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辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一下学期期末考试 数学



沈阳二中 2014—2015 学年度下学期期末考试 高一(17 届)数学试题
命题人: 高一数学组 审校人: 高一数学组
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷

(60 分)

一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分

,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)
1 .设全集 U=R,集合 M ? {x || x ?

1 5 ) |? }, P ? {x | ?1 ? x ? 4} ,则 (CU M ) ? P 等于 ( 2 2 A. {x | ?4 ? x ? ?2} B. {x | ?1 ? x ? 3} C. {x | 3 ? x ? 4} D. {x | 3 ? x ? 4}
( ) B. a ? b < a ? b D. a ? b < a ? b ( ) D.2
开始
输入 n

2 .如果 a,b ? R,且 ab<0 那么下列不等式成立的是

A. a ? b > a ? b C. a ? b < a ? b A.8 B.5 C.3

s ? 0, t ? 1, k ? 1, p ? 1

3 .执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 p 是

k?n




p ? s?t s ? t, t ? p k ? k ?1

4.若 0<a<1,且函数 f ( x) ?| loga x | ,则下列各式中成立的是




输出 p 结束

1 1 1 B. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 4 4 3 1 1 1 1 C. f ( ) ? f (2) ? f ( ) D. f ( ) ? f ( ) ? f (2) 3 4 4 3 5 .不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集是 ( ) A. [?5, 7] B. [?4, 6] C. (??, ?5] ? [7, ??) D. (??, ?4] ? [6, ??)
A. f (2) ? f ( ) ? f ( )
6 .某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下:

1 3

5

9 6 3 7

8 1 2 1

甲 8 0 0 0

1 2 3 4

乙 7 2 0

7 5 2

9 6 3

9 7

9

9

根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确 的是 ( ... A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数



C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
7 .数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn ,则 a6 ?





A. 3 ? 4 4

B. 3 ? 4 4 ? 1 C. 4

4

D. 4 ? 1
4

8 .若非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| b | ,则

( B. | 2a |?| 2a ? b | D. | 2b |?| a ? 2b |



A. | 2a |?| 2a ? b | C. | 2b |?| a ? 2b |

9 .已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) = 3





A. ?

2 3

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

O 的表面上,E,F 分别为棱 AB, 10.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 8 个顶点都在球
A1D1 的中点,则经过 E,F 球的截面面积的最小值为 科网 ( A.A. ? ( )学

3 8

B.

? 2

C. ?

5 8

D. ? 学科网
?1

7 8

11 . 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 的 反 函 数 为 f

( x) , 且 对 于 任 意 的 x ? R , 都 有

f (? x) ? f ( x) ? 3 ,则 f ?1 ( x ?1) ? f ?1 (4 ? x) 等于
( A.0 ) B.-2 C.2
2

D. 2 x ? 4

12.设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a

?

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最小值是 ab a(a ? b)
D.5





A.2

B.4

C. 2 5

第Ⅱ卷

(90 分)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分)

13.已知 sin ? ?

1 ? ? cos ? ,且 ? ? (0, ) ,则 2 2
2 2 2 2 2

cos 2?

sin(? ? ) 4
2

?

的值为 _____________

14. 已知两圆(x-1) +(y-1) =r 和(x+2) +(y+2) =R 相交于 P,Q 两点,若点 P 坐标为(1,2),则点 Q

的坐标为________.
15.已知 S n是公差为 d的等差数列 {an }(n ? N
*

)的前n项和, 且S6 ? S7 ? S5 ,则下列四个

命题:① d ? 0 ;② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④ S13 ? 0 中为真命题的序号为___________.
16.设点 P 是 ?ABC 内一点(不包括边界),且 AP ? mAB ? nAC(m, n ? R) ,则 m ? n
2

??? ?

??? ?

??? ?

2

?2m ? 2n ? 3 的取值范围是_____________
三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 若

AB ? AC ? BA? BC ? k (k ? R).
(Ⅰ)判断△ABC 的形状; (II)若 c ?

2 , 求k 的值.

18. (本小题满分 12 分)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 ? a4 ? 6, S4 ? 10 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? an ? 2n (n ? N* ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 19 . (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中 ,平面区域 W 中的点的坐标 ( x, y ) 满足

x2 ? y 2 ? 5 ,从区域 W 中随机取点 M ( x, y) .
(Ⅰ)若 x ? Z , y ? Z ,求点 M 位于第四象限的概率; (Ⅱ)已知直线 l : y ? ? x ? b (b ? 0) 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 5 相交所截得的弦长为 15 , 求 y ? ? x ? b 的概率.

