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高二周练16(期末复习2)



顺德区容山中学

2015—2016 学年第二学期

周练

高二理科数学周练(十六)期末复习题 2
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如果复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数,则
2x

2b ? 3i 的值为( 1 ? bi

/>)

)A. 2

B. 5

C.5

D.15

2.曲线 f(x)=e 在点(0,1)处的切线方程为(
1 A.y= x+1 2 B.y=-2x+1

C.y=2x+1

D.y=2x-1 ) A.-1.88
2

3. 已知随机变量 X~B(6,0.4),则当 η =-2X+1 时,D(η )= (

B.-2.88 C.5.7 D.6.76

4.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生成绩 X~N(110,5 ),据此估计,大约有 57 人的分数所在的 区间为(
10



A.(90,100]
10

B.(95,125]

C.(100,120] ) 1+3 D.- 2
10

D.(105,115]

5.二项展开式(2x-1) 中 x 的奇次幂项的系数之和为( 1+3 A. 2 1-3 B. 2
n 2
10

3 -1 C. 2
1

10

6.已知 a ? 1 A. a ? b

( i ) (n ? N n? n
i ?1

*

2 ) , b ? ? x dx ,则 a, b 的大小关系为( 0



B. a ? b

C. a ? b

D. a, b 的大小与 n 的取值有关

7.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各 次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 8.在独立性检验中,统计量 K 2 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 K 2 >3.841 时,有 95%的把握说 明两个事件有关,当 K 2 >6.635 时,有 99%的把握说明两个事件有关,当 K 2 ? 3.841 时,认为两个 事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 2000 人,经计算的 K 2 =20.87,根据这一数据 分析,认为打鼾与患心脏病之间( A.有 95%的把握认为两者有关 C.有 99%的把握认为两者有关
2 5
5 2

) B.约有 95%的打鼾者患心脏病 D.约有 99%的打鼾者患心脏病 A.10 B.20 C.30 D.60

9.(x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( C )

1 10、一个电路如图所示, C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮 2 的概率是( )
x

A.

9 16

B.

7 16

C.

13 16

D.

3 16

11.设函数 f(x)=e (2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( ) A B C D

1

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周练

12.设函数 y ? f ( x ) 在 R 上有定义,对于任一给定的正数 ? ,定义函数 f ? ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? ? , f ( x) ? ? ?? ,


则称函数为“ ? 界函数”。若给定函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ?1, ? ? 2 ,下列结论不成立的是( A. f? ? f (0) ? ? f C. f? ? f? (2) ? ? f

? f? (0)?

B. f? ? f (1) ? ? f

? f? (1)?
? f (3)?

? f (2)?

D. f? ? f? (3) ? ? f

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值是 14. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, x ? ?? 2,2?表示过原点的曲线, 且在 x ? ?1 处的切线的倾斜 角均为

3 ? ,有以下命题:① f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x 3 ? 4x, x ? ?? 2,2?;② f ( x) 的极值点有且 4


只有一个;③ f ( x) 的最大值与最小值之和等于零;其中正确命题的序号为_
3 2

15、已知函数 f(x)=x +2x -ax+1 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围是 ______________ 16.在研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线 y ? ebx ? a 的周围,
? ? 0.25 x ? 2.58 ,则该模型的回归方程为 令 z ? ln y ,求得回归直线方程为 z

______

.

答题栏
姓名:_____________________学号:_____________________分数:_____________________
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13.________________ 14.________________ 15.________________ 16.________________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. 有甲乙两个班级进行一门课程的考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下结果: 甲班优秀的 10 人,不优秀的 35 人;乙班优秀的 7 人,不优秀的 38 人. (1)请你根据题目所给数据画出班级与成绩列联表.并判断班级与成绩是否有关系? (2)利用列联表的独立性检验估计, 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下是否认为”班级与成绩有关 系”?

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18.已知 ( x 3 ? 3x 2 ) n 的展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.

19.如图,某足球爱好者对比赛实战中的点球进行了统计,得到以下结果:100 个射向 A 区域的点 球大约被守门员扑出 15 个,100 个射向 B 区域的点球大约被扑出 5 个,而实战中的点球射向 A、B 区域的球数大约各占一半。如果把频率视为概率(并假定每个点球都能射向球门的 A 或 B 区域) , 试求: (Ⅰ)一个点球被扑出的概率; (Ⅱ)如果在一轮 5 个点球中,守门 B 员能扑出 2 个或两个以上,则防守一方必然获胜,求防守方获胜的概率; (精 确到 0.01) (Ⅲ)在 3 个点球中,求守门员扑出的球数的分布列和数学期望。 A

1 1 ? a an?1 1 1 * 20.设正整数数列 ?an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N ,有 2 ? ? n ? 2? . an ?1 1 ? 1 an n n ?1 (Ⅰ)求 a1 , a3 ;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项 an .

