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选修4-4坐标系与参数方程



? ? x ? t ? 3, ( t 为参数) , 在极坐标系 (与 y ? 3 t ? ? 直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中, 曲线 C
1、 已知在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? 的极坐标方程为 ? 2 ? 4?co s? ? 3 ? 0 . ①求直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐

标方程; ②设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的取值范围.

2、已知曲线 C1 的参数方程是?

?x=2cosφ , ? ?y=3sinφ , ?

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是ρ =2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、 π B、C、D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ). 3 (Ⅰ) 求点 A、B、C、D 的直角坐标; 2 2 2 2 (Ⅱ) 设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| +|PD| 的取值范围.

3、在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2:(x-2) +y =4. (Ⅰ)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.

2

2

2

2

4 、 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 方 程 为 x - y + 4 = 0 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为

?x= 3cosα , ? ?y=sinα

(α 为参数).

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x π 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2 (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

5、在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? → → 动点,P 点满足OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程;

?x=2cosα , ? ?y=2+2sinα . ?

(α 为参数).M 是 C1 上的

π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ = 与 C1 的异于极点的 3 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

6、已知 P 为半圆 C:?

? ?x=cosθ ?y=sinθ ?

(θ 为参数,0≤θ ≤π )上的点,点 A 的坐标为(1,0),O

π 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程.

π? π? 3 ? ? 7、在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? 2, ?,圆心为直线ρ sin?θ - ?=- 与极轴 4? 3? 2 ? ? 的交点,求圆 C 的极坐标方程.

8、在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知 ?2 3 π ? 直 线 l 上 两 点 M , N 的 极 坐 标 分 别 为 (2,0) , ? , ?,圆 C 的参数方程为 2? ? 3

?x=2+2cosθ , ? ?y=- 3+2sinθ

(θ 为参数).

(1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

1、 【答案】①直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 . 曲线 C 的直角坐标方程为: x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 【或 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1】. ②曲线 C 的标准方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1,圆心 C (2, 0) ,半径为 1;

|2 3 ? 0 ? 3 3| 5 3 ? 2 2 5 3 5 3 所以点 P 到直线 l 的距离的取值范围是 [ ? 1, ? 1] 2 2
∴圆心 C (2, 0) 到直线 l 的距离为: d ?

2、解:(Ⅰ)由已知可得
π π π 3 3 2 π 3π π 3π π )),D(2cos( + ),2sin( + )), 3 2 3 2

A(2cos ,2sin ),B(2cos( + ),2sin( + )),C(2cos( +π ),2sin( +

π 3

π 3

π 2

π 3

π 3

即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (Ⅱ)设 P(2cosφ ,3sinφ ), 2 2 2 2 令 S=|PA| +|PB| +|PC| +|PD| ,则 S=16cos2φ +36sin2φ +16 2 =32+20sin φ . 2 因为 0≤sin φ ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52].

3、解:(Ⅰ)圆 C1 的极坐标方程为ρ =2, 圆 C2 的极坐标方程ρ =4cosθ .
? ?ρ =2 π 解? ,得ρ =2,θ =± , 3 ?ρ =4cosθ ? π π 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为(2, ),(2,- ). 3 3 注:极坐标系下点的表示不唯一. ?x=ρ cosθ ? (Ⅱ)法一:由? ,得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ?y=ρ sinθ ? ? ?x=1 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ,- 3≤t≤ 3. ?y=t ? ? ?x=1 (或参数方程写成? ,- 3≤y≤ 3) ?y=y ? ? ?x=ρ cosθ 法二:将 x=1 代入? ,得ρ cosθ =1, ? ?y=ρ sinθ 1 从而ρ = . cosθ ?x=1 ? 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? , ? ?y=tanθ π π - ≤θ ≤ . 3 3 π 4、 (1)把极坐标系的点 P(4, )化为直角坐标,得 P(0,4), 2

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为

( 3cosα ,sinα ), 从而点 Q 到直线 l 的距离 | 3cosα -sinα +4| d= = 2 π = 2cos(α + )+2 2, 6 π 由此得,当 cos(α + )=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. 6 5、 π α + 6 2 +4

? ? (1)设 P(x,y),则由条件知 M? , ?.由于 M 点在 C1 上, ?2 2?
x y
?x=4cosα , ? ?y=4+4sinα . ?

x ? ?2=2cosα , 所以? y ? ?2=2+2sinα ,
从而 C2 的参数方程为?

即?

? ?x=4cosα , ?y=4+4sinα . ?

(α 为参数)

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ =4sinθ ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =8sinθ . π π 射线 θ = 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ 1=4sin , 3 3 π π 射线 θ = 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ 2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3. 6、 π π (1)由已知,M 点的极角为 ,且 M 点的极径等于 , 3 3

?π π ? 故点 M 的极坐标为? , ?. ?3 3?
3π ? ?π (2)M 点 的 直 角 坐 标 为 ? , ? , A(1,0) , 故 直 线 AM 的 参 数 方 程 为 6 6 ? ?

?π -1?t, ? ? ?x=1+? ?6 ? ? 3π ? ?y= 6 t,

(t 为参数).

π? 3 ? 7、解:在 ρ sin?θ - ?=- 中令 θ =0,得 ρ =1, 3? 2 ? 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π? ? 因为圆 C 经过点 P? 2, ?, 4? ?

π 2 +1 -2×1× 2cos =1, 4 于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cosθ . 所以圆 C 的半径 PC= 2
2

? 2 3? 8、 解:(1)由题意知,M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, ?, 3 ? ?
又 P 为线段 MN 的中点,从而点 P 的平面直角坐标为?1, 标方程为 y= 3 x. 3

? ?

3? ?,故直线 OP 的平面直角坐 3 ?

? 2 3? (2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),?0, ?, 3 ? ?
所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x+3y-2 3=0. 又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2, |2 3-3 3-2 3| 3 圆心到直线 l 的距离 d= = <r,故直线 l 与圆 C 相交. 2 3+ 9



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