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27.2.1相似三角形的判定课件



相似具有传递性
C E M A N D B

如果再作 MN∥DE ,共有多少对相似三角形? △ADE∽△ABC △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC

共有三对相似三角形。

回顾并思考
定义
全等 三角 形

判定方法

三角、三边对 边 S 边 S 角A 角A 斜H 边 S 角A 边 S 角A 边L 应相等的两个 边 S 边 S 角A 边 S 与 三角形全等 直 相似 三角对应相等, 三 角 三角 边对应成比例的两 边 个三角形相似 形 判定三角形相似,是不是也有这么多种方法呢?

探究1
边S 边S 边S

AB BC AC 已知: A B ? B C ? A C . 1 1 1 1 1 1

求证:△ABC∽△A1B1C1. A1

A

B

C

B1

C1

有效利用判定定理一去求证。

A1
A

D
B C

E

B1

C1

证明:在线段 A1B1 (或它的延长线)上截 取 A1D ? AB ,过点D作 DE∥B1C1 ,交 AC 1 1 于点E 根据前面的定理可得 ?A1DE∽?A1B1C1 .

A1 A

D
B C B1

E
C1

A1D DE A1E ? ? ∴ A1B1 B1C1 A1C1

AB BC AC ? ? , A1D ? AB 又 A1B1 B1C1 A1C1 DE BC A1E AC ? , ? ∴ B1C1 B1C1 A1C1 A1C1

∴ DE ? BC , A1E ? AC

∴ ?A1DE≌?ABC(SSS) ∵ ?A1DE∽?A 1B 1C1 ∴ ?ABC∽?A1B1C1

知识要点
判定三角形相似的定理之一

边S 边S 边S



如果两个三角形的三组对应边的比 三边对应成比例,两三角形相似。 相等,那么这两个三角形相似。
A

A1 即:
C

B

B1

C1

AB BC AC 如果 A B ? B C ? A C , 1 1 1 1 1 1 那么 △ABC∽△A1B1C1.

小练习
AB BC AC 求证:∠BAD=∠CAE。 ? , 已知: ? AD DE AE

A

AB BC AC ? ? , 解:∵ AD DE AE

E

D ∴ΔABC∽ΔADE C B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC-∠DAC =∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE

探究2
边S 角A 边S

AB BC 已知: A B ? B C ? k , 1 1 1 1

∠B =∠B1 . 求证:△ABC∽△A1B1C1. A1

A

B

C

B1

C1 你能证明吗?

知识要点
判定三角形相似的定理之二

边S 角A 边S



如果两个三角形的两组对应边的比相 两边对应成比例,且夹角相等, 等,并且相应的夹角相等,那么这两个三 角形相似。 两三角形相似。
A

A1
B C

即: 如果

AB BC ? ? k, A1B1 B1C1

B1

C1

∠B =∠B1 . 那么 △ABC∽△A1B1C1.

探究3

大家一起画一个三角形 ,三个角分别为60°、 45°、75°,大家画出的三角形相似吗?同桌的 同学,通过测量对应边的长度进行比较。 一定需要三 个角吗?

即:如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形 相似 。 的三个角对应相等,那么这两个三角形_______

你能证明吗? 角A 角A 边 S 角A 角A 边 S 已知: ∠A =∠A1,∠B =∠B1 .
求证:△ABC∽△A1B1C1.
A

角 A 角 A

A1

B

C

B1

C1

角 A 判定三角形相似的定理之三 角 A

知识要点



如果两个三角形的两个角与另一个 两角对应相等,两三角形相似。 三角形的两个角对应相等,那么这两个 三角形相似。
A

A1
B C

即: 如果 ∠A =∠A1,∠B =∠B1 .

B1

C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.

如果两个三角形有一个内角对应相等, 那么这两个三角形一定相似吗?

一角对应相等的两个三角形不一定相似。

小练习
找出图中所有的相似三角形。 “双垂直”三角形 C 有三对相似三角形: △ACD∽ △CBD △CBD∽ △ABC △ACD∽ △ABC B

A

D

△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC

C

A

D

B

常用的相等的角: ∠A =∠DCB ;∠B =∠ACD 常用的成比例的线段:

AC ? BC ? AB ? CD AC 2 ? AD ? AB 2 BC ? BD ? AB CD 2 ? AD ? DB

例题
D 已知:DE∥BC,EF∥AB. 求证:△ADE∽△EFC.

