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一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.4 简单的三角恒等变换课时规范训练



【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三 角形 3.4 简单的三角恒等变换课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] sin 20°cos 20° 1.(2016·山西期中适应性训练) =( cos 50° A.2 C. 2 B. D. 2 2 1 2 )

1 1 sin 40° sin 40° 2 sin 20°c

os 20° 2 1 解析: = = = ,选 D. cos 50° cos 50° sin 40° 2 答案:D

?π ? 2 2.(2016·贵阳监测)若 sin? +α ?= ,则 sin 2α 等于( ?4 ? 5
8 A.- 25 17 C.- 25 B. D. 8 25 17 25

)

17 ?π ? ? ?2?2 2?π 解析:sin 2α =-cos? +2α ?=2 sin ? +α ?-1=2×? ? -1=- . 25 ?2 ? ?4 ? ?5? 答案:C 3.(2016·银川模拟)已知 α ,β 都是锐角,若 sin α = β =( A. C. π 4 π 3π 和 4 4 ) B. 3π 4 5 10 ,sin β = ,则 α + 5 10

π 3π D.- 和- 4 4
2

解析:由 α ,β 都是锐角,所以 cos α = 1-sin α = 3 10 . 10

2 5 2 ,cos β = 1-sin β = 5

所以 cos(α +β )=cos α ·cos β -sin α ·sin β = 又 α +β ∈(0,π ),且在(0,π )上,只有 cos

2 . 2

π 2 = , 4 2
1

π 所以 α +β = . 4 答案:A 4. cos 2α 1+tan α · 的值为________. 1+sin 2α 1-tan α α α cos α -sin α sin α +cos α = · = α sin α +cos α cos α -sin α α

sin 1+ 2 2 cos cos α -sin α 解析: 原式= 2· ?sin α +cos α ? sin 1- cos 1. 答案:1

4 ? π ? 5.已知 x∈?- ,0?,cos x= ,则 tan 2x 等于( 5 ? 2 ? A. C. 7 24 24 7 7 B.- 24 24 D.- 7

)

4 3 ? π ? 解析:∵x∈?- ,0?,cos x= .∴sin x=- , 5 5 ? 2 ? 3 ∴tan x=- . 4

? 3? 2×?- ? 2tan x 24 ? 4? ∴tan 2x= =- . 2 = 1-tan x 3 7 ? ?2 1-?- ? ? 4?
答案:D 1 6.(2016·太原模拟)已知 sin α +cos α = ,则 cos 4α =__________. 2 1 1 3 2 解析:∵sin α +cos α = ,∴(sin α +cos α ) = ,即 sin 2α =- ,∴cos 4α 2 4 4 1 ? 3?2 2 =1-2 sin 2α =1-2×?- ? =- . 4 8 ? ? 1 答案:- 8

? π? 7.已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12? ? π? (1)求 f?- ?的值; ? 6?
π? 3 ?3π ? ? (2)若 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,求 f?2θ + ?. 2 3? 5 ? ? ?
2

? π? 解:(1)因为 f(x)= 2cos?x- ?, ? 12? ? π? ? π π? 所以 f?- ?= 2cos?- - ? 6 ? ? ? 6 12?
π 2 ? π? = 2cos?- ?= 2cos = 2× =1. 4 4 2 ? ? (2)因为 θ ∈?

?3π ,2π ?,cos θ =3, ? 5 ? 2 ?
2

所以 sin θ =- 1-cos θ =-

4 ?3?2 1-? ? =- , 5 ?5?

7 ?3?2 2 cos 2θ =2cos θ -1=2×? ? -1=- , 25 ?5? 3 ? 4? 24 sin 2θ =2sin θ cos θ =2× ×?- ?=- . 5 5 ? ? 25 π? π π? ? ? 所以 f?2θ + ?= 2cos?2θ + - ? 3 3 12? ? ? ? π? ? = 2cos?2θ + ? 4? ? = 2×? 2 ? 2 ? cos 2θ - sin 2θ ? 2 2 ? ?

7 ? 24? 17 =cos 2θ -sin 2θ =- -?- ?= . 25 ? 25? 25

? 7π ? ? 3π ? 8.已知函数 f(x)=sin?x+ ?+cos?x- ?,x∈R. 4 ? 4 ? ? ?
(1)求 f(x)最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β -α )= ,cos(β +α )=- ,0<α <β ≤ , 5 5 2 求证:[f(β )] -2=0. 解:(1)f(x)=sin xcos 7π 7π 3π 3π +cos xsin +cos xcos +sin xsin = 2sin x 4 4 4 4
2

? π? - 2cos x=2sin?x- ?,∴f(x)的最小正周期 T=2π ,最小值 f(x)min=-2. 4? ?
4 (2)证明:由已知得 cos α cos β +sin α sin β = , 5 4 cos α cos β -sin α sin β =- ,两式相加得 2cos α cos β =0. 5 π ∵0<α <β ≤ , 2

3

π ∴cos β =0,则 β = , 2 ∴[f(β )] -2=4sin
2 2

π -2=0. 4 [B 级 能力突破]

