ? 称为离心角 规定参数 另外 称为离心角 离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ∈ [0, 2π )
? x = a cos ?, ? x = b cos ?, 焦点在X 轴 ? 焦点在Y 轴 ? ? y = b sin ?. ? y = a sin ?.

知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 椭圆的标准方程: 2 + 2 =1

y A
B O M N

φ
x

a b ?x = acosφ 椭圆的参数方程: (φ为参数 ) 椭圆的参数方程:? ?y = bsinφ
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 不是∠ 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ. 不是 圆的标准方程: 圆的标准方程: x2+y2=r2

y

P θ

?x = r cosθ 圆的参数方程: (θ为参数 ) 圆的参数方程: ? ?y = r sinθ θ的几何意义是 ∠AOP=θ 的几何意义是

O

A x

【练习1】把下列普通方程化为参数方程 练习 】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 + = 1 (2) x + =1 (1) 4 9 16 x = 2 co s θ x = cos θ (1) (2) y = 3 sin θ y = 4 sin θ

2

2

{

{

把下列参数方程化为普通方程 ? x = 3 cos ? ? x = 8 cos ? (3) ? (4) ? y = 1 0 s i n ? ? ? y = 5 s in ?

x (3) 9

2

+ =1 (4)
y 25

2

x 64

2

+

y2 100

=1

?x =2cosθ 练习2: ( θ 是 练习 :已知椭圆的参数方程为 ? ? y =sinθ
参数) 则此椭圆的长轴长为( 参数 ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),焦点坐标是 焦点坐标是( ( 2 ),焦点坐标是((± ),短轴长为 ),短轴长为

3 , 0)),

上求一点P, 例2、如图,在椭圆 2+8y2=8上求一点 ,使P到直线 、如图,在椭圆x 上求一点 到直线 l:x-y+4=0的距离最小 : 的距离最小. 的距离最小
y

分析1:设P ( ± 8 ? 8y 2 , y ),
则d = | ± 8 ? 8y 2 ? y + 4 | 2
O x

分析2:设P( 2 2 cos φ, sin φ),
则d = | 2 2 cos φ ? sin φ + 4 |

P

2 至首次与椭圆相切,切点即为所求. 分析3:平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求 小结:借助椭圆的参数方程, 小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

x2 y2 + = 1有一内接矩形 有一内接矩形ABCD, 例3、已知椭圆 、 , 100 64
求矩形ABCD的最大面积。 的最大面积。 求矩形 的最大面积
Y y D

解 : 设A (10 cos α ,8sin α )
AD = 20 cos α , AB = 16 sin α S = 20 × 16 sin α cos α = 160 sin 2α
所以, 矩形 ABCD 最大面积为160
A1

B2

A

F1
C

O B1
B

F2

X A2 X

+ =1 练习3:已知 练习 已知A,B两点是椭圆 已知 两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 与坐标轴正半轴的两个交点 在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形 使四边形OAPB的面积最大 的面积最大. 圆弧上求一点 使四边形 的面积最大
x 9
2

y2 4

解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos α ,2sin α ) S> ABC 面积一定 , 需求 S> ABP 最大即可 即 求 点 P 到 线 AB的 距 离 最 大 值
x 线 AB的 方 程 为 3 + y 2

= 1 ? 2x + 3y ? 6 = 0 =
6 13

d =

| 6 cos α + 6 sin α ? 6 | 2 2 + 32

2 sin( π + α ) 4

所以当α =

π

4 这 时 点 P的 坐 标 为 ( 3 2 2 , 2 )

时, d 有最大 值,面积最大

x2 y2 1、动点 、动点P(x,y)在曲线 在曲线 上变化 ,求2x+3y的最 的最 + =1 9 4 大值和最小值

练习4 练习

6 最大值 2,最小值? 6 2.
2、θ取一切实数时,连接 、 取一切实数时 连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 取一切实数时, 和 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ B . D. 线段

设中点M 设中点 (x, y)

x2 y2 + =L= 2 4 9



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