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2017届广东省蕉岭县蕉岭中学高三上学期开学考试数学(理)试题



蕉岭中学 2017 年高三摸底考试 理科数学
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分) 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,满分 150 分 考生注意: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2. 第Ⅰ

卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题 卡上 书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? 1 ? 2 , x ? Z , B ? {x | y ? log 2 ( x ? 1) , x ? R} ,则 A ? B ? A. {?1, 0 ,1, 2 , 3} B. {0 ,1, 2 , 3} C. {1 , 2 , 3} D. {?1, 1, 2 , 3}

?

?

2.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 1 6 2 14 4 28 5 32

? 为 6.6, ? ?a ? 中的 b 根据上表中的数据可以求得线性回归方程 ? y ? bx
据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额为 A.66.2 万元 C.66.8 万元 B.66.4 万元 D.67.6 万元
i ? 2016

开始

S ? 0 , i ?1


3.阅读右边的程序框图,输出结果 S 的值为 A. ?1008 C. ?1 B. 1 D.0



S ? S ? cos 1? i

2 4.已知 a ? R ,i 是虚数单位,命题 p :在复平面内,复数 z1 ? a ?

iπ 2

对应的点位于第二象限; 命题 q : 复数 z2 ? a ? i 的模等于 2, 若 p?q 是真命题,则实数 a 的值等于

i ? i ?1

输出 S 第 1 页 共 13 页 结束

A. ?1或 1 C. ? 5 5.已知 cos(π ? ? ) ? A. ? C.

B. ? 3 或 3 D. ? 3

3 π π , ? ? ( , π) , 则 tan( ? ? ) ? 5 4 2
B. ?7 D.7

1 7

1 7

6.在等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 1 ,且 4a3 , 2a4 , a5 成等差数列,若数列 ?an ? 的前 n 项之积为 Tn ,则

T10 的值为
A. 29 ? 1 B. 236 C. 210 ? 1 D. 2 45

7.已知直线 l : x ? y ? 1 与圆 ? : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相交于 A ,C 两点,点 B , D 分别在圆 ? 上运 动,且位于直线 l 的两侧,则四边形 ABCD 面积的最大值为 A. 30 B. 2 30 C. 51 D. 2 51

8.如图,网络纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四棱锥的三视图, 则该几何体的体积为 A.

8 3

B.2 D.6

C.8

2 9.已知点 F1 是抛物线 C : x ? 4 y 的焦点,点 F2 为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点,过 F2 作抛物

线 C 的切线,切点为 A ,若点 A 恰好在以 F1 ,F2 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为 A.

6? 2 2

B.

2 ?1

C.

2 ?1

D.

6? 2 2

? x ? 1, ? 10. 设点 ( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1, 所表示的平面区域上, 若对于 b ? [0 ,1] 时, 不等式 ax ? by ? b ?x ? y ? 4 ? 0 ?
恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. ( , 4)

2 3

B. ( , ? ?)

2 3

C. (4 , ? ?)

D. (2 , ? ?)

11.在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2 , AA1 ? 2 ,设四棱柱的外接球的球心为 O ,动点 P 在 正 方 形 ABCD 的 边 上 , 射 线 OP 交 球 O 的 表 面 于 点 M . 现 点 P 从 点 A 出 发 , 沿 着
A ? B ? C ? D ? A 运动一次,则点 M 经过的路径长为

第 2 页 共 13 页

A.

4 2π 3

B. 2 2 π

C.

8 2π 3

D. 4 2 π

? log x ? x ? 3 ( x ? 0), ? ? 4 12.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) 的两个零点分别为 x1 , x2 ,则 | x1 ? x2 |? ? x ? ( 1 ) x ? 3 ( x ? 0), ? 4 ?
A. 3 ? ln 2 B. 3 ln 2 C. 2 2 D. 3

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22~24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.

13.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 x ? a ,若 f ( x) 在 [0 , π ] 上的最大值为 ?1,则实数 a 的值是_______. 14.在 ( x2 ? x ? 2)3 的展开式中 x 的系数是
5

(用数字作答).

