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浙江省杭州高级中学届高三数学月模拟考试试题理-课件



2016 年 5 月杭州高级中学高考模拟 数学(理科)试题卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生按规定用笔将所有试 题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 球的表面积公式 棱柱的体积公式 2 S=4π R V=Sh 球的体积公式 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高. 4 V= π R3 棱台的体积公式 3 1 其中 R 表示球的半径 V= h(S1+ S1S2 +S2) 3 棱锥的体积公式 其中 S1、S2 表示棱台的上、下底面积,h 表 1 V= Sh 示棱台的高. 3 其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 M ? {x | x2 ? 1 ? 0} , N ? ? x | A. {?1,0} 2.已知函数 f ( x ) ? ? B. {1}

? ?

1 ? ? 2 x ?1 ? 4, x ? N ? ,则 M ? N ? 2 ? C. {?1,0,1} D. ?0?

(

)

?2 x

?1 ? x ? 1

? f ( x ? 2) ? 1, 1 ? x ? 3

,则函数 g ( x ) ? f ( f ( x )) ? 2 在区间 ( ?1,3]

上的零点个数是( ) A.1 B.2 C. 3 1 1 3.已知 2 x ? 72 y ? A ,且 ? ? 2 ,则 A 的值是( x y A. 7 B. 7 2 C. ?7 2

D.4 ) D. 98
o

4.设 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,则“ ?C ? 90 ”的一个充分非必要条件是 ( A. sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C C. c2 ? 2(a ? b ? 1) B. sin A ?

)

1 3 , cos B ? 4 4 D. sin A ? cos B

1

5.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n , an?1 ? 3Sn ,则下列关于 {an } 的论断中正确的是 ( )

A .一定是等差数列

B .一 定是等比数列 D .可能是等比数列,但不会是等差数列

C .可能是等差数列,但不会是等比数列

?x ? y ? 4 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 3 ? 0 6.已知不等式组 ? 所表示的平面区域为 M,不等式组 ? 所表示的平面区域为 N, ?x ? 4 y ? 1 ? 0 ?2 x ? 2 y ? 3 ? 0

若 M 中存在点在圆 C : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 = r 2 (r > 0) 内,但 N 中不存在点在圆内,则 r 的取值范围是 ( A. (0, )
13 ] 2 13 , 17 ) 2 5 2 ] 4

B. (

C. (0, 17)

D. (0,

x2 y2 7.已知双曲线方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , A(0, b) , C (0,?b) , B 是双曲线的左顶点, F 是双曲 a b 线的左焦点,直线 AB 与 FC 相交于 D ,若双曲线离心率为 2,则 ?BDF 的余弦值为( )
A.

7 7

B.

2 7 7

C.

7 14

D.

5 7 14


8.如图,点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的表面上运动,且 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,如果将正方 体在平面内展开,那么动点 P 的轨迹在展开图中的形状是(

A.

B.

C.

D.

2

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题有 7 小题, 多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答题卷的相应位 置. 9. 在等差数列 {an } 中,a2 ? 5 ,a1 ? a4 ? 12 , 则 an ? 的前 n 项的和 Sn ? . , 设 bn ?

1 (n ? N * ) ,则数列 {bn } an ? 1
2

10 . 已 知 空 间 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是 ;几何体的体积是 。 图,则函数 不变,横坐

11.函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如 表达式为 标缩短为原来的
2

;若将该函数向左平移 1 个单位,再保持纵坐标

1 倍得 到函数 g ( x) ? 2
2

。 F 为抛物线的 不同的点,从

12.设圆 x ? y ? 12 与抛物线 x ? 4 y 相交于 A,B 两点,
2

焦点,若过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线和圆交于四个 左至右依次为 P 1, P 2, P 3, P 4 ,则|P1P2|+|P3P4|的值 ⌒ 上,则|MF|+|NF|的取值范围是 相切,切点 D 在劣弧AB 13.设 a, b, c 为正数,且 a ?

,若直线 m 与抛物线相交于 M,N 两点,且与圆 。

b c ? ? 1.则 3a2 ? 2bc ? 2ac ? 3ab 的最大值为 2 3

14.在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=EF=1,BC=6, CA ? 33 , 若 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于 .

15.如图,正四面体 ABCD 的顶点 C 在平面 α 内,且直线 BC 与平面 α 所成角为 15°,顶点 B 在平面 α 上的射影为点 O,当顶点 A 与点 O 的距离最大时,直线 CD 与平面α 所成角的正弦值为__________

3

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 A, B, C 所对边, a ? b ? 4 , (2 ? cos A) tan (1) 求边长 c 的值; (2)若 E 为 AB 的中点,求线段 EC 的范围。

C ? sin A 2

17.在矩形 ABCD 中, AB ? 4 5 , AD ? 2 5 ,将 ?ABD 沿 BD 折起,使得点 A 折起至 A? ,设二面角 A? ? BD ? C 的大小为 ? .
? (1)当 ? ? 90 时,求 A?C 的长; (2)当 cos ? ?

