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高中数学必修4(北师大版)第一章三角函数章末评估A



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第一章章末评估 A
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 答题表 题号 答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.如果点 P

(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那么角 θ 所在的象 限是( ) B.第二象限 D.第四象限 P(sinθcosθ , 2cosθ) 在 第 三 象 限 可 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共 50 分)

A.第一象限 C.第三象限 解 析 : 由 点

sinθcosθ<0,2cosθ<0,即得 sinθ>0,cosθ<0,由 sinθ>0 可得 θ 的终边 在第一或第二象限或 y 轴非负半轴上,由 cosθ<0 可得 θ 的终边在第 二或第三象限或 x 轴非正半轴上, 因此 θ 为第二象限角. 答案:B α 2.已知 α 为第三象限的角,则 所在的象限是( 2 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 B.第二或第三象限 D.第二或第四象限 )

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金太阳新课标资源网 解析:解法一:如图.

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将每个象限二等分,标号 3 所 α 在的区域即为 所在的区域,故选 2 D. 3π 解法二: ∵π+2kπ<α< +2kπ, 2 π α 3π k∈Z,∴ +kπ< < +kπ,k∈Z, 2 2 4 α ∴ 为第二或第四象限角.故选 D. 2 答案:D π 3.如果函数 y=sin 2x+acos 2x 的图像关于直线 x=- 对称, 8 那么 a=( A. 2 C.1 ) B.- 2 D.-1

π 解析:解法一:∵x=- 是此函数的一条对称轴 8
? π ? ? π ? ∴f ?-8+x?=f ?-8-x?对定义域上的任何值都成立, ? ? ? ? ? π π? π 令 x=- ,则有 f ?-8+8 ?=f (0)=sin0+acos0=a, 8 ? ? ? π π? ? π? ? π? ? π? f ?-8-8? =f ?-4? =sin?-2? +acos?-2? =-1.∴a=-1.∴应 ? ? ? ? ? ? ? ?

选 D.
? π ? π 解法二:∵点(0,0)与点?-4,0?关于直线 x=- 对称.依题意有 8 ? ? ? π? ? π? a 必须满足: sin0+acos 0=sin?-2?+acos?-2?, a=-1 是必要条 即 ? ? ? ?

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件,从而排除 A、B、C 项得 D 项. 答案:D 4.角 α 的终边在第三象限,则下列各式中符号为正的是( A.sinα+cosα C.sinα-cosα B.cosα-tanα D.tanα-sinα )

解析: 要确定一个式子的符号, 一般需要确定式子中每一个三角 函数值的符号, 三角函数值的符号要根据角所在的象限来确定, 因此 熟练掌握各象限角的三角函数值的符号是解题的关键.因为 α 在第 三象限,所以 tanα>0,sinα<0,所以只有 D 为正号. 答案:D 5.函数 y=|sinx|+sin|x|的值域为( A.[-2,2] C.[0,2] B.[-1,1] D.[0,1] x≥0 x<0 ,由图像易知选 C. )

? ?|sinx|+sinx 解析:y=? ? ?|sinx|-sinx

答案:C 6.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-3,- 2]上是减函数,α、β 是锐角三角形的两个内角,则( A.f(sinα)>f(cosβ) C.f(sinα)>f(sinβ) B.f(sinα)<f(cosβ) D.f(cosα)>f(cosβ) )

解析:本题涉及到三角函数周期性、单调性、奇偶性及三角形中 三角函数的有关性质. ∵f(x+1)=-f(x),且 f(x)为偶函数, ∴f(x)的周期为 2,且关于 x=1 对称,故因 x 在[-3,-2]上是 减函数,则在[0,1]上是增函数, 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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金太阳新课标资源网 π π 又 α+β> ,α> -β, 2 2

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∴sinα>cosβ>0,∴f(sinα)>f(cosβ),故应选 A. 答案:A π? ? 7.(2010· 全国Ⅱ理,7)为了得到函数 y=sin?2x-3 ?的图像,只需
? ?

π? ? 把函数 y=sin?2x+6?的图像(
? ?

)

π A.向左平移 个长度单位 4 π B.向右平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2 π D.向右平移 个长度单位 2 π π 解析:∵y=sin(2x- )=sin[2(x- ], 3 6 π π y=sin(2x+ )=sin[2(x+ )], 6 12 令 x+ π π +φ=x- , 12 6

π π π ∴φ=- ,即 y=sin(2x+ )的图像向右平移 个单位得到 y= 4 6 4 π sin(2x- )的图像,选 B. 3 答案:B
? π? 8.函数 f(x)=3sin?2x-3?的图像为 C, ? ?

①图像 C 关于直线 x=

11 π 对称; 12

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?

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?

