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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第九章第9课时



第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布

第9课时

离散型随机变量的均值与方 差、正态分布

第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布

1.离散型随机变量的均值与方差 (1)离散型随机变量X的分布列 X x1 x2 ? xi ? xn

P

p1

p2

?

pi

?

pn

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第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布

(2)离散型随机变量 X 的均值与方差 均值 (数学期望 ) 计算 公式 E(X)= x1 p1+ x2 p2+? + xi pi+?+ xnpn 反映了离散型随机变 作用
n

方差 D(X)=∑ [xi- E(X)] pi i= 1 刻画了随机变量 X 与其 均值 E(X)的
2

平均水平 量取值的 ___________

平均偏离程度 _________________

标准 差

方差的算术平方根 D( X)为随机变量 X 的标准 差

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第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布

(3)均值与方差的性质 aE(X)+b ①E(aX+b)=____________( a,b为常数),

a2D(X) ②D(aX+b)=____________( a,b为常数).
温馨提示:E(X)、D(X)的再理解: (1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定 ,即X作为随机

变量是可变的,而E(X)是不变的,它描述X值取值的平均状
态. (2)D(X) 表示随机变量 X 对 E(X) 的平均偏离程度 , D(X) 越大

表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)
越小,X的取值越集中.

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计数原理、概率、随机变量及其分布

2.两点分布与二项分布的均值、方差 均值 变量 X 服从 两点分布 X~ B(n, p) E(X)= p 方差

p(1-p) D(X)= ________
D(X)= np(1- p)

np E(X)= ____

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计数原理、概率、随机变量及其分布

3. 正态曲线的特点

上方 ,与 x 轴不相交; (1)曲线位于 x 轴 ________ x=μ 对称; (2)曲线是单峰的,它关于直线 ________
(3)曲线在 x=μ 处达到峰值 σ 1 2π 1 (4)曲线与 x 轴之间的面积为 ________ ; (5)当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移; (6)当 μ 一定时, 曲线的形状由 σ 确定. σ 越小, 曲线越“瘦高”, 集中 ;σ 越大,曲线越“矮胖”,表示 表示总体的分布越 ________ ;

分散 . 总体的分布越 ________

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计数原理、概率、随机变量及其分布

1. (2013· 高考广东卷)已知离散型随机变量 X 的分布列为 1 2 3 3 3 1 P 5 10 10 则 X 的数学期望 E(X)= ( A ) 3 A. 2 5 C. 2 3 3 1 3 解析: E(X)= 1× + 2× + 3× = . 5 10 10 2 X

B. 2 D. 3

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计数原理、概率、随机变量及其分布

1 2. 设随机变量 ξ 的分布列为 P (ξ= k)= (k= 2, 4, 6, 8, 10), 5 则 D(ξ)等于 ( B ) A. 5 C. 10 B. 8 D. 16

1 解析:∵ E(ξ)= (2+ 4+ 6+ 8+ 10)= 6, 5 1 2 2 2 2 2 ∴ D(ξ)= [(- 4) +(- 2) + 0 + 2 + 4 ]= 8. 5

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计数原理、概率、随机变量及其分布

3.设随机变量 X 服从正态分布 N(2, 32 ),若 P(X> c+ 1)= P(X< c- 1),则 c 等于 ( B ) A. 1 C. 3 B. 2 D. 4

解析:∵μ = 2,由正态分布的定义知其图象关于直线 x= 2 c+ 1+ c- 1 对称,于是 = 2,∴ c= 2. 2

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计数原理、概率、随机变量及其分布

4.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,有放回地任 9 16 取 3 件,若 X 表示取到次品的件数,则 D(X)= ________ .

