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惠州市2011届高三第三次调研考试数学(文科)试题答案



惠州市 2011 届高三第三次调研考试 数学试题(文科)答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 A 9 B 10 A

1.【解析】∵zl·2=3-i, 故选 D。 z 2.【解析】由 a ? b = a b co s ? ? ? 6 0 ? co

s ? = ?
1 2

,故 ? ? 120 ,选 B。
0

3.【解析】? a 5 ? a11 ? a 3 ? a13 ? 3, a 3 ? a13 ? 4,? a 3 ? 1, a13 ? 3 或 a 3 ? 3, a1 3 ? 1,
? a1 5 a5 ? a1 3 a3 ? 3或
1 3

,故选 C。

4.【解析】考虑 a ? ? 的情形,则排除①③,故正确命题有②、④,故选 B。 5. 【解析】 y ? (sin x ? cos x ) ? 1 = sin 2 x ,故选 C。
2

6.【解析】由原命题与否命题的关系易得正确答案为 C。 7.【解析】方程 f ( x ) ? 2 ? 0 在 ( ? ? , 0 ) 内有解,即 ? x 0 ? 0 , 使得 f ( x 0 ) ? 2 , 故选 D。 8.【解析】抛物线 y ? 8 x 的焦点为(2,0) ,∴椭圆焦点在 x 轴上且半焦距为 2,
2



2 m

?

1 2

? m ? 4 ,∴ n ? 4 ? 2 ? 12 ,∴椭圆的方程为
2 2 2

x

2

?

y

2

? 1 故选 A。

16

12

?? 1 ? a ? 3 ? 1 ? 9. 【解析】由条件得 f(a-3)<f(a -9),即 ? ? 1 ? a 2 ? 9 ? 1 ? 2 ?a ? 3 ? a ? 9
2

∴a∈(2 2 ,3) 故选 B。
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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10. 【解析】由定义有 x ? m ? ax ? bm ? cxm ? x 对任意实数 x 恒成立,且 m ? 0,令
? a ?1 ? c ?1? 2 ? 3 ?a ? 5 x ? 0 ,? bm ? 0 ,? b ? 0 . ? x ? y ? ax ? cxy .由 ? 得? ?a ? 2 ? c ? 2 ? 3 ? 4 ?c ? ?1

∴5x-mx=x 对任意实数 x 恒成立, ∴m=4. 故选 A。

二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11.8; 12. k =-6; 13.
3 6

? ;
3

14. 2 2 ? 2 ;

15. 2。

11. 【解析】 f ( 5 ) ? f ( 4 ) ? f ( 3 ) ? 2 ? 8 。
k ? x? ? ? ?y ? x ? 3 12.【解析】画图,联立方程组 ? 得? ?2 x ? y ? k ? 0 ?y ? ? k ? 3 ?

,代入 ?

k 3

? 3 ? (?

k 3

) ? 8,? k ? ? 6

1

? ?1 ? 3
2

13.【解析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥, V ? 3
2
1?1? 4 1 ?1
2 2

?

3 6

? 。

14. 【解析】 圆方程为 ( x - 1) 2 ? ? ( y ? 1) 2 ? 4 , d ? ∴

? 2 2 , ∴距离最小值为 2 2 ? 2 。

15. 【解析】设圆的半径为 R,由 PA ? PB ? PC ? PD 得 3 ? (3 ? 4) ? (5 ? R )(5 ? R ) 解得 R=2。

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解: (1) sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? cos 30 sin 45
1 2 2 2
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3 2

?

2 2

?

6 ? 4
?

2

………………4 分
C

(2)∵ ? C A B ? 7 5 , ? C B A ? 4 5
?

D

∴ ? A C B ? 180 ? ? C A B ? ? C B A ? 60 , 由正弦定理得:
AB sin ? A C B
?

?

?

BC sin ? C A B
A B

∴ BC ?

A B sin 7 5 sin 6 0
?

………………7 分

如图过点 B 作 B D 垂直于对岸,垂足为 D,则 BD 的长就是该河段的宽度。 在 R t ? B D C 中,∵ ? B C D ? ? C B A ? 45 , sin ? B C D ?
?