? π 5π? ②函数 f(x)在区间?-12,12?内是增函数;

π ③由 y=3sin 2x 的图像向右平移 个单位长度可以得到图像 C. 3 以上三个论断中,正确论断的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

11 解析:将 x= π 代入函数得 12
?11 ? ? 11 π? F ?12π?=3sin?2×12π-3 ?=-3.∴①正确; ? ? ? ?

π π? π ? 令 2x- ∈?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z), 3 ? ?
? π 5π? 即 x∈?kπ-12,kπ+ 12?(k∈Z) ? ?

π ∴②正确;将 y=3sin 2x 图像向右平移 个单位得 3
? π? ? 2π? y=3sin 2?x-3?=3sin?2x- 3 ?.∴③错误.故选 C. ? ? ? ?

答案:C
? π π? 9.已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间?-3,4?上的最小值是- ? ?

2,则 ω 的最小值等于( 2 A. 3 C.2 B. 3 2 D.3

)

2π 3 T π 解析:由题意知 ≤ ,T= ω ?2ω≥3,ω≥ ,故选 B. 4 3 2 答案:B

第 5

10.(2011· 全国大纲文,7)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x) 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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π 的图像向右平移 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则 ω 的 3 最小值等于( 1 A. 3 C.6 B.3 D.9 )

π 解析:本题考查三角函数的性质及图像的平移,向右平移 个单 3 位长度后,图像与原图像重合,说明至少右移了 1 个周期,由此可得 到一个关于 ω 的不等式. 2π π T= ω ,根据题意将 y=f(x)的图像右移 个单位长度,图像与原 3 图像重合,说明右移了 k(k∈Z,k≥1)个周期, π 2π ∴ ≥kT=k· , ω 3 ω ∴1≤k≤ , 6 ∴ω≥6. 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案 填写在题中横线上) 2π 6π 7π 11.sin ,cos ,tan 从小到大的顺序是__________. 5 5 5 π 解析:∵0<x< 时,tanx>x>sinx>0, 2 2π 2π 6π 2π 7π ∴tan >sin >0,∴cos <sin <tan . 5 5 5 5 5 6 2 7 答案:cos π<sin π<tan π 5 5 5
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6π 7π 2π cos <0,tan =tan . 5 5 5 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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12.动点 P,Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点 P 按逆时针方向 π π 每秒钟转 弧度,点 Q 按顺时针方向每秒钟转 弧度,则 P,Q 第一 3 6 次 相 遇 时 P , Q 点 各 自 走 过 的 弧 度 为 ______________ , ______ ________. 4 2 答案: π - π 3 3 13.函数 f(x)=lg(2cosx- 3)的单调增区间为______________. 解析:2cosx- 3>0 即 cosx> 3 .由图像观察 2

π 2kπ- <x≤2kπ,k∈Z 时,为增函数. 6 π 答案:(2kπ- ,2kπ],(k∈Z) 6 14.(2009· 辽宁文,14)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图像如 图所示,则 ω=________.

解析:考查正弦型函数的求法,由图像求出 T,进而求出 ω. π 4 2π 3 T 2 由图知 = π- ?T= π,∴ω= T = . 4 3 3 3 2 答案: 3 2

1 15.函数 y= 的值域是________. 1-cosx
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金太阳新课标资源网 解析:∵y-ycosx=1,

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?y-1? y-1 ?≤1, ∴y-1=ycosx,cosx= y ,∴? ? y ? ?1 ? 1 解得 y≥ ,值域为?2,+∞?. 2 ? ? ?1 ? 答案:?2,+∞? ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 3 16.(本小题满分 12 分)设角 α1=-570° 2=750° 1= π,β2 ,α ,β 5 7 =- π 3 (1)将 α1、α2 用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限; (2)将 β1、 2 用角度制表示出来, β 并在-720° ~0° 之间找出它们有 相同终边的所有角. 解:(1)∵180° rad,∴-570° =π =-570× ∴α1=- 19 5π π=-2×2π+ , 6 6 π 19 =- π, 180 6

π 同理 α2=2×2π+ , 6 ∴α1 在第二象限,α2 在第一象限.
?3π 180? 3 (2)∵β1= π=? 5 × π ?° =108° . 5 ? ?

设 θ=k· +β1(k∈Z). 360° 由-720° ≤θ<0° ,∴-720° 360° ≤k· +108° <0° ∴k=-2 或 k=-1 ∴在-720° ~0° 间与 β1 有相同终边的角是-612° 和-252° .
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同理 β2=-360° -60° =-420° ,且在-720° ~0° 间与 β2 有相同 的终边的角是-420° 和-60° . 1 17.(本小题满分 12 分)已知 cos(75° +α)= ,α 是第三象限角, 3 求 sin(105° -α)+cos(α-105° )的值. 1 解:∵α 是第三象限角,且 cos(75° +α)= >0, 3 ∴75° 是第四象限角. +α
?1 ? 1 不妨设 α+75° 与单位圆的交点为?3,x?,则 x<0,有 +x2=1, 9 ? ?