1 解析:由题意知取到次品的概率为 , 4 1 ∴ X~ B(3, ), 4 1 1 9 ∴ D(X)= 3× × (1- )= . 4 4 16

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计数原理、概率、随机变量及其分布

5.两封信随机投入 A, B, C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信 2 件数 X 的数学期望 E(X)= ________ . 3
解析:两封信投入 A,B,C 三个空邮箱,投法种数是 32= 9, 4 A 中没有信的投法种数是 2×2=4,概率为 , 9 4 1 A 中仅有一封信的投法种数是 C2× 2=4,概率为 , 9 1 A 中有两封信的投法种数是 1,概率为 ,故 A 邮箱的信件数 9 4 4 1 2 X 的数学期望是 × 0+ ×1+ × 2= . 9 9 9 3

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计数原理、概率、随机变量及其分布

离散型随机变量的均值与方差 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:

mm)对工期的影响如下表:
历 年 气 象 资 料 表 明 , 该 工 程 施 工 期 间 降 水 量 X 小 于 300 , 700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:

(1)工期延误天数Y的均值与方差;
(2) 在降水量 X至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6天的概 700≤X< 率. 降水量X X<300 300≤X< X≥900 700 900 工期延误 0 2 6 10 天数Y
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计数原理、概率、随机变量及其分布

[解 ](1)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)= 0.3, P(300≤ X<700)= P(X<700)- P(X<300)= 0.7 - 0.3= 0.4, P(700≤ X<900)= P(X<900)-P(X<700)= 0.9-0.7= 0.2, P(X≥ 900)= 1- P(X<900)= 1- 0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为: Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是, E(Y)=0×0.3+ 2× 0.4+ 6×0.2+10× 0.1=3; D(Y)= (0- 3)2× 0.3+ (2- 3)2× 0.4+ (6- 3)2× 0.2+ (10- 3)2 × 0.1= 9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8.
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计数原理、概率、随机变量及其分布

(2)由概率的加法公式得, P(X≥ 300)=1-P(X<300)= 0.7, 又 P(300≤ X<900)= P(X<900)- P(X<300)=0.9- 0.3= 0.6. 由 条 件 概 率 , 得 P(Y≤6|X≥ 300) = P(X<900|X≥300) = P( 300≤ X<900) 0.6 6 = = . 0.7 7 P( X≥300) 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 6 天的概率是 . 7
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计数原理、概率、随机变量及其分布

(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所

有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公
式进行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征,若属二项分布的, 可用二项分布的均值与方差公式计算,则更为简单.

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计数原理、概率、随机变量及其分布

1.(2014· 孝感市高三统一考试)气象部门提供了某地区历年六

月份(30天)的日最高气温的统计表如下: 日最高气温 t(℃ ) 天数
t≤22 6 22<t≤28 12 28<t≤32 Y t>32 Z

气象部门提供的历史资料显示,六月份的日最高气温不高于 32 ℃的频率为0.9. 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温t(单 位:℃)对西瓜的销售影响如下表:
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计数原理、概率、随机变量及其分布

日最高气 t≤22 22<t≤28 28<t≤32 t>32 温 t(℃ ) 日销售额 2 5 6 8 X(千元) (1)求Y,Z的值;

(2)若把频率看成概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方
差.

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计数原理、概率、随机变量及其分布

解:(1)由已知得 P(t≤32)= 0.9, 所以 P(t>32)= 1- P(t≤ 32)= 0.1. 所以 Z= 30× 0.1= 3, Y= 30-(6+ 12+3)= 9. (2)结合(1)有某水果商六月份西瓜销售额 X 的分布列为: X P 2 0.2 5 0.4 6 0.3 8 0.1

所以 E(X)= 2× 0.2+ 5×0.4+6× 0.3+ 8× 0.1=5; D(X) = (2 - 5)2 × 0.2 + (5- 5)2 × 0.4 + (6- 5)2× 0.3+ (8 - 5)2 × 0.1= 3.
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计数原理、概率、随机变量及其分布

均值与方差的实际应用
(2012· 高考课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格 从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如 果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关 于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下 表:

日需求量n 14 10 频数

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

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计数原理、概率、随机变量及其分布

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进 16枝玫瑰花,X表示当天的利润 (单位:元
),求X的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16枝或 17枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是17枝?请说明理由.