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21. (选做)已知函数 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x. (1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (2)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x)零点的个数.

22. (选做)设 a>1,函数 f(x)=(1+x )e -a. (1)求 f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴平 行,且在点 M(m,n)处的切线与直线 OP 平行(O 是坐标原点),证明:m≤

2

x

-1.

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高二理科数学周练(十六)期末复习题 2
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如果复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数,则
2x

2b ? 3i 的值为 ( B ) A.2 1 ? bi
C )

B. 5

C.5

D.15

2.曲线 f(x)=e 在点(0,1)处的切线方程为(
1 A.y= x+1 2 B.y=-2x+1

C.y=2x+1

D.y=2x-1

3.已知随机变量 X~B(6,0.4),则当 η =-2X+1 时,D(η )=( C )A.-1.88 B.-2.88
2

C.5.7 D.6.76

4.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生成绩 X~N(110,5 ),据此估计,大约有 57 人的分数所在的 区间为( 1+3 A. 2
10

C ). A.(90,100]
10

B.(95,125] 3 -1 C. 2
1
10

C.(100,120] B )
10

D.(105,115]

5.二项展开式(2x-1) 中 x 的奇次幂项的系数之和为( 1-3 B. 2
n 2
10

1+3 D.- 2

6.已知 a ? 1 A. a ? b

( i ) (n ? N n? n
i ?1

*

2 ) , b ? ? x dx ,则 a, b 的大小关系为( 0

)

B. a ? b

C. a ? b

D. a, b 的大小与 n 的取值有关

7.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各 次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( A ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 8.在独立性检验中,统计量 K 2 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 K 2 >3.841 时,有 95%的把握说 明两个事件有关,当 K 2 >6.635 时,有 99%的把握说明两个事件有关,当 K 2 ? 3.841 时,认为两个 事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 2000 人,经计算的 K 2 =20.87,根据这一数据 分析,认为打鼾与患心脏病之间( A ) A.有 95%的把握认为两者有关 C.有 99%的把握认为两者有关
2 5
5 2

B.约有 95%的打鼾者患心脏病 D.约有 99%的打鼾者患心脏病 A.10 B.20 C.30 D.60

9.(x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( C )

1 10、一个电路如图所示, C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮 2 的概率是( C )A.
x

9 16

B.

7 16

C.

13 16

D.

3 16

11.设函数 f(x)=e (2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( D )A B C D

12.设函数 y ? f ( x ) 在 R 上有定义,对于任一给定的正数 ? ,定义函数 f ? ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? ? , ? , f ( x ) ? ? ?

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周练

则称函数为“ ? 界函数”。若给定函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ?1, ? ? 2 ,下列结论不成立的是( ) A. f? ? f (0) ? ? f C. f? ? f? (2) ? ? f

? f? (0)?

B. f? ? f (1) ? ? f

? f? (1)? ? f (3)?

? f (2)?

D. f? ? f? (3) ? ? f

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值是 . 5

14. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c, x ? ?? 2,2?表示过原点的曲线, 且在 x ? ?1 处的切线的倾斜 角均为

3 ? ,有以下命题:① f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x 3 ? 4x, x ? ?? 2,2?;② f ( x) 的极值点有且 4
.①③

只有一个;③ f ( x) 的最大值与最小值之和等于零;其中正确命题的序号为_
3 2

15、已知函数 f(x)=x +2x -ax+1 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围是 ________.-1<a<7 16.在研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线 y ? ebx ? a 的周围,
? ? 0.25 x ? 2.58 , 令 z ? ln y , 求得回归直线方程为 z 则该模型的回归方程为

. y ? e0.25 x ?2.58

答题栏
姓名:_____________________学号:_____________________分数:_____________________
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13.________________ 14.________________ 15.________________ 16.________________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. 有甲乙两个班级进行一门课程的考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下结果: 甲班优秀的 10 人,不优秀的 35 人;乙班优秀的 7 人,不优秀的 38 人. (1)请你根据题目所给数据画出班级与成绩列联表.并判断班级与成绩是否有关系? (2)利用列联表的独立性检验估计, 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下是否认为”班级与成绩有关 系”? 解 : (1) 班级与成绩列联表 优秀 甲班 乙班 总计 10 7 17 不优秀 35 38 73 总计 45 45 90