1 时,求 BC 与平面 A?BD 所成角的正弦值. 4
A

D

F E

C

D E

F B

C

A
2

B

A

18.设函数 f ? x ? ? x ? ax ? a ? 3 , g ? x ? ? ax ? 2a 。

(1)若函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在 ? ?2,0? 上有两个零点,求实数 a 的取值范围; (2)若存在 x0 ? R ,使得 f ? x0 ? ? 0 与 g ? x0 ? ? 0 同时成立,求实数 a 的最小值。 19.如图,焦点在 x 轴的椭圆 ,离心率 e ?

2 ,且过点 A (-2,1) ,由 2 椭圆上异于点 A 的 P 点发出的光线射到 A 点处被直线 y ? 1 反射后 交椭圆于 Q 点( Q 点与 P 点不重合).

(1)求椭圆标准方程; (2)求证:直线 PQ 的斜率为定值; (3)求 ?OPQ 的面积的最大值.

1 2 an , n ? N ? 2 a 1 1 1 (a ? 0) ,求 (1)若 a1 ? 的值; ? ? ??? ? 1 ? 2a 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a10
20. 数列 ?an ? 定义为 a1 ? 0 , a11 ? a , an ?1 ? an ? (2)当 a ? 0 时,定义数列 ?bn ? , b1 ? ak (k ? 12) , bn?1 ? ?1 ? 1 ? 2bn ,是否存在正整 数 i, j (i ? j ) ,使得 bi ? b j ? a ? 理由。 2016 届热身卷答案 一、DCBB CDCB 二、9 2n ? 1

1 2 a ? 1 ? 2a ? 1 。如果存在,求出一组 (i, j ) ,如果不存在,说明 2

n 10 28+8π . 4n ? 4

12+4π . 11 y ? sin(

?
4

x?

?
4

)

y ? cos

?
2

x

12 5 2

?2 ? 4

3,22 ,

?

13 3

14 cos θ ?

2 15 3

6 6
4

三. 16. (1) 2c ? a ? b ? c ? 2 (2)方法一:易得 CE ?
2

a2 ? b2 ? 1 ? b 2 ? 4b ? 7 (a ? 4 ? b) 2

又?

?a ? c ? b ?1? b ? 3 ?b ? c ? a

CE ? 3,2

? ?

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 方法二:以 AB 所在直线为 x 轴, 中垂线为 y 轴,则 C 的轨迹方程是 4 3 得 CE 2 ? cos2 ? ? 3 ? ?3,4? 故 CE ? 3,2 17. (1)在图 1 中,过 A 作 BD 的垂线交 BD 于 E ,交 DC 于 F ,

三角代换,可

? ?

则 AE ?

AD ? AB 4 5 ? 2 5 ? ? 4, BD 10

从而 DE ? 2, EF ? 1, BE ? 8 如图 2,以 DA, DC 所在直线分别为 x, y 轴,建立空间直角坐标系。

A?(

2 5 4 5 , , 4) , C(0, 4 5,0) 5 5

A?C ? (

2 5 2 16 5 2 2 ) ?( ) ? 4 ? 2 17 5 5
1 时, A?F ? 42 ?12 ? 2 ? 4 ?1? cos? ? 15 4
?

(2)当 cos ? ?

由余弦定理知 ?A?FE ? 90

又易知 BD ? 平面 A?EF ,故有 BD ? A?F 所以 A?F ? 平面 ABCD

A?(0, 5, 15) ,
故 DA? ? (0, 5, 15) ,又 DB ? (2 5, 4 5,0) , 求得 A?DB 的法向量 n1 ? (2 3, ? 3,1) 又 CB ? (2 5,0,0) 设 BC 与平面 A?BD 所成角为 ? ,

????

??? ?

??

??? ?

??? ? ?? ??? ? ?? CB ? n1 3 sin ? ? cos ? CB, n1 ? ? ??? ? ?? ? 2 CB ? n1
18 解: (I)由已知, h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? 2ax ? 3a ? 3 ? 0 在 ? ?2,0? 上有两个不同的实数解,所以
2

5

? ? h ? ?2 ? ? 7 a ? 7 ? 0 ? a ? ?1 ? ? ? h ? 0 ? ? 3a ? 3 ? 0 ? ,即 ? , ?2 ? a ? 0 ? ?2 ? a ? 0 ? ? 2 ? ?a ? 3 ? 21 或a ? 3 ? 21 ? ? 4 a ? 12 a ? 12 ? 0 ? ? ? 2 2
解得 ?1 ? a ?

