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2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 典型例题导数的概念素材 北师大版选修1-1



3.2
【例 1】求函数 y=x 在点 x=1 处的导数
2

导数的概念

【例 2】已知 f(x)=ax +3x +2,若 f′(-1)=4,求 a 的值.

3

2

参考答案 例 1: 【分析】①求函数增量 Δ y;②求函数的变化率 【解】Δ y=(

1+Δ x) -1 =2·Δ x+(Δ x) ,
2 2 2

?y ?y ;③求极限 lim . x ? 0 ?x ?x

?y 2?x ? (?x) 2 ? ? 2 ? ?x . ∴ ?x ?x
∴ lim

?y ? lim(2 ? ?x) ? 2 ? lim ?x =2+0=2. x ?0 ?x x ?0 x ?0

∴y′|x=1=2. 【点拨】应用求函数在某一点的导数的步骤进行求解. 例 2: 【分析】这道题函数 f(x)中含有字母 a,已知 f′(-1)=4,那么先要把 f′(-1)用 a 表示出来,这样才能 求出 a 的值. 【解】Δ y=a(-1+Δ x) +3(-1+Δ x) +2-[a(-1) +3(-1) +2]=a·(Δ x) +(3-3a)(Δ x) +(3a-6)Δ x. ∴
3 2 3 2 3 2

?y a ? (?x) 3 ? 3(1 ? a) ? (?x) 2 ? 3(a ? 2) ? x 2 ? =a·(Δ x) +(3-3a)·Δ x+3a-6. ?x ?x
?x ? 0

?y ? lim [a(Δ x)2+(3-3a)Δ x+3a-6]=3a-6. ? x ?x ? 0 ?y ∴f′(-1)= lim =3a-6. ?x ?0 ?x
∴ lim 又∵f′(-1)=4,

10 . 3 10 故所求 a 的值为 . 3
∴3a-6=4.∴ a ? 【点拨】利用导数定义先求导数,然后代入再求 a 的值.



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