………………………………4 分(没有总计的扣 2 分) 可见甲班成绩优秀者占

10 7 ,-----5 分,已班成绩优秀者占 ,------6 分 45 45
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由此看来班级与成绩有关系。------7 分 (2)根据公式计算得 K 的观测值 k=0.6527<6.635,---------10 分(计算得 K 值得 2 分) 故在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为班级与成绩有关系………………………..12 分
2
2

18.已知 ( x 3 ? 3x 2 ) n 的展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 分析:先由条件列方程求出 n .(1)需考虑二项式系数的性质;(2)需列不等式确定 r . 解:令 x ? 1 得展开式的各项系数之和为 (1 ? 3) n ? 22 n ,而展开式的二项式系数的和为
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? 2n ,∴有 22 n ? 2n ? 992.∴ n ? 5 .

(1)∵ n ? 5 ,故展开式共有 6 ,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项. ∴ T3 ? C ( x ) ? (3x ) ? 90x , T4 ? C ( x ) ? (3x ) ? 270x
2 5 2 2 6 3 5 2 3 2 3 3 2 3 2 22 3


2 r r 5 r 10 ? 4 r 3

(2) 设 展 开 式 中 第 r ? 1 项 的 系 数 最 大 . Tr ?1 ? C ? ( x )
r 5
r 5 r r ?1 5 r ?1

2 3 5? r

? (3x ) ? C ? 3 ? x

,故有

1 ?3 ? ?r 6 ? r , ? 7 9 ? ?C ? 3 ? C ? 3 ? r ? 即 解得 .∵ r ? N , ? r r ? r ?1 r ?1 1 3 2 2 ? C ? 3 ? C ? 3 ? 5 ? 5 ? . ? ?5 ? r r ?1
2 26 4 ∴ r ? 4 ,即展开式中第 5 项的系数最大. T5 ? C5 ? ( x 3 )1 ? (3x 2 ) 4 ? 405x 3

19.如图,某足球爱好者对比赛实战中的点球进行了统计,得到以下结果:100 个射向 A 区域的点 球大约被守门员扑出 15 个,100 个射向 B 区域的点球大约被扑出 5 个,而实战中的点球射向 A、 B 区域的球数大约各占一半。 如果把频率视为概率 (并假定每个点球都能射向球门的 A 或 B 区域) , 试求: (Ⅰ)一个点球被扑出的概率; (Ⅱ)如果在一轮 5 个点球中,守门员能扑出 2 个或两个以上,则防守一方必然获胜,求防守方 获胜的概率; (精确到 0.01) (Ⅲ)在 3 个点球中,求守门员扑出的球数的分布列和数学期望。 B 解:(Ⅰ)用 A、B 分别表示点球射向 A、B 区域而且被扑出的事件,用 C 表示一个点球被扑出的事件,显然 A、B 是互斥事件,则 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)= A

1 15 1 5 ? ? ? ? 0.1 ……………… 2 100 2 100

第 18 题图

…4 分 (Ⅱ)用ξ 表示一轮 5 个点球中,被守门员扑出的球数,则ξ ~B(5,0.1) 防守方获胜的概率是
0 1 P(ξ ≥2)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)= 1 ? C5 0.10 ? 0.95 ? C5 0.1? 0.94 ? 0.08 ……8 分

(Ⅲ) 用η 表示在 3 个点球中,守门员扑出的球数,则η 的分布列如下:
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0 1 P(η =0)= C3 ? 0.10 ? 0.93 ? 0.729, P(η =1)= C3 ? 0.1? 0.9 2 ? 0.243, 3 2 P(η =2)= C3 ? 0.13 ? 0.90 ? 0.001, ? 0.12 ? 0.91 ? 0.027,P(η =3)= C3

η 的数学期望是: Eη =0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3 (或 Eη =3×0.1=0.3).…13 分

1 1 ? a an?1 1 1 * 20.设正整数数列 ?an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N ,有 2 ? ? n ? 2? . an ?1 1 ? 1 an n n ?1 (Ⅰ)求 a1 , a3 ;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项 an .
解:(Ⅰ)由已知不等式得: 2 ? 当 n ? 1 时,由①得: 2 ? 解得

?1 1 1 ? 1 ? n(n ? 1) ? ? ? ? 2? . an?1 an ? an an?1 ?



?1 1? 1 2 2 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ,即 2 ? ? ? ? 2 ? , 4 a1 4 a1 a2 a1 ? a1 a2 ?

