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利用设而不求解题


利用设而不求解题
河 南 省 郸 城 县 才 源 高 中 王 玉 建 关键词:设而不求, 中点问题 摘要: 在解析几何解题过程中经常遇到中点问题,多种解法中,设而不求是解 此类问题的较为简便解法。 即是设出以某点为中点的弦的两个端点,代入曲线方 程,两方程相减,目的凑斜率凑中点,这种方法简称设而不求,解决中点问题有 广泛的应用!

1 已知弦中点求直线方程
例 1 在椭圆 3x 2 +4y 2 =12 内有一点 P(1,1)求以 P 为中点的弦所在的直线方程 解析:设以 P 为中点的弦的两个端点 A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 )显然 x 1 ? x 2 3x 12 +4y 12 =12 3x 2 2 +4y 2 2 =12 (1) (2)

(1)-(2)得

3(x 1 +x 2 ) (x 1 -x 2 )+4(y 1 +y 2 )(y 1 - y 2 )=0 直线斜率 K=3 4

? x 1 + x 2 =2 y 1 + y 2 =2

?所求直线方程为 3x+4y-7=0 本题属于已知中点求出斜率进而求出直线方程

2

求过定点的弦的中点的轨迹方程 例 2 求在椭圆 3x 2 +4y 2 =12 内过一点 P(0,1)弦的中点的轨迹方程 解析:设弦的中点 M(x,y) 两端点 A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ) 则 3x 12 +4y 12 =12 3x 2 2 +4y 2 2 =12 (1) (2)

(1)-(2)得 3(x 1 +x 2 ) (x 1 -x 2 )+4(y 1 +y 2 )(y 1 - y 2 )=0 3 x1 = x 2 时 M(0,0)

1

当 x1 ≠ x 2 时 又∵K AB =K PQ =

3×2x+4×2y×K AB =0
y -1 x

∴3x+4y× yx-1 =0

即 3x 2 +4y 2 -4y=0 M(0,0) 亦适合 3x 2 +4y 2 -4y=0

∴所求 过 P(0,1)的弦的中点的轨迹方程 3x 2 +4y 2 -4y=0 本题属于过定点弦中点轨迹问题,关键在于斜率的表示方法。

3
例3

.已知斜率时,求弦的轨迹方程 在椭圆 x 2 +2 y 2 =2 内,求斜率为 2 的弦的中点的轨迹方程。 解析:设弦的中点 M(x,y) 两端点 P(x 1 ,y 1 ) Q (x 2 ,y 2 ) 则 x 12 +2 y 12 =2
2 x2 2 +2y 2 =2

① ② (x 1 +x 2 ) (x 1 -x 2 )+2(y 1 +y 2 )(y 1 - y 2 )=0

①-②得 ∴x+4y=0

4 3 4 4 ∴所求的轨迹方程为 x+4y=0 (﹣ ﹤x﹤ ) 3 3 本题属于已知斜率求中点轨迹问题,利用设而不求很容易解决

由 x+4y=0 x 2 +2 y 2 =2

的 x=±

4.

利用设而不求,解决探索性问题 例 4. 在双曲线
x2 2

-y 2 =1 内,是否存在以 P(1 ,1)为中点的弦,若存

在求出来,若不存在说明理由。 解析:设存在以 P(1 ,1)为中点的弦的两端点 P(x 1 ,y 1 ) Q (x 2 ,y 2 ) 则 x 12 -2 y 12 =2
2 x2 2 -2y 2 =2

① ②

①-②得

(x 1 +x 2 ) (x 1 -x 2 )+2(y 1 +y 2 )(y 1 - y 2 )=0
2

? x 1 + x 2 =2 y 1 + y 2 =2
∴得直线方程为 x-2y+1=0 由 x-2y+1=0 与
x2 2

直线斜率 K=

1 2

-y 2 =1 相结合得 x 2 -2x-5=0,判别式δ >0

满足题意条件 ∴所求的弦所在直线方程为 x-2y+1=0 本题是探索性问题,双曲线中点问题中最后需要利用判别式△进行检 验,若△≤0 则说明满足条件直线方程不存在。

5.

利用设而不求解决对称问题 例 5. 若抛物线 y=a x 2 -1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A,B 求 a 的取值范围 设 AB 的中点 M(x 0 ,y 0 ) 两点 A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ) y 1 =a x 12 -1 y 2 =a x 2 2 -1 ① ② ①-②得 y 1 - y 2 =a(x 1 +x 2 ) (x 1 -x 2 ) ∴x 0 =
1 2a

y 0 =-

1 2a

? M(x 0 ,y 0 )在抛物线内部
∴x 2 0 <
y0 ? 1 3 从而得到 a> a 4

本题属于对称问题,找出中点坐标表达式,根据中点在抛物线内部限定,从而求 出 a 的范围, 可见在解决中点问题设而不求有很重要的作用!

3


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