∴x=-

2 2 2 2 .即 sin(α+75° )=- . 3 3

原 式 = sin(105° α) + cos(105° α) = sin[180° (75° α)] + - - - + cos[180° -(75° +α)]=sin(75° +α)-cos(75° +α) =- 1+2 2 2 2 1 - =- . 3 3 3

18.(本小题满分 12 分)判断下列各式的符号. (1)sin340°cos265° · ;(2)sin4· cos4. 解:(1)∵340° 是第四象限角,265° 是第三象限角, ∴sin340° <0,cos265° <0,∴sin340°cos265° · >0. 3 (2)∵π<4< π,∴4 弧度是第三象限角. 2 ∴sin4<0,cos4<0,∴sin4cos4>0. 19.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, x∈R)在一个周期内的图像如图所示,求直线 y= 3与函数 f(x)图像 的所有交点的坐标.

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2π 1 解:由图可知,函数 f(x)的 A=2,T= ω =4π,∴ω= , 2
?1 ? 此时 f(x)=2sin?2x+φ?, ? ? ?π? 又 f?2?=2, ? ? ?π ? π 得 sin?4+φ?=1,∴φ=2nπ+ ,n∈Z, 4 ? ? ?1 π? ∴f(x)=2sin?2x+2nπ+4 ?, ? ? ?1 π? 即 f(x)=2sin?2x+4?, ? ? ?1 π? 当 f(x)= 3,即 2sin?2x+4?= 3, ? ? ?1 π? 3 即 sin?2x+4?= , 2 ? ?

1 π π 1 π 2π ∴ x+ =2kπ+ 或 x+ =2kπ+ ,k∈Z, 2 4 3 2 4 3 π 5π ∴x=4kπ+ 或 x=4kπ+ ,k∈Z, 6 6
? π ? ? 5π ? ∴所求交点的坐标为?4kπ+6, 3?或?4kπ+ 6 , 3?其中 k∈Z. ? ? ? ?

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wx.jtyjy.com 1-sinx . 1+sinx

20.(本小题满分 13 分)已知 f(x)=log1
2

(1)求出它的定义域和值域; (2)判断它的奇偶性、周期性和单调性. 解:首先确定函数的定义域,并注意化简及运算. 1-sinx (1)因为 >0,所以(sinx-1)(sinx+1)<0, 1+sinx 所以-1<sinx<1, 所以 f(x)的定义域为
? π ? ?x|x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z?. 2 ? ?

1-sinx 因为 >0,所以 f(x)的值域为 R. 1+sinx (2)因为 f(-x)=log1
2

1-sin?-x? 1+sinx =log1 1+sin?-x? 1-sinx 2

=-log1
2

1-sinx =-f(x), 1+sinx

所以 f(x)是奇函数, 因为 f(x+2π)=log1
2

1-sin?x+2π? 1+sin?x+2π?

=log1
2

1-sinx =f(x), 1+sinx

所以 f(x)是周期函数,且 2π 是它的一个周期. 设 t=sinx,则 所以 y=log1
2
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1-t 2 = -1 是(-1,1)上的减函数 1+t 1+t 1-t 是(-1,1)上的增函数, 1+t 金太阳新课标资源网

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?

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?

? π π? 又 因 为 t = sinx 在 ?2kπ-2,2kπ+2? (k ∈ Z) 上 是 增 函 数 , 在 ? π 3π? ? π π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z)上是减函数,所以 f(x)在?2kπ- ,2kπ+ ? 2 2? 2 2? ? ?

(k∈Z)上是增函数,在
? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z)上是减函数. 2 2? ?

21.(本小题满分 13 分)单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位
? π? 置的距离 s(厘米)和时间 t(秒)的函数关系为 s=6sin?2πt+6?. ? ?

(1)作出它的图像; (2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米? (3)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米?单摆来回摆 动一次需要多少时间? 解: “五点法”画正弦、 余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图, 五个特殊点通常都是取三个平衡点,一个最高点、一个最低点. (1)找出曲线上的五个特殊点,列表如下: t π 6 ? - 1 12 2 12 π 2 6 5 12 π 0
?

8 12 3π 2 -6
?

11 12 2π 0

?

2πt+ s

? ?

0 0

? ?

? π? 用光滑曲线连接这些点,得函数 s=6sin?2πt+6?的图像,如图所

示.

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π (2)当 t=0 时,s=6sin =3(cm),即单摆开始摆动时,离开平衡 6 位置 3 cm.
? π? (3)s=6sin?2πt+6?的振幅为 6,所以单摆摆动到最右边时,离开 ? ?

平衡位置 6 cm.
? π? 2π s=6sin?2πt+6?的周期 T= =1, 所以单摆来回摆动一次需要的 2π ? ?

时间为 1s.

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