2 8 ? a1 ? .∵ a1 为正整数,∴ a1 ? 1 . 3 7 ?1 1 ? 1 1 当 n ? 2 时,由①得: 2 ? ? 6 ? ? ? ? 2 ? ,解得 8 ? a3 ? 10 . a3 4 ? 4 a3 ?
∵ a3 为正整数,∴ a3 ? 9 . 下面用数学归纳法证明. 1 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 an ? n2 均成立;
? ?

∴ a1 ? 1 , a3 ? 9 .

(Ⅱ)方法一:由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n2 .

2 假设 n ? k (k ? 2) 成立,则 ak ? k 2 ,则 n ? k ? 1 时,

? 1 k 3 (k ? 1) k (k 2 ? k ? 1) 1 1 ? 1 ? ak ?1 ? 由①得 2 ? ? k (k ? 1) ? 2 ? ? ? 2? 2 ? 2 k ? k ?1 k ?1 ak ?1 ak ?1 ? k ?k k ?1 1 ? (k ? 1) 2 ? 2 ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 ? k ? k ?1 k ?1 k ?1 2 ? ? 0, 1? . ∵ k ? 2 时, (k ? k ? 1) ? (k ? 1) ? k (k ? 2) ? 0 ,∴ 2 k ? k ?1 1 k ? 1 ? 1 ,∴ ? ? 0, 1? . k ?1 2 2 又 ak ?1 ? N* ,∴ (k ? 1) ? ak ?1 ? (k ? 1) .
故 ak ?1 ? (k ? 1)2 ,即当 n ? k ? 1 时, an ? n2 成立. 综上,由 1 ,2 知,对任意 n ? N , an ? n2 .
? ?

*

21.已知函数 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x. (1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (2)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x)零点的个数.
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解:(1)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点(x0,0),则 f(x0)=0,f'(x0)=0, 即 解得 x0= ,a=因此,当 a=- 时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线. 5分

(2)当 x∈(1,+∞)时,g(x)=-lnx<0,从而 h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故 h(x)在(1,+∞)无零点. 当 x=1 时,若 a≥- ,则 f(1)=a+ 0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故 x=1 是 h(x)的零点;若 a<- ,则

f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故 x=1 不是 h(x)的零点. 当 x∈(0,1)时,g(x)=-lnx>0.所以只需考虑 f(x)在(0,1)的零点个数. (ⅰ)若 a≤-3 或 a≥0,则 f'(x)=3x2+a 在(0,1)无零点,故 f(x)在(0,1)单调. 而 f(0)= ,f(1)=a+ ,所以当 a≤-3 时,f(x)在(0,1)有一个零点;当 a≥0 时,f(x)在(0,1)没有零点.

(ⅱ)若-3<a<0,则 f(x)在

单调递减,在

单调递增,故在(0,1)中,当 x=

时,f(x)取

得最小值,最小值为 f

①若 f

>0,即- <a<0,f(x)在(0,1)无零点;

②若 f

=0,即 a=- ,则 f(x)在(0,1)有唯一零点;

③若 f

<0,即-3<a<- ,由于 f(0)= ,f(1)=a+ ,所以当- <a<- 时,f(x)在(0,1)有两个零点;当-3<a

≤- 时,f(x)在(0,1)有一个零点.

10 分

综上,当 a>- 或 a<- 时,h(x)有一个零点;当 a=- 或 a=- 时,h(x)有两个零点;当- <a<- 时,h(x)有三个零点. 12 分 22.设 a>1,函数 f(x)=(1+x )e -a. (1)求 f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点; (3)若曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M(m,n)处的切线与直线 OP 平行(O 是坐标原点), 证明:m≤ -1.
2 x

解:(1)由题意可知函数 f(x)的定义域为 R,f'(x)=(1+x2)'ex+(1+x2)(ex)'=(1+x)2ex≥0, 故函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.
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周练

(2)∵a>1,∴f(0)=1-a<0,且 f(a)=(1+a2)ea-a>1+a2-a>2a-a=a>0. ∴函数 f(x)在区间(0,a)上存在零点. 又由(1)知函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴函数 f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点. (3)由(1)及 f'(x)=0,得 x=-1.又 f(-1)= -a,即 P ,∴kOP= =a- .

又 f'(m)=(1+m)2em,∴(1+m)2em=a- . 令 g(m)=em-m-1,则 g'(m)=em-1,∴由 g'(m)>0,得 m>0,由 g'(m)<0,得 m<0. ∴函数 g(m)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴g(m)min=g(0)=0,即 g(m)≥0 在 R 上恒成立,即 em≥m+1.

∴a- =(1+m)2em≥(1+m)2(1+m)=(1+m)3,即

≥1+m.故 m≤

-1.

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