20. (本小题满分 12 分)如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,△ABC

为等边三角形,D,E 分别是 BC,CA 的中点. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAC; (Ⅱ)如何在 BC 上找一点 F,使 AD//平面 PEF?并说明理由; (Ⅲ)若 PA=AB=2,对于(Ⅱ)中的点 F,求三棱锥 P-BEF 的体积.

21. (本小题满分 12 分) y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0

时, f ( x) ? 2 x ? x2 。 (Ⅰ)求 x ? 0 时, f ( x ) 的解析式; (II)问是否存在这样的正数 a , b , 当 x ?[ 且 g ( x) 的值域为 [ , ] ab , ] 时,g ( x) ? f ( x) , 若存在,求出所有的 a , b 值,若不存在,请说明理由.

1 1 b a

22. (本小题满分 12 分)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 ,点 P 为直线 l : x ? 4 上的动点. (I)若从 P 到圆 O 的切线长为 2 3 ,求 P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长; (II)若点 A(?2, 0), B (2, 0), 直线 PA, PB 与圆 O 的另一个交点分别为 M , N ,求证:直线

MN 经过定点 (1,0) .

沈阳二中 2014—2015 学年度下学期期末考试 高一(17 届)数学答案
1—12 13. ? DBCDD DACBC AB ①② 16. ( ,3)

14 2

14. (2,1) 15.

3 2

17.解: (Ⅰ)? AB ? AC ? cb cos A, BA? BC ? ca cos B

又 AB ? AC ? BA ? BC ? bc cos A ? ac cos B ? sin B cos A ? sin A cos B 即 sin A cos B ? sin B cos A ? 0 ? sin(A ? B) ? 0 ? ?? ? A ? B ? ? ?A? B ? ?ABC 为等腰三角形 ……………………… 5 分
(Ⅱ)由(I)知

b2 ? c2 ? a2 c2 ? AB ? AC ? bc cos A ? bc ? ? 2bc 2 ?c ? 2 ? k ? 1 …………………………… 10 分
18.解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,由 a2 ? a4 ? 6, S4 ? 10 ,

?2a1 ? 4d ? 6 ? 可得 ? 4?3 4a1 ? d ? 10 ? ? 2
即?

,

?a1 ? 2d ? 3 , ?2a1 ? 3d ? 5 ?a1 ? 1 , ?d ? 1

解得 ?

∴ an ? a1 ? ? n ?1? d ? 1 ? (n ?1) ? n , 故所求等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n (Ⅱ)依题意, bn ? an ? 2n ? n ? 2n ,
…………………………… 6 分

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ? ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n ,
又 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ?

?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ,

两式相减得 ?Tn ? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 ? 2n ) ? n ? 2n?1

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 ,
…………………………… 12 分

∴ Tn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2

19.解:(Ⅰ)若 x ? Z , y ? Z ,则点 M 的个数共有 21 个,列举如下:

(?2, ?1),(?2,0),(?2,1) ; (?1, ?2),(?1, ?1),(?1,0),(?1,1),(?1, 2) ;

(0, ?2),(0, ?1),(0,0),(0,1),(0, 2) ; (1, ?2),(1, ?1),(1,0),(1,1),(1, 2) ; (2, ?1),(2,0),(2,1) .
当点 M 的坐标为 (1, ?1),(1, ?2),(2, ?1) 时,点 M 位于第四象限. 故点 M 位于第四象限的概率为

(Ⅱ)由已知可知区域 W 的面积是 5? . 因为直线 l : y ? ? x ? b 与圆 O : x2 ? y 2 ? 5 的弦长为 15 , 如图,可求得扇形的圆心角为 所以扇形的面积为 S ?

1 7

…………………………… 6 分

2 ?, 3

1 2 5 ? ? ? 5? 5 ? ? , 2 3 3

则满足 y ? ? x ? b 的点 M 构成的区域的面积为

5 1 2 20? ? 15 3 , S ? ? ? ? 5 ? 5 ? sin ? ? 3 2 3 12
所以 y ? ? x ? b 的概率为

20? ? 15 3 4? ? 3 3 12 ? 5? 12?

…………………………… 12 分

20.(Ⅰ)在等边⊿ABC 中 D,E 分别为 AC,BC 中点

? BE ? AC , AD ? BC 又PA ? 面ABC,PA ? 面PAC ? 面PAC ? 面ABC ? AC ? BE ? 面PAC 又BE ? 面PBE ? 面PBE ? 面PAC
…………………………… 4 分

(Ⅱ)取 CD 中点 F,连接 EF,PF 在⊿ACD 中,E,F 分别为 AC,CD 中点

1 AD 2 ? AD ? 面PEF , EF ? 面PEF EF / / ? AD / / 面PEF
…………………………… 8 分

(Ⅲ)在等边⊿ABC 中,AB=2

1 3 3 AD ? , BF ? 2 2 2 又 ? EF / / AD ? EF ? BC ? EF ? ? S? BEF ? 1 3 3 BF ? EF ? 2 8 PA ? 面ABC , PA ? 2 3 4

?VP ? BEF ?