A

E C

B 解: ∵ DE∥BC,EF∥AB(已知)

F

∴∠ADE=∠B=∠EFC (两直线平行,同位角相等)

∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等)
∴ △ADE∽△EFC (两个角分别对应相等的两个三角形相似)

相似三角形对应高的比等于相似比
A1
A

B1 D1 C1 证明:∵△ ABC∽ △ A1B1C1 ∴∠B = ∠B1 又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900 ∴△ ADB∽△ A1D1B1(角角) ∴ AD ? AB ? k
A1D1 A1B1

B

D C

相似三角形对应角平分线的比等于相似比 A1
A

B1 D1 C1 证明: ∵ △ ABC∽ △ A1B1C1 ∴ ∠B = ∠B1,∠BAC = ∠B1A1C1 ∵ AD,A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线 ∴ ∠BAD = ∠B1A1D1 ∴ △ ADB∽△ A1D1B1(角角) ∴ AD ? AB ? k
A1D1 A1B1

B

D

C

相似三角形对应中线的比等于相似比 A1
A

B

D

C

B1

D1

C1

AD AB ? ?k A1D1 A1B1

探究4
H L

已知: Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. AB BC ? ? k, A1 B1 B1C1

A

求证:△ABC∽△A1B1C1. A1
你能证明吗?

B

C

B1

C1

知识要点
判定三角形相似的定理之四



H L

如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。
A

A1

B

C

B1

C1

即:Rt△ABC 和 Rt△A B C 1 1 1. 如果 AB ? BC ? k , A1B1 B1C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.

课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法:
? 通过定义 (三边对应成比例,三角相等) ? 平行于三角形一边的直线 ? 三边对应成比例(SSS) ? 两边对应成比例且夹角相等(SAS) ? 两角对应相等 (AA) ? 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 (HL)

2. 相似三角形的性质:
? 对应角相等。 ? 对应边成比例。 ? 对应高的比等于相似比。 ? 对应中线的比等于相似比。 ? 对应角平分线的比等于相似比。

随堂练习
1. 判断下列说法是否正确?并说明理由。 (1)所有的等腰三角形都相似。 × √ (2)所有的等腰直角三角形都相似。 (3)所有的等边三角形都相似。√ (4)所有的直角三角形都相似。 × √ (5)有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。 (6)有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 × √ (7)若两个三角形相似比为1,则它们必全等。 (8)相似的两个三角形一定大小不等。 ×

2. AD⊥BC于点D, CE⊥AB于点 E ,且 交AD于F,你能从中找出几对相似三角形?
A

E F B D C

3. 下面两组图形中的两个三角形是否相似?为什么?

A
A 30° C

A1

D

B

C1 相似

B1

E 100°

F B 相似

C

4. 过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交,截得的小三角 形与△ABC相似,这样的直线有几条? A
D ● B C

这样的直线有两条: A D E D E C B 作DE,使∠AED=∠C ∠A=∠A ∠AED=∠C C B 作DE,使∠AED=∠B ∠A=∠A ∠AED=∠B

A

△ ADE∽ △ABC

△ AED∽ △ABC

3 对 5. 已知:如图,AB∥EF ∥CD,图中共有___ 相似三角形。

A

B

AB∥EF AB∥CD EF∥CD

△AOB∽ △FOE

O E F D

△AOB ∽△DOC
△EOF∽△COD

C

6. 如果两个三角形的相似比为1,那么这两个 三角形________ 全等 。 7. 若△ABC与△A′B′C′相似,一组对应边的长 为AB=3 cm,A′B′=4 cm,那么△A′B′C′与△ABC 的相似比是________。 4︰ 3 8. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、 6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm,那么A′B′C′的最大边长是________24cm 。

9. 如图,在△ABC中,DG∥EH∥FI∥BC, (1)请找出图中所有的相似三角形;
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC 1:4 。 (2)如果AD=1,DB=3,那么DG:BC=_____ A E F D

G H I C

B

10. 已知:DE∥BC,AE=50cm,EC=30cm, BC=70cm,∠BAC=45°,∠ACB=40° 求:(1)∠AED和∠ADE的大小。 C (2)求DE的长。 E 解: (1) ∵ DE ∥ BC ∴ △ADE∽△ABC ∵∠AED =∠C = 400 A D B

在△ADE中,∠ADE =180°-40°-45°= 95°

E

C

A

D

B

(2) ∵△ADE∽△ABC
50 DE ∴ AE DE ? ,即 ? . AC BC 50 ? 30 70 50 ? 70 所以, DE ? ? 43.75( cm ). 50 ? 30



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