15.已知平行四边形 ABCD 中, ?BAD ? 120? , AB ? 1, AD ? 2 ,点 P 是线段 BC 上的一个动点,则

??? ? ??? ? AP ? DP 的取值范围是__________.
16 .在数列 ?an ? 中,已知 a1

? 1, an ?1 ? an 2 ? an ? 1 (n ? N* ) ,且 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ,则当
a1 a2 a2015

a2016 ? 4a1 取得最小值时, a1 的值为________.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分)
?ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 1 ?

tan A 2c . ? tan B b

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 BC 边上的中线 AM ? 2 2 ,高线 AH ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

18、 (本小题满分 12 分) 某商场销售某种品牌的空调器, 每周周初购进一定数量的空调器, 商场每销售一台空调器可获利 500 元,若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费 100 元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应, 此时每台空调器仅获利润 200 元。 第 3 页 共 13 页

(Ⅰ)若该商场周初购进 20 台空调器,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量 n(单位:台,

n ? N )的函数解析式 f (n) ;
(Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共 10 周)空调器需求量 n(单位:台) ,整理得下表:

周需求量 n 频数

18 1

19 2

20 3

21 3

22 1

以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进 20 台空调器,X 表示当 周的利润(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

19、 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, AD ? PD ? 2 , PA ? 2 2 , ?PDC ? 120? , 点 E 为线段 PC 的中点,点 F 在线段 AB 上.
P E D

1 (Ⅰ)若 AF ? ,求证: CD ? EF ; 2
(Ⅱ)设平面 DEF 与平面 DPA 所成二面角的平面角为 ? ,

3 试确定点 F 的位置,使得 cos ? ? . 4
A F

C B

20、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A, B 的坐标分别为 ? ?2,0? , ? 2,0? .直线 AP, BP 相交于点 P ,且它 们的斜率之积是 ?

1 .记点 P 的轨迹为 ? . 4

(Ⅰ)求 ? 的方程; (Ⅱ) 已知直线 AP, BP 分别交直线 l : x ? 4 于点 M , N , 轨迹 ? 在点 P 处的切线与线段 MN 交于点 Q ,

第 4 页 共 13 页



MQ NQ

的值.

21、 (本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ?1 ? ax 的图象与 x 轴相切. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f ( x) ? m( x ? 1) ln x ,求实数 m 的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中 任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
? 如图所示,?ABC 内接于圆 O,D 是 BAC 的中点, ∠ BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O
D A

于点 E , F . (Ⅰ)求证: BF 是 ?ABE 外接圆的切线; (Ⅱ)若 AB ? 3 , AC ? 2 ,求 DB 2 ? DA2 的值.
B F O E C

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? , (? 为参数 ) ;在以原点 O 为 ? y ? sin ?
2

极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

? ? sin ? .

(Ⅱ)若射线 l : y ? kx ( x ? 0) 与曲线 C1 , C2 的交点分别为 A , B ( A , B 异于原点) ,当斜率

k ? (1, 3] 时,求 | OA | ? | OB | 的取值范围.
24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 第 5 页 共 13 页

已知不等式 | x ? 3 |? 2 x ? 1 的解集为 {x | x ? m} . (Ⅰ)求 m 的值;

1 (Ⅱ)设关于 x 的方程 | x ? t | ? | x ? | ? m ( t ? 0 )有解,求实数 t 的值. t

第 6 页 共 13 页

蕉岭中学 2017 年高三摸底考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题: 1. B 2. A 3. D 4. D 5. B 6. D 7.A 8. B 9. C 10.C 11.A 12.D

二、填空题: 13. 1 14. -3

? 1 ? 15. ? ? , 2 ? ? 4 ?

16.

5 4

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)解: (Ⅰ)因为 1 ? 即
tan A 2c sin A cos B 2sin C ,所以 1 ? , 2分 ? ? tan B b sin B cos A sin B

sin( A ? B) 2sin C ,因为 sin( A ? B) ? sin C ? 0 , sin B ? 0 , ? sin B cos A sin B

1 所以 cos A ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2
又因为 A ? (0, π) ,所以 A ?

