9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

1.2余弦定理教案



www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

第一章 解斜三角形
学校:临清二中 学科:数学 编写人:刘会志 一审:李其智 二审:马英济

1.1.1 正弦定理
(一)教学目标 1. 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方 法;会运用正弦定理

与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题 2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关 系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用 的实践操作。 3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情 推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 (二)教学重、难点 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:正弦定理的推导即理解 (三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系:

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

,接着就一般斜

三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导, 让学生发现向量知识的简捷,新颖。 教学用具:直尺、投影仪、计算器 (四)教学过程 1[创设情景] 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C

A

B

2[探索研究] (图 1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等 式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

a b c ? sin A , ? sin B ,又 sinC ? 1 ? , c c c a b c 则 ? ? ?c sin A sin B sinC a b c 从而在直角三角形 ABC 中, ? ? sin A sin B sin C
的定义,有

A b C a (图 1.1-2) c B

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析)
新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的 定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A

?

b
sin B

, b A

C a c B

c
sinC ?

?

b
sin B ?



a
sin A

b
sin B

c
sinC

(图 1.1-3) 思考: 是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题, 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 (证法二) :过点 A 作 j ? AC , 由向量的加法可得 则

? ?

??? ?

C

AB ? AC ? CB
? ? ???

???

??? ?

???

j ? AB ? j ?(AC ? CB )
∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

? ? ??? ? ???

A

B

? ? ???

? ? ??? ? ? ? ???

? ? j

? ??? ? ? ??? ? j AB cos?900 ? A? ?0 ? j CB cos?900 ?C ?
∴ c sin A ? a sin C ,即 同理,过点 C 作 j ? BC ,可得 从而

a c ? sin A sin C

? ??? ?

b c ? sin B sin C

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? β ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。
新课标第一网系列资料

b sin A ; sin B

a b

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 3[例题分析] 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 )
? 66.20 ; 根据正弦定理,

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2 如图,在Δ ABC 中,∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D,求证: A 证明:如图在Δ ABD 和Δ CAD 中,由正弦定理, 得

BD AB ? DC AC

B D C

BD AB DC AC AC , , ? ? ? 0 sin ? sin ? sin ? sin(180 ? ? ) sin ?
BD AB ? DC AC
B A β

两式相除得

五巩固深化反馈研究 1 已知Δ ABC A 3

0 α 180 ? α D 已知 A=600,B=300,a=3;求边 b=() :

C







3

D

2

(2)已知Δ ABC A 8 B 4

已知 A=450,B=750,b=8;求边a=() C 4 3 -3 D 8 3 -8

(3)正弦定理的内容是———————————— (4)已知 a+b=12 B=450 A=600
则则

则 a=------------------------,b=------------------------

(5)已知在Δ ABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6,有三角形的周长为 7.5,则其三边长分别为 -------------------------(6) .在Δ ABC 中,利用正弦定理证明 六,课堂小结(有学生自己总结)

a?b sin A ? sin B ?? c sin C

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

七 板书设计略

五 [课堂小结](由学生归纳总结) 学校:临清二中 学科:数学 编写人:刘会志 一审:李其智 二审:马英济

1.1.1 正弦定理 学案
【预习达标】
在Δ ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a、b、c, 1.在 RtΔ ABC 中,∠C=900, csinA= ,csinB= ,即

a ? sin A
= ,即

=

。 ,

2. 在锐角Δ ABC 中,过 C 做 CD⊥AB 于 D,则|CD|= 同理得 ,故有
a ? sin A

a ? sin A



3. 在钝角Δ ABC 中,∠B 为钝角,过 C 做 CD⊥AB 交 AB 的延长线 D,则|CD|= = ,即

a ? sin A

,故有

a ? sin A



【典例解析】一
(2)斜三角形中

新课导入,推导公式

(1)直角三角形中

正弦定理是 X k b 1 . c o m 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

例 2 如图,在Δ ABC 中,∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D,求证: A

BD AB ? DC AC

B D C

【达标练习】
1. 已知Δ ABC A 3 B 已知 A=600,B=300,a=3;求边 b=() : 2 C

3

D

2

(2)已知Δ ABC A 8 B 4

已知 A=450,B=750,b=8;求边a=() C 4 3 -3 D 8 3 -8

-(3)正弦定理的内容是————————————

(4)已知 a+b=12

B=450 A=600

则则则

则 a=------------------------,b=-----------------------(5)已知在Δ ABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6,有三角形的周长为 7.5,则其三边长分 别为--------------------------w w w .x k b 1.c o m

(6) .在Δ ABC 中,利用正弦定理证明

a?b sin A ? sin B ?? c sin C

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

参考答案
【预习达标】 b c b c b c a ? 1.a,b, . 2.bsinA asinB , , , = . ? sin B sin C sin B sin A sin C sin B sin C b b c 3. .bsinA asinB , , = . sin B sin B sin C 【典例解析】

如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的 定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A

?

b
sin B

, b A

C a c B

c
sinC ?