1.(2016·江门质检)已知 sin 10°=a,则 sin 70°等于( A.1-2a C.1-a
2 2

)

B.1+2a D.a -1
2

2

解析:sin 70°=sin(90°-20°)=cos 20°=1-2sin 10°=1-2a . 答案:A

2

2

?π ? tan? +α ?·cos 2α ?4 ? 2.(2016·河北质检)计算 的值为( π ? 2? 2cos ? -α ? ?4 ?
A.-2 C.-1 B.2 D.1

)

?π ? tan? +α ?·cos 2α ?4 ? 解析: ? 2?π 2cos ? -α ? ?4 ? ?π sin? +α ?4 = 2?π 2sin ? +α ?4
cos 2α ?π sin? +2α ?2 =

?·cos 2α ? cos 2α cos 2α ? = = = π π π ?cos?π +α ? ? ? ? ? ? ? 2sin? +α ?cos? +α ? sin 2? +α ? ? ?4 ? ? ? ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?

cos 2α =1,选 D. ? cos 2α

? ?

答案:D 3.(2016·河南省实验中学质检)已知 α ∈? cos α 的值为( 1 A.- 5 7 C.- 5 ) B. D. 7 5 3 4

?π ,π ?,tan?α +π ?=1,那么 sin α + ? ? 4? ?2 ? ? ? 7

π? 1 5π ? π? π ?3π 5π ? π ? ? ? 解析: tan ?α + ?= >0, α + ∈? , ?, 则 α + ∈? π , ? , sin ?α + ? 4? 7 4 ? 4 ? 4? 4 ? 4 4 ? ? ? π? 1 1 ? =- ,所以 sin α +cos α = 2sin?α + ?=- ,故选 A. 4 5 ? ? 5 2
4

答案:A 3 ?π ? 4.已知 α 为第三象限的角,cos 2α =- ,则 tan? +2α ?=________. 5 ?4 ? 3 解析:∵α 为第三象限角,cos 2α =- , 5 4 4 ∴sin 2α = ,∴tan 2α =- . 5 3 π 4 tan +tan 2α 1- 4 3 π 1 ? ? ∴tan? +2α ?= = =- . π 4 7 ?4 ? 1-tan tan 2α 1+ 4 3 1 答案:- 7 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 5.化简 的结果等于________. π ? ? ? 2?π - x + x 2tan? ?sin ? 4 ? ?4 ? ? ? 1 2 2 2cos x?cos x-1?+ 2 解析:原式= ?π ? 2?π ? 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ? 1 1 2 - sin 2x 2 2 = π? ?π ? 2? 2sin ?x+ ?·tan? -x? 4? ? ?4 ? 1 ?π ? 2 cos 2x·tan? +x? 2 ?4 ? = π? 2? 2sin ?x+ ? 4? ? 1 2 cos 2x 2 = ? π? ?π ? 2sin?x+ ?·cos? +x? 4 ? ? ?4 ? 1 1 2 2 cos 2x cos 2x 2 2 1 = = = cos 2x. π cos 2 x 2 ? ? sin?2x+ ? 2? ? 1 答案: cos 2x 2 1 cos 2α ? π? 6.(2016·襄阳模拟)已知 sin α -cos α = ,且 α ∈?0, ?,则 的值为 2? 2 ? ? π? sin?a- ? 4? ?
5

________. π? 1 ? 解析:由条件可得, 2sin?α - ?= , 4? 2 ? π? 2 ? ∴sin?α - ?= . 4? 4 ? 1 1 由 sin α -cos α = 得 1-2sin α cos α = , 2 4 3 ∴2sin α cos α = . 4 7 2 ∴(sin α +cos α ) =1+2sin α cos α = , 4 7 ? π? ∵α ∈?0, ?,∴sin α +cos α = . 2 2 ? ? ∴sin α -cos α =
2 2

7 , 4

7 - 2 2 4 cos α -sin α 14 故原式= = =- . π? 2 2 ? sin?α - ? 4? ? 4 答案:- 14 2
2 2

7.已知 6sin α +sin α cos α -2cos α =0,α ∈?

?π ,π ?,求 sin?2α +π ?的值. ? ? 3? ?2 ? ? ?

解:由已知得:(3sin α +2cos α )(2sin α -cos α )=0. ∴3sin α +2cos α =0 或 2sin α -cos α =0. 2 由已知条件可知 tan α <0,∴tan α =- . 3 π? π π ? sin?2α + ?=sin 2α cos +cos 2α sin 3? 3 3 ? =sin α cos α + 3 2 2 (cos α -sin α ) 2
2 2

sin α cos α 3 cos α -sin α = + · 2 2 2 2 cos α +sin α 2 cos α +sin α = tan α 3 1-tan α + · . 2 2 1+tan α 2 1+tan α
2

2 将 tan α =- ,代入上式得 3

6

? 2?2 1-?- ? π? 3 ? 3? ? sin?2α + ?= + × 3? 2 2 ? ? ?2 ? 2? 2 1+?- ? 1+?- ? ? 3? ? 3?
2 - 3 6 5 3 5 3-12 =- + = . 13 26 26

7



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