π .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 3

???? ? 1 ??? ? ???? ???? ? 2 1 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? (Ⅱ)由 M 是 BC 中点,得 AM ? ( AB ? AC ) ,即 AM ? ( AB ? AC ? 2 AB ? AC ) , 2 4
所以 c2 ? b2 ? bc ? 32 ,① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 由S ? 得

1 1 AH ? BC ? AB ? AC ? sin A , 2 2

3 bc ? 3a ,即 bc ? 2 a ,② · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2

又根据余弦定理,有 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,③ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 联立①②③,得 (

bc 2 ) ? 32 ? 2bc , 2

1 解得 bc ? 8 .所以△ ABC 的面积 S ? bc sin A ? 2 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2

(18)解: (I)当 n ? 20 时, f (n) ? 500 ? 20 ? 200 ? (n ? 20) ? 200n ? 6000 --------------2 分 当 n ? 19 时, f (n) ? 500 ? n ? 100 ? (20 ? n) ? 600n ? 2000 --------------------------4 分 所以 f (n) ? ?

? 200n ? 6000(n ? 20) (n ? N ) ----------------------------------------5 分 ?600n ? 2000 (n ? 19)

(II)由(1)得 f (18) ? 8800, f (19) ? 9400, ---------------------------------------6 分

第 7 页 共 13 页

f (20) ? 10000, f (21) ? 10200, f (22) ? 10400, -------------------------------------7 分 ? P( X ? 8800) ? 0.1, P( X ? 9400) ? 0.2, P( X ? 10000) ? 0.3, P( X ? 10200) ? 0.3, P( X ? 10400) ? 0.1, -----------------------9 分

X 的分布列为
X
P

8800

9400

10000

10200

10400

0.1

0.2

0.3

0.3

0.1

? EX ? 8800 ? 0.1 ? 9400 ? 0.2 ? 10000 ? 0.3 ? 10200 ? 0.3 ? 10400 ? 0.1 ? 9860. ------12 分

19.解: (Ⅰ)在 ?PCD 中, PD ? CD ? 2 , ∵ E 为 PC 的中点, ∴ DE 平分 ?PDC , ?PDE ? 60? , ∴在 Rt ?PDE 中, DE ? PD ? cos 60 ? 1,????2 分 过 E 作 EH ? CD 于 H ,则 DH ? ∵ AF ?
?

P E D H

C B

1 ,连结 FH , 2

A

F

1 ,∴四边形 AFHD 是矩形, ??????4 分 2

∴ CD ? FH ,又 CD ? EH , FH ? EH ? H ,∴ CD ? 平面 EFH , 又 EF ? 平面 EFH ,∴ CD ? EF . ??????5 分

(Ⅱ)∵ AD ? PD ? 2 , PA ? 2 2 ,∴ AD ? PD ,又 AD ? DC ,∴ AD ? 平面 PCD , 又 AD ? 平面 ABCD ,∴平面 PCD ? 平面 ABCD . ??????6 分

过 D 作 DG ? DC 交 PC 于点 G ,则由平面 PCD ? 平面 ABCD 知, DG ? 平面 ABCD , 故 DA, DC, DG 两两垂直,以 D 为原点,以 DA, DC, DG 所在直线分别为 x, y , z 轴,建立如图 所示空间直角坐标系 O ? xyz , ??????7 分

则 A(2, 0, 0) , B(2, 2,0) , C (0, 2,0) , P(0, ?1, 3) , 又知 E 为 PC 的中点, E (0, ,

1 3 ) ,设 F (2, t , 0) , 2 2

P

z E D

第 8 页 共 13 页
A x

C B

y

F

则 DE ? (0, ,

????

???? 1 3 ) , DF ? (2, t,0) , 2 2

??? ? ??? ? DP ? (0, ?1, 3) , DA ? (2,0,0) .????8 分
设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

???? ?1 3 ? z1 ? 0, ?n ? DE ? 0, ? y1 ? 则 ? ???? ∴ ?2 2 ? ?n ? DF ? 0, ?2 x ? ty ? 0, ? 1 1
取 z1 ? ?2 ,可求得平面 DEF 的一个法向量 n ? (? 3t , 2 3 , ? 2) , ??????9 分

??? ? ? ? m ? DP ? 0, 设平面 ADP 的法向量为 m ? ( x2 , y 2 , z2 ) ,则 ? ??? ? ? ? m ? DA ? 0,
所以 ?

?? y2 ? 3 z2 ? 0, ? 取 m ? (0, 3,1) . 2 x ? 0, ? ? 2

??????10 分

∴ cos ? ? cos ? m, n ? ?

?? ?

6?2 2 ? 3t 2 ? 12 ? 4

?