?

b
sin B ?



a
sin A

b
sin B

c
sinC

(图 1.1-3) 思考: 是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题, 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 (证法二) :过点 A 作 j ? AC , 由向量的加法可得 则

? ?

??? ?

C

AB ? AC ? CB
? ? ???

???

??? ?

???

j ? AB ? j ?(AC ? CB )
∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

? ? ??? ? ???

A

B

? ? ???

? ? ??? ? ? ? ???

? ? j

? ??? ? ? ??? ? j AB cos?900 ? A? ?0 ? j CB cos?900 ?C ?
新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

∴ c sin A ? a sin C ,即 同理,过点 C 作 j ? BC ,可得 从而

a c ? sin A sin C

? ??? ?

b c ? sin B sin C

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 w w w .x k b 1.c o m 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

例 1 解:根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 )
? 66.20 ; 根据正弦定理,

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2 证明:如图在Δ ABD 和Δ CAD 中,由正弦定理, 得 A ββ B
0 α 180 ? α D

BD AB DC AC AC ? ? ? , , 0 sin ? sin ? sin ? sin(180 ? ? ) sin ?

BD AB ? 两式相除得 DC AC

C

【双基达标】
1. (1)C(2)D(3)

b c a = .(4)36-12 6 ? sin A sin B sin C

12 6 -24(5)2, 2.5, 3

, 2.证明:设

a b c ? ? ? k ,则 a ? k sin A, b ? k sin B, c ? k sin C sin A sin B sin C

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

?

a ? b k sin A ? k sin B sin A ? sin B ? ? c k sin C sin C
学科:数学 编写人:刘会志 一审:李其智 二审:马英济

学校:临清二中

§1.1.2

正弦定理

【三维目标】 : 一、知识与技能 1 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2 通过三角函数、 正弦定理、 等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力.

二、过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学 生通过观察, 推导, 比较, 由特殊到一般归纳出正弦定理, 并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生处理解三角形问题的运算能力; 【教学重点与难点】 : 重点:正弦定理的探索及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】 :新授课 四教学过程 一、知识回顾 1 正弦定理的内容是什么? 二、例题讲解

例 1 试推导在三角形中

a b c = = =2R sin A sin B sin C

其中 R 是外接

圆半径
证明 如图所示,∠ A =∠ D
C

a

a a ? ? CD ? 2 R ∴ sin A sin D
a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C

b c ? 2R , ? 2R 同理 sin B sin C

b
A

O

B D

c

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C : ∵ 为锐角,
新课标第一网系列资料

b c c sin B 1 ? sin 600 1 ? b ? c, B ? 600 ,? C ? B, C ? ,? sin C ? ? ? , sin B sin C b 2 3

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

? C ? 300 , B ? 900

∴ a ? b2 ? c 2 ? 2

例 3 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C



?

a c c sin A 6 ? sin 450 3 ? ,? sin C ? ? ? sin A sin C a 2 2

? c sin A ? a ? c,?C ? 600 或1200
c sin B 6 sin 750 ?当C ? 60 时,B ? 75 , b ? ? ? 3 ? 1, sin C sin 600
0 0

?当C ? 1200 时,B ? 150 , b ?

c sin B 6 sin 150 ? ? 3 ?1 sin C sin 600

?b ? 3 ? 1, B ? 750 , C ? 600 或 b ? 3 ? 1, B ? 150 , C ? 1200

五、巩固深化,反馈矫正
1 试判断下列三角形解的情况:www.xkb1.com 已知 b ? 11 , c ? 12, B ? 600 则三角形 ABC 有()解 A 一 B 两 C 无解

2 已知 a ? 7, b ? 3, A ? 1100 则三角形 ABC 有()解 A 一 B 两 C 无解 3.在 ?ABC 中,三个内角之比 A : B : C ? 1 : 2 : 3 ,那么 a : b : c 等于____ 4.在 ?ABC 中,, B=135
0

C=15

0

a=5 则此三角形的最大边长为_____

5 在 ?ABC 中,已知 a ? xcm, b ? 2cm, B ? 450 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值范围是_____ 6.在 ?ABC 中,已知 b ? 2c sin B ,求 ?C 的度数

六、小结
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, 即存在正数 k 使 a ? k sin A, b ? k sin B, c ? k sin C ;

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

(2)

a b c a b b c a c = = 等价于 = , = , = ,即 sin A sin B sin C sin A sin B sin B sin C sin A sin C

可得正弦定理的变形形式: 1) a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; 2) sin A ?

a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R b sin A ; sin B a sin B 。 b

3)利用正弦定理和三角形内角和定理,可解决以下两类斜三角形问题: 1)两角和任意一边,求其它两边和一角;如 a ?

2) 两边和其中一边对角, 求另一边的对角, 进而可求其它的边和角. 如 sin A ? 一般地,已知角 A 边 a 和边 b 解斜三角形,有两解或一解或无解(见图示) .

