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2013届高三数学二轮复习专题课件:等比数列及其前n项和


第3课时 等比数列及其前n项和

教材回扣夯实双基
基础梳理 1.等比数列的基本问题

(1)定义 一般地,如果一个数列从________ 第2项 起,每 一项与它的_________ 前一项 的比等于______ 同一 ________, 个常数 那么这个数列就叫做等比数 列,这个常数叫做等比数列的______, 公比 公

q q≠0)表示. 比通常用字母___(

(2)通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则 a1qn-1 它的通项an=_________. (3)等比中项

等比数列 则G 如果三个数a、G、b成__________, 叫做a和b的等比中项,那么 G= b , a G 即G2=_____. ab

思考探究 b2=ac是a,b,c成等比数列的什么条件? 提示:b2=ac是a,b,c成等比数列的必 要不充分条件.当b=0,a,c至少有一 个为零时,b2=ac成立,但a,b,c不 成等比数列;反之,若a,b,c成等比 数列,则必有b2=ac.

(4)前 n 项和公式

na1 ?_____ ? n ? a ? 1 - q ? a1-anq Sn= 1 = ? 1-q ? 1-q

?q=1?, ?q≠1?.

特别提示:当 q≠1 时, a1?1-qn? -a1 n a1 Sn= = · q+ =Aqn+B, 1-q 1- q 1-q 其中 A+B=0.

2.等比数列的性质
在等比数列{an}中,Sn是其前n项和,则

(1)an=am· qn-m(m,n∈N*,且m≤n);
(2)若m+n=p+q=2r, ap· aq =_________ a2 则am· an=_______ ; r

(3)数列am,am+k,am+2k,am+3k,?,仍是

__________ 等比数列 ;
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,仍是

等比数列(此时{an}的公比q≠-1).

课前热身
1.在等比数列{an}中,a2012=8a2009,

则公比q的值为(
A.2 C.4 答案:A

)
B.3 D .8

2.等比数列{an}中a5=4,则a2· a8等于 ( A.4 C.16 答案:C ) B.8 D.32

3.在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若S3
=7,S6=63,则公比q的值是( )

A.2
C.3

B.-2
D.-3

答案:A

4.(教材习题改编)设等比数列{an}的公比 S4 q=2,前 n 项和为 Sn,则 =______. a2

15 答案: 2

5.在数列{an},{bn}中,bn是an与an+1的等

差中项,a1=2,且对任意n∈N*,都有3an
+1-an=0,则{bn}的通项bn=______.

4 答案: n 3

考点探究讲练互动
考点突破 等比数列的判定

证明一个数列是等比数列的主要方法有 两种:一是利用等比数列的定义,即证明 an+1 =q(q≠0,n∈N*),二是利用等比中项 an
* 法,即证明 a2 = a a ≠ 0( n ∈ N ).在解题 n+ 1 n n+2

中,要注意根据欲证明的问题,对给出的条 件式进行合理地变形整理,构造出符合等 比数列定义式的形式,从而证明结论.

例1

设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知

a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比 数列; an (2)证明数列{ n}是等差数列. 2

【思路分析】

需要把Sn和an两类基本

量化为一类基本量,要消去Sn,可采取

方程组法,通过加减消元方式消去Sn.
【证明】 (1)由a1=1,Sn+1=4an+2,

得a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5.
∴b1=a2-2a1=3. 由Sn+1=4an+2,① 则当n≥2时,有Sn=4an-1+2.②

①-②得an+1=4an-4an-1, ∴an+1-2an=2(an-2an-1). 又∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1. ∴数列{bn}是首项为3,公比为2的等 比数列.

(2)由(1)可得 bn=an+1-2an=3· 2n 1,


an+1 an 3 ∴ n+1- n= . 2 4 2 an 1 3 ∴数列{ n}是首项为 ,公差为 的等差 2 2 4 数列.

【名师点评】

等比数列的判定方法

还可利用通项公式法和前n项和公式法. (1)通项公式法:若数列{an}通项公式可 写成an=c· qn(c,q均为不为0的常数, n∈N*),则{an}是等比数列.

(2)前n项和公式法:若数列{an}的前n
项和Sn=k· qn-k(k为常数且k≠0,

q≠0,1),则{an}是等比数列.

互动探究

an 1. 在本例条件下, 设 cn= , 求证: 3n-1 {cn}是等比数列.

证明:由例题的解答知 an n- 2=2+(n-1)×3=3n-1. 2 ∴an=(3n-1)· 2
n- 2

.

n- 1 c 2 n+1 n-2 ∴cn=2 .∴ c = n-2=2. 2 n

∴数列{cn}为等比数列.

等比数列的基本运算
解决此类问题的关键是熟练掌握等比 数列的有关公式,并灵活运用,在运 算过程中,还应善于运用整体代换思

想简化运算的过程.

例2

(2010· 高考大纲全国卷Ⅱ )已知 {an}

是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2= 1 1 1 1 1 2( + ),a3+a4+a5=64( + + ). a1 a2 a3 a4 a5 (1)求{an}的通项公式; 1 2 (2)设 bn=(an+a ) ,求数列{bn}的前 n 项 n 和 Tn.

【思路分析】

(1)利用a1、q表示已知

关系,求a1、q; (2)利用分组求和求Tn.

【解】

(1)设等比数列{an}的公比为 q,


则 an=a1qn 1, 由已知有
? ?a +a q=2? 1 + 1 ?, 1 ? 1 a1 a1q ? 1 1 1 ? 2 3 4 a1q +a1q +a1q =64? 2+ 3+ 4?, ? a1q a1q a1q ?