4 3 ,解得 t ? 3 4
??????12

∴当 AF ? 分

4 3 时满足 cos ? ? . 3 4

(20) (Ⅰ)设点 P 坐标为 ? x, y ? ,则 直线 AP 的斜率 k AP ? 直线 BP 的斜率 kBP ? 由已知有
y ( x ? ?2 ) ; x?2

y (x ? 2) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 x?2

y y 1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ? ? ? ( x ? ?2 ) x?2 x?2 4

化简得点 P 的轨迹 ? 的方程为

x2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ) 4

(注:没写 x ? 2 或 x ? ?2 扣 1 分) (Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? ( x0 ? ?2 ) ,则 直线 AP 的方程为 y ?
2 x0 2 ? y0 ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 4

y0 6y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 M 纵坐标为 yM ? 0 ; ·······6 分 x0 ? 2 x0 ? 2

第 9 页 共 13 页

直线 BP 的方程为 y ?

y0 2y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得点 N 纵坐标为 y N ? 0 ; ·········7 分 x0 ? 2 x0 ? 2

设在点 P 处的切线方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ,
? y ? k ? x ? x0 ? ? y0 , 2 由? 2 得 1 ? 4k 2 x2 ? 8k ? y0 ? kx0 ? x ? 4 ? y0 ? kx0 ? ? 4 ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 ? x ? 4 y ? 4,

?

?

2 2 由 ? ? 0 ,得 64k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 16 ?1 ? 4k 2 ? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 , ? ?

2 2 整理得 y0 ? 2kx0 y0 ? k 2 x0 ? 1 ? 4k 2 .
2 x ? x0 x ? 2 2 , x0 ? 4 ?1 ? y0 代入上式并整理得 ? 2 y0 k ? 0 ? ? 0 ,解得 k ? ? 0 , · · ·9 分 ? 4 2? 4 y0 ?

2

2 ?1? 将 y0

所以切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? . 4 y0

令 x ? 4 得,点 Q 纵坐标为 yQ ? y0 ?

x0 ? 4 ? x0 ? 4 y0

?

2 2 4 ?1 ? x0 ? 1 ? x0 4 y0 ? 4 x0 ? x0 ? ? . 4 y0 4 y0 y0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ???? ? ???? 设 MQ ? ? QN ,所以 yQ ? yM ? ? ? yN ? yQ ? , 所以
? 2 y0 1 ? x0 6 y0 1 ? x0 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ? ? ?? ? ?.· y0 x0 ? 2 y0 ? ? x0 ? 2 2 y 2 ? ?1 ? x0 ?? x0 ? 2 ? ?1 ? x0 ?? x0 ? 2? ? 6 y02 . ?? 0 y0 ? x0 ? 2 ? y0 ? x0 ? 2 ?
2 x0 x x 代入上式, ?2+ 0 ? ? (?2+ 0 ) , 4 2 2

所以

2 ?1? 将 y0

解得 ? ? 1 ,即

MQ NQ

?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

(21)解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? e x ?1 ? a ,设切点为 ( x0 , 0) ,
x ?1 ? ? f ( x0 ) ? 0, ?e 0 ? ax0 ? 0, 依题意, ? 即 ? x ?1 0 ? f ?( x0 ) ? 0, ? ?e ? a ? 0,

1分

? x ? 1, 解得 ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 ? a ? 1,

所以 f ? ? x ? ? ex ?1 ? 1 . 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 故 f ? x ? 的单调递减区间为 (??,1) ,单调递增区间为 (1, ??) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? m( x ? 1) ln x , x ? 0 .

第 10 页 共 13 页

则 g ?( x) ? e x ?1 ? m(ln x ?

x ?1 ) ?1 , x

1 1 令 h( x) ? g ?( x) ,则 h?( x) ? e x ?1 ? m( ? 2 ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 x x
(ⅰ)若 m ?
1 , 2

1 1 因为当 x ? 1 时, e x ?1 ? 1 , m( ? 2 ) ? 1 ,所以 h?( x) ? 0 , x x
所以 h( x) 即 g ?( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 又因为 g ?(1) ? 0 ,所以当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 从而 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增, 而 g (1) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? m( x ? 1) ln x 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 (ⅱ)若 m ?
1 , 2

