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三角函数复习知识点三 两角和差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式



知识点三 二倍角公式 【考纲要求】

两角和差的正弦、 余弦、 正切公式及

1、三角恒等变换是三角函数的基础,要立足于教材,弄清公式的来龙去脉,要注意对 公式的正用、逆用、变形运用的训练, 以增强变换意识.同时,要归纳解题思路及规律, 复习时选题不要太难,有特别技巧的题也尽量少做; 2、灵活运用公式,通过简单的三角恒等变换解决三角函数的化

简、求值或证明问题, 借助三角变换解与三角形有关的问题。

【课前知识梳理】
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: (1) cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; (2) cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; (3) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; (4) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; (5) tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) 。 1 ? tan ? tan ?

(6) tan ?? ? ? ? ?

2、 、二倍角的正弦、余弦和正切公式: (1) sin 2? ? 2sin ? cos ? ; (2) cos 2? ? cos ( cos ? ?
2

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) ; 2 2

(3) tan 2? ?

2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?
? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

3、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? 。 ?

【经典例题讲解】
例 1:已知 sin(45 ? ? ) ?
?

5 ,则 sin 2? 等于 5

(

)

A.-

4 5

B.-

3 5

C.

3 5

D.

4 5

例 2:若 0 ? ? ? ? ? A、

?
2

且 cos( ? ? ? ) ?

63 65

B、 ?

63 65

4 5 ) ,sin( ? ? ? ) ? ,那么 cos 2? 的值是( 5 13 33 56 13 C、 D、 或? 65 65 65

例 3:已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1( x ? R) ,求函数 f ( x) 的最小正周期及
2

在区间 ?0,

? ?? 上的最大值和最小值。 ? 2? ?

例 4:已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x ;
2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值。

?

3

【高考真题实战训练】
1、(09· 山东潍坊模拟) sin 45 ? cos15 ? cos 225 ? sin15 的值为
? ? ? ?

( D.

)

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

3 2
( )

2、(10· 山东潍坊模拟) 2 ? 2cos8 ? 2 1 ? sin 8 的化简结果是 A. 4cos 4 ? 2sin 4 B. 2sin 4 C. 2sin 4 ? 4cos 4 D. ?2sin 4

3、 (09广东卷)已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos ? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) 。 2 (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?

10 ? ,0 ? ? ? ,求 cos ? 的值。 10 2

【课后延伸训练】
一、选择题
1、计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于
2 ?

( A.



2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2

2、若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? ( ) A.

2 ,则 sin A ? cos A ? 3 5 3 5 3
)

15 3

B. ?

15 3

C.

D. ?

3、 已知 cos(? ? ? ) ? 33 A. 65 4、如果 ? ? ( 4 2 A. 5

3 5 π π , ? ? ? , α∈(0, ), 且 β∈(- , 则 s ? 等于 ( 0), n sin i 2 2 5 13
63 B. 65 33 C.- 65 63 D.- 65 ( 3 2 D.- 5 ( C. 3 D. 2 ) )

?
2

, ? ) ,且 sin ? ?

4 π π ,那么 sin(α+ )+cos(α+ )= 4 4 5
3 2 C. 5

4 2 B.- 5

2 cos10? ? sin 20? 5、 的值是 sin 70?
1 A. 2 二、填空题 6、已知 sin ? ? cos ? ? B. 3 2

3 ? ,则 cos( ? 2? ) ? 3 2



7、已知 ? 为第二象限的角, sin a ?

3 ,则 tan 2? ? 5



8、设 0 ? x ? 2? 且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x 9、若

则 x 的范围是



sin ? ? cos ? ? 3 , tan(? ? ? ) ? 2 ,则 tan( ? ? 2? ) =________。 sin ? ? cos ?

三、解答题
10、 (1)已知 sin ? ?

3 ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,求 cos(? ? ) ; 5 2 3 3 5 ? 3? (2)已知 sin ? ? , cos ? ? ,且 ? ? ( , ? ) , ? ? ( , 2? ) , 5 12 2 2
求: sin(? ? ? ) 、 cos(? ? ? ) 、 tan(? ? ? ) 。

11、在三角形 ABC 中, sin A ?

1 5 , cos B ? ,求 cosC 和 cos 2C 的值。 2 12



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