?a2 1q=2, 化简得? 2 6 ?a1q =64.

又 a1>0,故 q=2,a1=1.所以 an=2 1 2 (2)由(1)知 bn=(an+a ) n 1 2 =an+ 2 +2 an =4
n-1

n-1

.



4

n- 1+2.

1

因此 Tn=(1+4+?+4 + 4
n- 1)+2n

n-1

1 )+(1+ +? 4

1

1 4 n - 1 1 -4 n = + + 2n 1 4- 1 1- 4 1 n 1-n = (4 -4 )+2n+1. 3

【误区警示】

在使用等比数列的前n

项和公式时,应根据公比q的情况进行
分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目

用求和公式.

等比数列的性质
在研究等比数列的性质时,我们只需用
等比数列的两个基本量(首项a1和公比q)

就可以表示出数列中的所有项,它具有
“消元”之功效,但有时利用通项公式

的变形式an=amqn-m(m,n∈N*)的形式,
会更有利于题目的化简.

例3 在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4

1 1 1 1 1 +a5=8 且 + + + + =2,求 a3. a1 a2 a3 a4 a5

【思路分析】 利用a1· a5=a2· a4=a3· a3进行化简.

【解】 由已知得 1 1 1 1 1 a1+a5 a2+a4 a3 + + + + = + + 2 a1 a2 a3 a4 a5 a1a5 a2a4 a3 a1+a2+a3+a4+a5 8 = = 2=2. 2 a3 a3 ∴a2 3=4. ∴a3=± 2.

【名师点评】

利用m+n=p+q=

2r,则am· an=ap· aq=a,进行项之间

转化,减少计算量.

变式训练

2.试用例 3 方法求解例 2:已知{an}是 各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=
?1 ?1 1? 1 1? ? ? ? 2? + ?,a3+a4+a5=64? + + ? ?. a2? a4 a5? ?a1 ?a3

求{an}的通项公式.

解:由

?1 a1+a2 1? ? ? a1+a2=2?a +a ?=2 , a · a ? 1 2? 1 2

所以 a1· a2=2. 由
?1 ? 1 1 ? + + a3+a4+a5=64? ? a4 a5? ?a3 ?

a3+a4+a5 =64 , a2 4

2 a 4 2 所以 a4=64,即 a4=8. =q5=32, a1· a2

所以 q=2, 所以 an=a4· qn 4=2n 1.
- -

方法感悟
方法技巧

几种思想方法在等比数列中的体现
(1)方程思想.等比数列中有五个量a1、

n、q、an、Sn,一般可以“知三求二”,
通过列方程(组)求关键量a1和q,问题

可迎刃而解.

(2)数形结合思想.通项 an=a1q 可化为 a1 n an=( )q ,因此 an 是关于 n 的函数.即{an} q 中的各项所表示的点(n,an)在曲线 y= a1 x ( )q 上,是一群孤立的点. q ? ? ?a1>0 ?a1<0 ? 单调性:当? 或 时,{an}是递 ? ? ?q>1 ?0<q<1 增数列;

n-1

? ?a1>0 当? ? ?0<q<1

? ?a1<0 或? ? ?q>1

时, {an}是递减数列;

当 q=1 时,{an}为常数列; 当 q<0 时,{an}为摆动数列.

(3)分类思想.当 q=1 时,{an}的前 n 项和 Sn=na1;当 q≠1 时,{an}的前 n 项和 Sn= a1?1-qn? a1-anq = .等比数列的前 n 项和 1- q 1- q 公式涉及对公比 q 的分类讨论,此处是常 考易错点.

失误防范
1.特别注意q=1时,Sn=na1这一特

殊情况.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即

断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.

考向瞭望把脉高考
命题预测

从近几年的高考试题来看,等比数列的
定义、性质、通项公式及前n项和公式

是高考的热点,题型既有选择题、填空
题,又有解答题,难度中等偏高.客观题 突出“小而巧”,考查学生对基础知识

的掌握程度;主观题考查较为全面,在考 查基本运算、基本概念的基础上,又注 重考查函数与方程、等价转化、分类

讨论等思想方法.
预测2013年福建高考,等比数列的定

义、性质、通项公式及前n项和公式仍
将是考查的重点,特别是等比数列的性

质更要引起重视.

规范解答
(本题满分 12 分)(2010· 高考福建卷) 1 数列{an}中,a1= ,前 n 项和 Sn 满足 Sn 3 1 n+ 1 * - S = ( ) ( n ∈ N ). +1 n 3 (1)求数列{an}的通项公式 an 以及前 n 项 和 Sn;


(2)若 S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数 列,求实数 t 的值.

【解】

1 n+1 (1)由 Sn+1-Sn=( ) 得 an+1 3

1 n+ 1 =( ) (n∈N*). 3 1 1n 又 a1= ,故 an=( ) (n∈N*).3 分 3 3 1 1n ×[1-? ? ] 3 3 1 1n 从而 Sn= = [1-( ) ] 1 2 3 1- 3 (n∈N*).6 分

1 4 13 (2)由(1)可得 S1= ,S2= ,S3= .8 分 3 9 27 从而由 S1, t(S1+S2), 3(S2+S3)成等差数 列得 1 4 13 1 4 +3×( + )=2×( + )t, 3 9 27 3 9 解得 t=2.12 分

【名师点评】

本题考查了等比、等

差数列的基本运算,试题难度较小,

但仍有一些考生失分,其原因是:未
想到Sn+1-Sn=an+1,把(2)中成等差

看成等比进行计算导致失分.

知能演练轻松闯关

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