1 1 可得 h?( x) ? e x ?1 ? m( ? 2 ) 在 (0, ??) 上单调递增. x x
1 1 ? }? 0, 因为 h?(1) ? 1 ? 2m ? 0 , h?(1 ? ln(2m)) ? 2m ? m{ 1 ? ln(2m) [1 ? ln(2m)]2

所以存在 x1 ? (1,1 ? ln(2m)) ,使得 h?( x1 ) ? 0 , 且当 x ? (1, x1 ) 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 即 g ?( x) 在 (1, x1 ) 上单调递减, 又因为 g ?(1) ? 0 ,所以当 x ? (1, x1 ) 时, g ?( x) ? 0 , 从而 g ( x) 在 (1, x1 ) 上单调递减, 而 g (1) ? 0 ,所以当 x ? (1, x1 ) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? m( x ? 1) ln x 不成立.

1 纵上所述, k 的取值范围是 (??, ] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2
请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时 请写清题号. (22) 解: (Ⅰ)设 ?ABE 外接圆的圆心为 O ? ,连结 BO ? 并延长交圆 O ? 于 G 点,连结 GE , 则 ?BEG ? 90? , ?BAE ? ?BGE .
? = FC ? ,所以 ?FBE ? ?BAE ,· 因为 AF 平分∠ BAC ,所以 BF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分

所以 ?FBG ? ?FBE ? ?EBG ? ?BGE ? ?EBG ? 180? ? ?BEG ? 90? , 所以 O ?B ? BF ,所以 BF 是 ?ABE 外接圆的切线. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (Ⅱ)连接 DF ,则 DF ? BC ,所以 DF 是圆 O 的直径, 因为 BD 2 ? BF 2 ? DF 2 , DA2 ? AF 2 ? DF 2 , 所以 BD 2 ? DA2 ? AF 2 ? BF 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分
B O' O E F C G D A

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因为 AF 平分∠ BAC ,所以 ?ABF ∽ ?AEC , 所以

AB AF ,所以 AB ? AC ? AE ? AF ? ( AF ? EF ) ? AF , ? AE AC

因为 ?FBE ? ?BAE ,所以 ?FBE ∽ ?FAB ,从而 BF 2 ? FE ? FA , 所以 AB ? AC ? AF 2 ? BF 2 , 所以 BD 2 ? DA2 ? AB ? AC ? 6 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 23.解: (Ⅰ)由 ?

? x ? 1 ? cos ? , 得 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 , y ? sin ? , ?
??????3 分

所以 C1 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .

由 ? cos2 ? ? sin ? 得 ? 2 cos2 ? ? ? sin ? ,所以曲线 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? y .???5 分 (Ⅱ)设射线 l : y ? kx ( x ? 0) 的倾斜角为 ? ,则射线的极坐标方程为 ? ? ? , ????6 分 且 k ? tan ? ? (1, 3] , 联立 ?

? ? ? 2cos ? , 得 | OA |? ?1 ? 2cos ? , ?? ? ?

??????7 分

联立 ?

? ? cos 2 ? ? sin ? , ?? ? ?

得 | OB |? ? 2 ?

sin ? , cos 2 ?

??????9 分

所以 | OA | ? | OB |? ?1 ? ? 2 ? 2 cos ? ?

sin ? ? 2 tan ? ? 2k ? (2, 2 3] , cos 2 ?
??????10 分

即 | OA | ? | OB | 的取值范围是 (2, 2 3] . (24)解: (Ⅰ)由 | x ? 3 |? 2 x ? 1 得,

? x ? ? 3, ? x ? ?3, 或? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ? ??( x ? 3) ? 2 x ? 1, ? x ? 3 ? 2 x ? 1,

解得 x ? 2 . 依题意 m ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分
1 1? 1 1 ? (Ⅱ)因为 x ? t ? x ? …? x ? t ? ? ? x ? ? ? t ? ? t ? , t t t t ? ?
1? ? 当且仅当 ? x ? t ? ? x ? ? ? 0 时取等号, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 t? ?

1 因为关于 x 的方程 | x ? t | ? | x ? | ? 2 ( t ? 0 )有实数根, t

第 12 页 共 13 页

所以 t ?

1 ? 2.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 t

另一方面, t ? 所以 t ?

1 …2 , t

1 ? 2,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 t

所以 t ? 1 或 t ? ?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

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