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向量的数乘 教案 高中数学 必修四 苏教版 Word版


教学设计 2.2.3 向量的数乘 整体设计 教学分析 向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性 运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向 量的乘积, 仍然是一个向量, 既有大小, 也有方向. 特别是所得向量与已知向量是共线向量, 进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出 错.尤其是定理的前提条件:向量 a 是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线 或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系. 三维目标 1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实 数与向量积的几何意义.掌握实数与向量的积的运算律.理解两个向量共线的等价条件,能 够运用两向量共线条件判定两向量是否平行. 2.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能 力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用. 重点难点 教学重点:1.实数与向量积的意义. 2.实数与向量积的运算律. 3.两个向量共线的等价条件及其运用. 教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(直接引入)前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加 法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数 乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法, 所以相同向量的求和运算也有类似的简便计 算. 思路 2.(问题引入)一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为 a,那么在同一 方向上 3 秒钟的位移对应的向量怎样表示?是 3a 吗?怎样用图形表示?由此展开新课. 推进新课 新知探究 实数与向量积的定义及运算律. 活动:教师引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图 来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引 导学生特别注意 0· a=0,而不是 0· a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼, 但又处处存在, 稍不注意就会出错, 所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间 的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如 λ+a,λ-a 都无法进行.向 量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形 式:(λ+μ)a=λa+μa 和 λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向 相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以 其中一个向量等于另一个向量. 一定要切实理解两向量共线的条件, 它是证明几何中的三点 共线和两直线平行等问题的有效手段. 实数 λ 与向量 a 相乘,叫做向量的数乘(scalar multiplication of vectors). → → → → 事实上,通过作图 1 可发现,OC=OA+AB+BC=a+a+a.类似数的乘法,可把 a+a → +a 记作 3a,即OC=3a.显然 3a 的方向与 a 的方向相同,3a 的长度是 a 的长度的 3 倍, 即|3a|=3|a|.同样,由图可知, → → → → PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a), 图1 即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然 3(-a)的方向与 a 的方向相反,3(-a)的长度是 a 的长度的 3 倍,这样,3(-a)=-3a.

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