…………………………… 12 分

21.解:(Ⅰ)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 于是 f (? x) ? ?2 x ? x ,
2

又 f ( x ) 为奇函数,所以 f ( x) ? ? f (? x) ? 2 x ? x ,即 f (x) ?2 x ?x (x ?0) ,…………
2 2

4分

(Ⅱ)分下述三种情况: ① 0 ? a ? b ? 1, 那么

1 ? 1 ,而当 x ? 0, f ( x) 的最大值为 1, a

故此时不可能使 g ( x) ? f ( x) , ②若 0 ? a ? 1 ? b ,此时若 g ( x) ? f ( x) ,则 g ( x) 的最大值为 g (1) ? f (1) ? 1 ,得 a ? 1 , 这与 0 ? a ? 1 ? b 矛盾; ③若 1 ? a ? b ,因为 x ? 1 时, f ( x ) 是减函数,则 f ( x) ? 2 x ? x2 , 于是有

?1 ? g (b) ? ?b 2 ? 2b 2 ? ? ?b ?(a ? 1)(a ? a ? 1) ? 0 ?? ? 2 ? ?(b ? 1)(b ? b ? 1) ? 0 ? 1 ? g ( a ) ? ? a 2 ? 2a ? ?a

?a ? 1, 1? 5 ? 考虑到 1 ? a ? b, 解得 a ? 1, b ? ;综上所述 ? 1 ? 5 …………………………… 2 . ?b ? ? 2
12 分

22.解:根据题意,设 P(4, t ) . (I)设两切点为 C , D ,则 OC ? PC , OD ? PD , 由题意可知 | PO |2 ?| OC |2 ? | PC |2 ,即 42 ? t 2 ? 22 ? (2 3)2 , 解得 t ? 0 , 所以点 P 坐标为
(4, 0) ,

在 Rt ?POC 中 , 易 得 ?POC ? 60? , 所 以 ?DOC ? 120? 2π 4π ?2 ? 3 3
…………………………… 4 分

所以两切线所夹劣弧长为

(II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , Q(1,0) ,依题意,直线 PA 经过点 A( ?2,0), P(4, t ) ,

? y ? ( x ? 2) t 可以设 AP : y ? ( x ? 2) , 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 联立,得到 ? 6 6 2 2 ? ?x ? y ? 4
代入消元得到, (t 2 ? 36) x2 ? 4t 2 x ? 4t 2 ? 144 ? 0 , 因为直线 AP 经过点 A(?2,0), M ( x1, y1 ) ,所以 ?2, x1 是方程的两个根, 所以有 ?2 x1 ?

?

t

,

4t 2 ? 144 , t 2 ? 36

x1 ?

72 ? 2t 2 , t 2 ? 36

t 72 ? 2t 2 24t t 代入直线方程 y ? ( x ? 2) 得, y1 ? ( 2 ? 2) ? 2 6 6 t ? 36 t ? 36

? y ? ( x ? 2) t 同理,设 BP : y ? ( x ? 2) ,联立方程有 ? , 2 2 2 2 ? ?x ? y ? 4
代入消元得到 (4 ? t 2 ) x2 ? 4t 2 x ? 4t 2 ? 16 ? 0 , 因为直线 BP 经过点 B(2,0), N ( x2 , y2 ) ,所以 2, x2 是方程的两个根,

?

t

2 x2 ?

4t 2 ? 16 2t 2 ? 8 , x2 ? 2 , 2 t ?4 t ?4

t 2t 2 ? 8 ?8t t 代入 y ? ( x ? 2) 得到 y2 ? ( 2 ? 2) ? 2 2 2 t ?4 t ?4
若 x1 ? 1 ,则 t 2 ? 12 ,此时 x2 ?

2t 2 ? 8 ?1 t2 ? 4

显然 M , Q, N 三点在直线 x ? 1 上,即直线 MN 经过定点 Q (1,0)
2 若 x1 ? 1 ,则 t ? 12 , x2 ? 1 ,

所以有 k MQ

24t ?8t 2 2 y1 ? 0 8 t y ? 0 ? 4 ? ?8t , k NQ ? 2 ? ? t ? 36 ? ? t 2 2 2 x1 ? 1 72 ? 2t 12 ? t x2 ? 1 2t ? 8 t 2 ? 12 ? 1 ? 1 t 2 ? 36 t2 ? 4
所以 M , N , Q 三点共线,即直线 MN 经过定点 Q (1,0) .
…………………………… 12 分

所以 kMQ ? kNQ ,

综上所述,直线 MN 经过定点 Q (1,0)



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