外接圆法)如图所示,∠ A =∠ D a=bsinA 有一解 a>bsinA 有两解 七板书设计 略

a>b 有一解

a>b 有一解

1.1.2 正弦定理学案 — 预习达标 1 正弦定理的内容是—————————————————— 2 在三角形 ABC 中已知 c=10 A=450 C=300,则边 a=---------,边 b=-------,角 B=-----3 在三角形 ABC 中,已知 a=20cm,b=28cm,A=40 ,则角 B=-------------(可借助计算器) 二 典例解析
0

例 1 试推导在三角形中

a b c = = =2R sin A sin B sin C

其中 R 是外接圆半



新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C

例 3 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C

三 达标练习 1 试判断下列三角形解的情况: 已知 b ? 11 , c ? 12, B ? 600 则三角形 ABC 有()解 A 一 B 两 C 无解

2 已知 a ? 7, b ? 3, A ? 1100 则三角形 ABC 有()解 A 一 B 两 C 无解 www.xkb1.com 3.在 ?ABC 中,三个内角之比 A : B : C ? 1 : 2 : 3 ,那么 a : b : c 等于____ 4.在 ?ABC 中, B=135
0

C=15

0

a=5 ,则此三角形的最大边长为_____

5.在 ?ABC 中,已知 a ? xcm, b ? 2cm, B ? 450 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值范围是_____ 6.在 ?ABC 中,已知 b ? 2c sin B ,求 ?C 的度数

学案答案

一预习达标 1 116 二典例解析
0

a b c = = sin A sin B sin C

2

10 2



5 6 +5 2

3

64

0



新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!
C

例 1 证明

如图所示,∠ A =∠ D

a

a a ? ? CD ? 2 R ∴ sin A sin D a b c ∴ = = =2R sin A sin B sin C

b c ? 2R , ? 2R 同理 sin B sin C

b
A

O

B D

c

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C : ∵ 为锐角,

b c c sin B 1 ? sin 600 1 ? b ? c, B ? 600 ,? C ? B, C ? ,? sin C ? ? ? , sin B sin C b 2 3

? C ? 300 , B ? 900

∴ a ? b2 ? c 2 ? 2

例 3 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com

www.xkb1.com

新课标第一网不用注册,免费下载!

新课标第一网系列资料

www.xkb1.com



更多相关文章:
1.1.2余弦定理教案
余弦定理教学设计 余弦定理教学设计 1 通过实践与探究,会利用数量积证明余弦定理,提高数学语言的表达能力, 知识与技能教 学目标 体会向量工具在解决三角形的...
职业高中1.1.2余弦定理教案
1.2.1 余弦定理 教学过程设计 一,复习引入 1、向量相关知识:(1)向量加法的三角形法则: AC ? AB ? BC (2)向量减法的三角形法则: AC ? BC ? BA (3 ...
1.1.2余弦定理教学设计(付贵有)
1.1.2余弦定理教学设计(付贵有)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.2.1 一、教学内容分析 余弦定理 付贵有 禄劝民族实验中学 人教版《普通高中课程标准实验...
高中数学1.1.2余弦定理教案新人教B版必修5
1.1.2 余弦定理整体设计 教学分析 对余弦定理的探究,教材是从直角三角形入手,通过向量知识给予证明的.一是进一步 加深学生对向量工具性的认识, 二是感受向量法...
(人教A版)数学必修五 :1-1-2《余弦定理》教案(含答案)
(人教A版)数学必修五 :1-1-2《余弦定理》教案(含答案)_数学_高中教育_教育专区。教学设计 1.1.2 余弦定理? 从容说课 课本在引入余弦定理内容时,首先提出...
1.1.2 余弦定理(教案)
§1.1.2 余弦定理教学目标:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解 决两类基本的解三角形问题。 ●教学重点:余弦定理的发现和...
四川省成都市石室中学高中数学 1.1.2 余弦定理2教案 新人教A版必修5
《1.1.2 余弦定理教学设计一.教学内容分析 本节课是一节公式定理课, 内容是高中数学人教 A 版必修 5 第一章解三角形的第二节课, 主 要的教学内容有...
苏教版必修五1.2《余弦定理》word教案
课题: 1.1.2 余弦定理 授课类型:新授课 【教学目标】 1. 知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法, 并会运用余弦定 理解决两类基本的...
高中数学 2.1.3正弦定理、余弦定理的应用教案 北师大版必修5
高中数学 2.1.3正弦定理、余弦定理的应用教案 北师大版必修5_初一政史地_政史地_初中教育_教育专区。有效,简洁1.1.3 正弦定理、余弦定理的应用教学目的:1 进...
更多相关标签:
余弦定理教案    正余弦定理教案    余弦定理教案第一课时    1.1.2余弦定理ppt    1.1.2余弦定理    余弦定理    正弦定理和余弦定理    余弦定理公式    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图