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计数原理、概率、随机变量及其分布

[解 ](1)当日需求量 n≥16 时,利润 y= 80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n- 80. ? ?10n-80, n<16 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y=? , (n∈ N). ? ?80, n≥ 16 (2)① X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X= 60)=0.1,P(X = 70)= 0.2, P(X= 80)=0.7. X 的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X 的数学期望为 E(X)= 60×0.1+70× 0.2+80× 0.7=76. X 的方差为 D(X)= (60-76)2× 0.1+(70- 76)2×0.2+ (80- 76)2×0.7=44.
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计数原理、概率、随机变量及其分布

②答案一:花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, Y 表示当天的利润 (单位: 元 ), 那么 Y 的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y 的 数 学 期 望 为 E(Y) = 55×0.1 + 65×0.2 + 75× 0.16 + 85× 0.54=76.4. Y 的方差为 D(Y)= (55-76.4)2× 0.1+ (65- 76.4)2× 0.2+(75 - 76.4)2× 0.16+ (85- 76.4)2× 0.54= 112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购进 16 枝玫瑰 花时利润波动相对较小.另外,虽然 E(X)<E(Y),但两者相 差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花.
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计数原理、概率、随机变量及其分布

答案二:花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, Y 表示当天的利润(单位: 元 ), 那么 Y 的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y 的 数 学 期 望 为 E(Y) = 55×0.1 + 65×0.2 + 75× 0.16 + 85× 0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进 17 枝玫瑰 花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润.故花店一天 应购进 17 枝玫瑰花.

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计数原理、概率、随机变量及其分布

(1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所 表示的具体事件,求得该事件发生的概率. (2)均值与方差从整体上刻画了随机变量, 是生产实际中用于 方案取舍的重要理论依据,一般是先分析比较均值,若均值 相同,再用方差来决定.

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计数原理、概率、随机变量及其分布

2.(2014· 东北三校联合模拟)PM2.5是指悬浮在空气中的直径 小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现

行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以
下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空 气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机地 抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示: PM2.5日 [25, (35, 均值(微克 35] 45] /立方米) 3 1 频数 (45, 55] 1 (55, 65] 1 (65, 75] 1 (75, 85] 3
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计数原理、概率、随机变量及其分布

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰 有一天空气质量达到一级的概率;

(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测
数据超标的天数,求ξ的分布列;

(3)以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情
况,则一年(按366天计算)中平均有多少天的空气质量达到一 级或二级.(精确到整数)
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计数原理、概率、随机变量及其分布

解:(1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,恰有一天空气质量达到一级”为事件 A,则 2 C1 3· C7 21 P(A)= 3 = . C10 40 (2)依据条件, ξ 服从超几何分布,其中 N= 10, M= 3, n 3- k Ck C 3 7 = 3,ξ 的可能取值为 0,1, 2, 3,P(ξ=k)= 3 (k=0, C10 1,2,3), 其分布列为: ξ 0 1 2 3 7 21 7 1 P 24 40 40 120

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计数原理、概率、随机变量及其分布

(3)依题意可知, 一年中每天空气质量达到一级或二级的概率 7 为 P= , 10 设一年中空气质量达到一级或二级的天数为 η , 则η ~B(366, 0.7), ∴E(η)= 366× 0.7= 256.2≈ 256, ∴一年中平均有 256 天的空气质量达到一级或二级.

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计数原理、概率、随机变量及其分布

正态分布
(2013· 高考湖北卷节选 ) 假设每天从甲地去乙地的旅客 人数 X 是服从正态分布 N(800 , 502) 的随机变量.记一天中从 甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.求p0的值;(参考 数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ- 2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4)

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第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布

[解 ]由于随机变量 X 服从正态分布 N(800, 502), 故有 μ= 800,σ =50,P(700<X≤900)=0.954 4.由正态分布 的对称性, 可得 p0= P(X≤ 900)= P(X≤ 800)+P(800<X≤900) 1 1 = + P(700<X≤900)=0.977 2. 2 2

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计数原理、概率、随机变量及其分布

求正态总体在某个区间内取值的概率时应注意: (1)熟记 P(μ- σ<X≤ μ+ σ), P(μ- 2σ<X≤ μ+ 2σ), P(μ- 3σ<X≤ μ+ 3σ)的值; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. ①正态曲线关于直线 x= μ 对称, 从而在关于 x= μ 对称的区 间上概率相等. ② P(X<a)= 1- P(X≥a), P(X<μ- a)= P(X≥ μ+a).
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计数原理、概率、随机变量及其分布

3.在某市2014年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的 数学成绩服从正态分布N(98,102).已知参加本次考试的全 市理科学生约9 450人.某学生在这次考试中的数学成绩是

108分,那么他的数学成绩大约排在全市前多少名左右( A ) A.1 500
B.1 700

C.4 500
D.8 000

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计数原理、概率、随机变量及其分布

解析: 因为学生的数学成绩 X~ N(98, 102), 所以 P(X≥ 108) 1 1 1 = [1-P(88<X<108)]= [1-P(μ-σ<X<μ+ σ)]= (1- 0.682 2 2 2 6) = 0.158 7 ,故该学生的数学成绩大约排在全市前 0.158 7×9 450≈1 500(名).