BD BC

, ………………9 分

∴ B D ? B C sin 4 5 =

?

A B sin 7 5 sin 6 0
?

?

100 ? ? sin 4 5 ?
?

6? 4 3 2

2 ? 2 2

?

2 5 (6 ? 2 3 ) 3

=

50 3 ? ( 3

3)

(米)

………………12 分

17.解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ? 100 ? 35 人, 第 3 组的频率为 频率分布直方图如下:
30 100 ? 0 .3 0 0 ,

……………… 1 分 ……………… 2 分 ……………… 5 分

(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别 为:第 3 组: 第 5 组:
10 60 30 60 ? 6 ? 1 人, ? 6 ? 3 人,

……… 6 分 ……… 8 分

第 4 组:

20 60

? 6 ? 2 人,

……… 7 分

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。

(3)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B 2 ,第 5 组的 1 位同学为 C 1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:
( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B 2 ), ( A1 , C 1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B 2 ), ( A2 , C 1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B 2 ), ( A3 , C 1 ), ( B1 , B 2 ), ( B1 , C 1 ), ( B 2 , C 1 ),

…………… 10 分

第 4 组至少有一位同学入选的有:

( A1 , B1 ), ( A1 , B 2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B 2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B 2 ), ( A3 , B 2 ), ( B1 , C 1 ), ( B 2 , C 1 ), 9 种可能。

所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B 2 至少有一位同学入选的概率为

9 15

?

3 5

………… 12 分

18.(1)证明:因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD = 900,所以,BC⊥CD,又 AB∩BC=B, 所以,CD⊥平面 ABC, …………3 分 又在△ACD,E、F 分别是 AC、AD 上的动点, 且
AE AC ? AF AD ? ? (0 ? ? ? 1)

所以,不论 ? 为何值,EF//CD,总有 EF⊥平面 ABC:

………7 分

(2)解:在△BCD 中,∠BCD = 900,BC=CD=1,所以,BD= 2 , 又 AB⊥平面 BCD,所以,AB⊥BD, 又在 Rt△ABD 中, ? ADB ? 60 , ∴AB=BDtan 60 0 ?
0

6。

………………10 分

由(1)知 EF⊥平面 ABE,

所以,三棱锥 A-BCD 的体积是

6 24

………………14 分

19.解: (1)依题意,圆心的轨迹是以 F (0, 2 ) 为焦点, L : y ? ? 2 为准线的抛物线上……3 分

因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x ? 8 y ………………6 分
2

(2)? 直 线 A B 与 x 轴 不 垂 直 , 设 A B : y ? kx ? 2 . A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ). ………………8 分
? y ? kx ? 2 , ? 2 由? 1 2 可 得 x ? 8 kx ? 1 6 ? 0 , ?y ? x . 8 ?

x1 ? x 2 ? 8 k , x 1 x 2 ? ? 16

………11 分

抛物线方程为 y ?

1 8

x , 求导得 y ? ?
2

1 4

x . 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是

k1 ?

1 4

x1 , k 2 ? 1 4 x1 ? 1 4

1 4

x2


1 16 x1 ? x 2 ? ? 1

………12 分 ………13 分 ………14 分

k1 ? k 2 ?

x2 ?

所以, A Q ? B Q

2 3 20.解: (1) f ? ( x ) ? 3 x ? 3, f ?(2 ) ? 9, f (2 ) ? 2 ? 3 ? 2 ? 2

………2 分 ………4 分

∴曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 2 ? 9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 16 ? 0 (2)过点 A (1, m ) 向曲线 y ? f ( x ) 作切线,设切点为 ( x 0 , y 0 ) 则 y 0 ? x 0 3 ? 3 x 0 , k ? f ?( x 0 ) ? 3 x 0 2 ? 3 . 则切线方程为 y ? ( x 0 3 ? 3 x 0 ) ? (3 x 0 2 ? 3)( x ? x 0 ) 将 A (1, m ) 代入上式,整理得 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ? 0 。
3 2

