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2015高中数学 第1部分 1.2.1正、余弦定理在实际中的应用课时跟踪检测 新人教A版必修5



课时跟踪检测(三)
一、选择题

正、余弦定理在实际中的应用

1.从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α ,β 的关系为( A.α >β C.α +β =90° B.α =β D.α +β =180°

)

2.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km),灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间距离为( A. 2a km B. 3a km C.a km D.2a km )

3.有一长为 10 m 的斜坡,倾斜角为 75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长 坡面的方法将它的倾斜角改为 30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是( A.5 C.10 2 B.10 D.10 3 )

4.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( A. C. 5. 17 6 海里/小时 2 17 2 海里/小时 2 B.34 6海里/小时 D.34 2海里/小时 )

如图, 甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当 甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里,则乙船每小时航行( A.10 2海里 C.30 海里 二、填空题 6.某人从 A 处出发,沿北偏东 60°行走 3 3 km 到 B 处,再沿正东方向行走 2 km 到 C 处,则 A,C 两地距离为________km.
1

) B.20 2海里 D.30 2海里

7.一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫,然后向右转 105°,爬行 10 cm 捕捉 到另一只小虫,这时它向右转 135°爬行回它的出发点,那么 x=________. 8.某船开始看见灯塔在南偏东 30°方向,后来船沿南偏东 60°方向航行 30 n mile 后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离为________ n mile. 三、解答题 9.海岛 O 上有一座海拔 1 000 米的山,山顶上设有一个观察站 A,上午 11 时,测得一 轮船在岛北偏东 60°的 C 处,俯角 30°,11 时 10 分,又测得该船在岛的北偏西 60°的 B 处,俯角 60°.则该船的速度为每小时多少千米?

10.甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60°方向的 B 处,两船相距 a 海里,乙船正 向北行驶,若甲船是乙船速度的 3倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙 船?此时乙船行驶多少海里.

答 案

课时跟踪检测(三) 1.解析:选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图.知 α =β ,故应选 B. 2.选 A △ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=90°,AB= 2a. 3.选 C 如图,设将坡底加长到 B′时,倾斜角为 30°,在△ABB′中,利用正弦定理 可求得 BB′的长度.

2

在△ABB′中,∠B′=30°, ∠BAB′=75°-30°=45°,AB=10 m, 由正弦定理,得 2 10× 2 ABsin 45° BB′= = =10 2(m). sin 30° 1 2 ∴坡底延伸 10 2 m 时,斜坡的倾斜角将变为 30°. 4.选 A 如图所示,在△PMN 中, = , sin 45° sin 120°

PM

MN

68× 3 ∴MN= =34 6, 2

MN 17 ∴v= = 6(海里/小时). 4 2
1 5.选 D 如图,连接 A1B2,在△A1A2B2 中,易知∠A1A2B2=60°,又易求得 A1A2=30 2× 3 =10 2=A2B2,

∴△A1A2B2 为正三角形, ∴A1B2=10 2. 在△A1B1B2 中,易知∠B1A1B2=45°, ∴B1B2=400+200-2×20×10 2×
2

2 =200, 2

∴B1B2=10 2,∴乙船每小时航行 30 2海里. 6.解析:如右图所示,由题意可知 AB=3 3,

BC=2,
∠ABC=150°. 由余弦定理,得

AC2=27+4-2×3 3×2×cos 150°=49,AC=7.则 A,C 两地距离为 7 km.

3

答案:7 7.解析:如图所示,设蜘蛛原来在 O 点,先爬行到 A 点,再 爬行到 B 点,易知在△AOB 中,AB=10 cm,∠OAB=75°, ∠ABO=45°, 则∠AOB=60°,由正弦定理知:

AB·sin∠ABO 10×sin 45° 10 6 x= = = (cm). sin∠AOB sin 60° 3
10 6 答案: cm 3 8.解析:如图所示,B 是灯塔,A 是船的初始位置,C 是船航行后的 位置, 则 BC⊥AD,∠DAB=30°, ∠DAC=60°,则在 Rt△ACD 中,

DC=ACsin ∠DAC=30sin 60°=15 3 n mile, AD=ACcos ∠DAC=30cos 60°=15 n mile,
则在 Rt△ADB 中,

DB=ADtan∠DAB=15tan 30°=5 3 n mile,
则 BC=DC-DB=15 3-5 3=10 3 n mile. 答案:10 3 9.解:如图所示,设观察站 A 在水平面上的射影为 O,依题意 OB =OA·tan 30°= 3 (千米), 3 3(千米),

OC=OA·tan 60°=
则 BC=

OB2+OC2-2OB·OC·cos 120°=
∴船速 v=

13 (千米). 3

13 10 ÷ =2 39(千米/小时). 3 60

10.解:设甲沿直线与乙船同时到 C 点, 则 A、B、C 构成一个△ABC, 如图,设乙船速度为 v,

4

则甲船速度为 3v,到达 C 处用时为 t. 由题意 BC=vt,AC= 3vt,∠ABC=120°. 在△ABC 中, 由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,
∴3v t =a +v t +avt. ∴2v t -avt-a =0, 解得 vt=- (舍)或 vt=a. 2 ∴BC=a, 在△ABC 中 AB=BC=a, ∴∠BAC=∠ACB=30°. 答:甲船应取北偏东 30°的方向去追乙,此时乙船行驶 a 海里.
2 2 2 2 2 2 2 2

a

5



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