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计数原理、概率、随机变量及其分布

离散型随机变量的概率分布与期望
(本题满分 12 分 )(2013· 高考辽宁卷 )现有 10 道题,其中 6 道甲类题, 4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率;

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计数原理、概率、随机变量及其分布

(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题, 1 道乙类题.设张同 3 学答对每道甲类题的概率都是 , 答对每道乙类题的概率都是 5 4 , 且各题答对与否相互独立. 用 X 表示张同学答对题的个数, 5 求 X 的分布列和数学期望.
———————— [审题路线图 ]————————— 确定 X 的值→求概率→列出分布列→求数学期望.

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计数原理、概率、随机变量及其分布

[解 ]

(1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类

- 题”,则有 A =“张同学所取的 3 道题都是甲类题”. C6 1 - 因为 P( A )= 3 = , C10 6 - 5 所以 P(A)=1- P( A )= .4 分 6
利用对立事件求解,使问题简单解决.
3

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计数原理、概率、随机变量及其分布

(2)X 所有的可能取值为 0, 1, 2,3. 30 22 1 0 P(X= 0)= C2· ( ) ·( ) · = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 ; 125 5 5 5 5 28 ; 5 125 57 ; 5 125

31 21 1 22 4 1 0 3 0 P(X= 1)= C2· ( ) ·( ) · + C2( ) ·( ) · = 32 20 1 21 4 2 1 3 1 P(X= 2)= C2· ( ) ·( ) · + C2( ) ·( ) · = 32 20 4 2 P(X= 3)= C2· ( ) ·( ) · 36 = .8 分 125

分清X=2时所对应的事件是解决本题的关键.

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所以 X 的分布列为: X P 10 分 4 28 57 36 所以 E(X)= 0× + 1× + 2× +3× = 2. 125 125 125 125 12 分 0 4 125 1 28 125 2 57 125 3 36 125

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计数原理、概率、随机变量及其分布

(1)解决本题的易错点: ①当 X=1 时, 易错写为 21 22 1 3 1 0 3 0 P(X= 1)= C2( ) · ( ) + C2( ) · ( ). 5 5 5 5

②求 E(X)时易出现计算错误. (2)解决该问题易出现的错误: ①题意理解不明,事件分类不清. ②随机变量可能取值列举不全.

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计数原理、概率、随机变量及其分布

4.(卓越联盟自主招生试题)已知a,b∈{1,2,3,4,5},直
线y=ax+b与圆x2+y2=2,求: (1)直线与圆有交点的概率; (2)直线与圆的交点个数的数学期望.

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解:(1)若直线 y= ax+ b 与圆 x2+ y2= 2 有交点, 则圆心到直线的距离不大于圆的半径. 圆 x2+ y2= 2 的圆心为 (0,0),半径为 2, |b| 则 2 ≤ 2,即 b2≤ 2(a2+1). a +1 已知 a, b∈ {1, 2, 3, 4,5},则符合以上式子的取值方法 有:a=1,b∈ {1,2};a=2,b∈ {1,2,3};a=3,b∈ {1, 2,3,4};a=4,b∈ {1,2,3,4,5};a= 5,b∈ {1,2,3, 4,5},共有 19 种方法. 19 又 a, b 总的取值方法有 25 种,则所求的概率为 P= . 25 19 故直线与圆有交点的概率为 . 25
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计数原理、概率、随机变量及其分布

(2)设直线与圆的交点个数为 ξ(ξ=0, 1, 2), 19 6 则 P(ξ= 0)= 1- P= 1- = ; 25 25 1 P(ξ=1)= ; 25 6 1 18 P(ξ=2)= 1- - = . 25 25 25 ∴ ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 6 1 18 P 25 25 25 6 1 18 37 ∴ E(ξ)=0× + 1× +2× = . 25 25 25 25
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