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2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案



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§2.2.1 椭圆及其标准方程 第一课时 高一______班

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数学 高井林

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学习目标: 1.理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念 2.熟练掌握椭圆的标准方程,会根据所给的条件画出

椭圆的草图并确定椭圆的标准方 程 3.能由椭圆定义推导椭圆的方程 重点:椭圆的定义和标准方程 难点:椭圆标准方程的推导 教学过程: 一、自学导引: (自学 P38-40) 1、1997 年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条 消息, 彗星 从 1997 年 2 月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球, 过 4 太阳 月以后,又将渐渐离去,并预测 3000 年后,它还将光临地 球上空 1997 年 2 月至 3 月间,许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确 时间呢?原来, 海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆, 通过观察它运行中的一些有关数据, 可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行周期及轨道的的周长 2、说出求轨迹方程的基本步骤:
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3、取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画 出的轨迹是一个 . 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?
P

思考:移动的笔尖(动点)
F1 F2

满足的几何条件是什么? 动笔尖的过程中,细绳的 等于常数. 保持不

经过观察后思考:在移 变,即笔尖 二、探索新知: 1、椭圆定义:

反思:若将常数记为 2a ,为什么 2a ? F1F2 ? 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 当 2a ? F1F2 时,其轨迹为 ; .

试试: 已知 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,到 F1 , F2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是 2.根据定义推导椭圆标准方程:



1

焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程 x2 y 2 其中 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 2 a b 若焦点在 y 轴上,两个焦点坐标 ,则椭圆的标准方程是 三、合作探究: 探究 1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴ a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上; ⑵ a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上; ⑶ a ? b ? 10, c ? 2 5 .



探究 2、 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、 (4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离 之和等于 10;

⑵两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过( ?

3 5 , ) 2 2

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四、自我检测: 1、平面内一动点 M 到两定点 F1 、 F2 距离之和为常数 2a ,则点 M 的轨迹为( A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 2、 椭圆 A.5 3、椭圆

) .

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( 25 9
B.6 C.4 ) D.(±12,0) D.10



x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是( 25 169
B.(0,±5)

A.(±5,0)

C.(0,±12)

2

4、已知椭圆的方程为 A.2 8 ? m 2 C.2 m 2 ? 8

x2 y2 ? ? 1 ,焦点在 x 轴上,则其焦距为( 8 m2
B.2 2 2 ? m D. 2 m ? 2 2



5、方程

x2 ? 3

y2 sin(2? ?

?
4

? 1 表示椭圆,则 ? 的取值范围是( )



3? 8 8 ? 3? C. ? ? ? ? 8 8
A. ?

?

?? ?

3? (k ∈Z) 8 8 ? 3? (k ∈Z) D. 2k? ? ? ? ? 2k? ? 8 8
B. k? ?

?

? ? ? k? ?

6、 a ? 6, c ? 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 7、椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15 ,则椭圆的 标准方程是 .
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五、学后反思 :

3

六、课后作业: 1.判断下列方程是否表上椭圆,若是,求出 a, b, c 的值
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x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ;② ? ? 1 ;③ ? ? 1 ;④ 4 y 2 ? 9 x 2 ? 36 2 2 4 2 4 2 x2 y2 ? ? 1 的焦距是 16 9
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2 椭圆
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, 焦点坐标为

; CD 为过左焦点 F1 的弦, 若

则 ?F2 CD 的周长为

3. 方程 4 x 2 ? ky 2 ? 1 的曲线是焦点在 y 上的椭圆 ,求 k 的取值范围

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2 2 4 化简方程: x ? ( y ? 3) ?
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x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10

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x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 5 椭圆 100 36
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6 动点 P 到两定点 F1 (-4,0), F2 (4,0)的距离的和是 8,则动点 P 的轨迹为 _______
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