3 ? 21 。????6 分 2
? x0 2 ? ax0 ? a ? 3 ? 0 ? ax0 ? 2a ? 0

(II)由已知, ?

(1) (2)

2 (1)+(2)得 x0 ? a ? 3 ,得 a ? 3 ,????8 分

再由(2)得 x0 ? 2 ,由(1)得 a ? x0 ?1? ? x0 ? 3 ,得 x0 ? 1 。????10 分
2

于是,问题等价于: a ? 3 ,且存在 x0 ? ?1,2? 满足 x02 ? ax0 ? a ? 3 ? 0 。????12 分 令 t ? x0 ?1? ? 0,1? , a ? 因为 ? ? t ? ? t ?

x0 2 ? 3 4 ? t ? ? 2, x0 ? 1 t

4 ? 2 在 ? 0,1? 上单调递减, t

所以 ? ? t ? ? ? ?1? ? 7 ,即 a ? 7 故实数 a 的最小值为 7。????15 分

19 解: (1)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

?e ?

c 2 ,椭圆经过点 (?2,1) ? a 2

? 椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 6 3

5分

(2)设直线 AP 方程为 y ? k ( x ? 2) ? 1 ,则直线 AQ 的方程为 y ? ?k ( x ? 2) ? 1

? y ? kx ? 2k ? 1 ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 可得 (1 ? 2k ) x ? 4k (2k ? 1) x ? 8k ? 8k ? 4 ? 0 ?1 ? ? 3 ?6
? ? 0 ,设 P( x1 , y1 ) , 由 A(?2,1) 可得

?4k (2k ? 1) ?4k 2 ? 4k ? 2 ?4k 2 ? 4k ? 2 ?2k 2 ? 4k x1 ? 2 ? , x1 ? , ) ,? P( 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
6

同理可得 Q(

?4k 2 ? 4k ? 2 ?2k 2 ? 4k , ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

kPQ

?2k 2 ? 4k ?2k 2 ? 4k ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ? ?1 2 ?4k ? 4k ? 2 ?4k 2 ? 4k ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

10 分

? y ? ?x ? m ? (3)由(2) ,设 PQ 的方程为 y ? ? x ? m .由 ? x 2 y 2 联立得: ? ? 1 ? 3 ?6
? PQ ?
2

16(9 ? m2 ) 2 3x ? 4mx ? 2m2 ? 6 ? 0 令 ? ? 0 ,得 ?3 ? m ? 3 , 9

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ?

4m 2m 2 ? 6 16(9 ? m2 ) 2 , x1 ? x2 ? ,? PQ ? 3 3 9
2

设原点 O 到直线的距离为 d ,则 d ?
2 ? s? OPQ ?

m2 2

1 2m2 (9 ? m2 ) 9 2 PQ d 2 ? ? , 4 9 2
15 分

当m ? ?

3 2 3 2 时, ? OPQ 面积的最大值为 2 2

20. (1) an ?1 ?

(an ? 2)an 1 2 , ? 2 an?1 (an ? 2)an

所以

1 1 1 ? ? an ?1 an an ? 2



1 1 1 ? ? an ? 2 an an ?1
7

所以

1 1 1 1 1 1 ? 2a 1 ? ? ??? ? = ? ? ? ?2 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a10 a1 a11 a a

(2)由 bn?1 ? ?1 ? 1 ? 2bn , 得 bn ?1 ? 1 ? 1 ? 2bn ,两边平方

(bn?1 ?1)2 ? 1 ? 2bn
所以 bn ? bn ?1 +

1 2 bn ?1 2 1 2 1 2 b2 知 ak ? b2 + b2 , 2 2

当 b1 ? ak 时,由 b1 ? b2 + 又 ak ? ak ?1 ? 所以 b2 ? ak ?1

1 2 ak ?1 ,数列 ?an ? 递增 2

类似地, b3 ? ak ?2 , ???, bt ? ak ?t ?1 , 又a?

1 2 a ? a12 , 2 1 ( 1 ? 2a ? 1) ? ( 1 ? 2a ? 1) 2 ? a ? a11 , 2

1 ? 2a ?1 ? a10
bi ? bj ? a10 ? a12
所以 ak ?i ?1 ? ak ? j ?1 ? a10 ? a12 存在正整数 i, j (i ? j ) , k ? i ? 1 ? 12, k ? j ? 1 ? 10

i ? k ? 11, j ? k ? 9
存在一组 (i, j ) ? (k ? 11, k ? 9)

8



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