………………6 分

∵过点 A (1, m ) ( m ? ? 2 ) 可作曲线 y ? f ( x ) 的三条切线 ∴方程 2 x ? 3 x ? m ? 3 ? 0 (*)有三个不同实数根.
3 2

……………8 分

记 g ( x ) ? 2 x ? 3 x ? m ? 3 , g ? ( x ) = 6 x ? 6 x ? 6 x ( x ? 1) .
3 2

2

令 g ?( x ) ? 0, x ? 0 或 1. 则 x , g ? ( x ), g ( x ) 的变化情况如下表
x
g ?( x )
g ( x)

……………10 分

(?? , 0)

0 0

(0,1)

1

(1, ? ? )

?

?

0

?

递增

极大

递减

极小

递增 …………12 分

当 x ? 0, g ( x ) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x ) 有极小值 m ? 2 .
? g (0 ) ? 0 ? g (1) ? 0 ?m ? 3 ? 0 ?m ? 2 ? 0

由题意有,当且仅当 ?

,

即?

, ? 3 ? m ? ? 2 时,

函数 g ( x ) 有三个不同零点. 此时过点 A 可作曲线 y ? f ( x ) 的三条不同切线。故 m 的范围是 ( ? 3, ? 2 ) …………14 分

21.解: (1)由题意得 ?

? log 3 ( 2 a ? b ) ? 1 ? log 3 ( 5 a ? b ) ? 2

,解得 ?

?a ? 2 ?b ? ? 1



…………2 分 …………4 分 ①

? f ( x ) ? l o g3 ( 2 x ? 1)

an ? 3
n

l o 3 ( 2 n ?1 ) g

? 2 n ? 1, n ? N
? ? 5
3

*

(2)由(1)得 b n ?
1 2 1 Tn ? 1 2 2
2

2n ? 1 2 3 2 2
3

, ? Tn ?
2n ? 5 2 2
n ?1

1 2 ?
1

?

3
2

?? ?

2n ? 3 2
n ?1

?

2n ? 1 2
n

?

?? ?

2 2n ? 3 2
n

2 2n ? 1
n ?1



①-②得

2 1 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 T n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? 1 ? ( 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ) ? n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2n ? 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ? ? n ?1 ? ? 3? . ? Tn ? 3 ? n?2 ? , …………7 分 n ?1 n n 2 2 2 2 2 2
2n ? 5

设 f (n) ?

2n ? 3 2
n

, n ? N ,则由
*

f ( n ? 1) f (n)

?

n ?1 2n ? 5 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ?1 2n ? 3 2 ( 2 n ? 3) 2 2n ? 3 2 5

2

n

得 f (n) ?

2n ? 3 2
n

, n ? N 随 n 的增大而减小, n 随 n 的增大而增大。 当 n ? ?? 时, n ? 3 ? T T
*

又 T n ? m ( m ? Z ) 恒成立,? m min ? 3 (3)由题意得 p ?
1 2n ? 1 1 a1 (1 ? 1 a1 1 a2 )( 1 ? 1 a2 ) ? (1 ? 1 an ) ? (1 ? 1 an ) 对 n ? N 恒成立
*

…………10 分

记 F (n) ?

1 2n ? 1

(1 ?

)( 1 ?

) ,则

1 F ( n ? 1) F (n) ? 2n ? 3

(1 ? 1

1 a1

)( 1 ? 1 a1

1 a2

) ? (1 ? 1 a2

1 an

)( 1 ? 1 an )

1 a n ?1

) ?

2n ? 2 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 )

?

2 ( n ? 1) 4 ( n ? 1) ? 1
2

2n ? 1
? 2 ( n ? 1) 2 ( n ? 1) ?1

(1 ?

)( 1 ?

) ? (1 ?

…………12 分

? F ( n ) ? 0 ,? F ( n ? 1) ? F ( n ), 即 F ( n ) 是随 n 的增大而增大
F ( n ) 的最小值为 F (1) ?

2 3

3 ,? p ?

2 3

3 ,即 p max ?

2 3

3.

…………14 分



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