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正弦定理习题精选精讲



正、余弦定理的五大命题热点 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在 近年高考中主要有以下五大命题热点: 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题. 例 1(2005 年全国高考江苏卷)

/>
?ABC 中, A ?
B. 4

?
3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为(



A. 4

?? ? 3 sin ? B ? ? ? 3 3? ?
3 sin ?

?? ?? ? ? 3 sin ? B ? ? ? 3 C. 6 sin? B ? ? ? 3 6? 3? ? ?

D. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 6?

分析:由正弦定理,求出 b 及 c,或整体求出 b+c,则周长为 3+b+c 而得到结果. 解:由正弦定理得:

?
3

b c b?c b?c , ? ? ? sin B sin C sin B ? sin C sin B ? sin( 2? ? B) 3
-B)]= 6 sin( B

得 b+c= 2

3 [sinB+sin(

2? 3

?

?

?? ? ) .故三角形的周长为:3+b+c= 6 sin? B ? ? ? 3 ,故选(D). 6 6? ?
? 6
,周长应为 3

评注:由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时,即 B=

3 +3,故排除(A)、(B)、(C).而选(D).

例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值. , cos B ? 3 6

分析:本题关键是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA. 解:设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE

?

1 2 6 AB ? 2 3

,设 BE=x

王新敞
奎屯

新疆

在Δ BDE 中利用余弦定理可得: BD

2

? BE 2 ? ED2 ? 2BE ? ED cos BED ,

7 8 2 6 6 5 ? x2 ? ? 2 ? ? x ,解得 x ? 1 , x ? ? (舍去) 3 3 3 6
故 BC=2,从而 AC
2

王新敞
奎屯

新疆

? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B ?

2 21 28 ,即 AC ? 3 3

王新敞
奎屯

新疆

又 sin B

?

30 , 6

2 ? 故 sin A

2 21 3 , sin A ? 70 14 30 6

王新敞
奎屯

新疆

二、判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状. 例 3(2005 年北京春季高考题)在 ?ABC 中,已知 2 sin A.直角三角形 解法 1:由 2 sin B.等腰三角形

A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是(
D.正三角形



C.等腰直角三角形

A cos B ? sin C =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

即 sinAcosB-cosAsinB=0,得 sin(A-B)=0,得 A=B.故选(B).

sin C c a2 ? c2 ? b2 ? 解法 2:由题意,得 cosB= ,再由余弦定理,得 cosB= 2sin A 2a 2ac





a2 ? c2 ? b2 2ac



c 2 2 ,即 a =b ,得 a=b,故选(B). 2a

评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:⑴统一化为角,再判断(如解法 1),⑵统一化为边,再判断(如解法 2). 三、 解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题. 例 4(2005 年全国高考上海卷) 在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 ,
?

AB ? 5 , BC ? 7 ,

则 ?ABC 的面积 S=_________

王新敞
奎屯

新疆

分析:本题只需由余弦定理,求出边 AC,再运用面积公式 S=

1 2

AB?ACsinA 即可解决.

解:由余弦定理,得 cosA=

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 25 ? AC 2 ? 49 1 ? ? ? ,解得 AC=3. 2 AB ? AC 10 ? AC 2

∴ S=

1 2

AB?ACsinA=

15 3 4

.∴

1 2

AB?AC?sinA=

1 2

AC?h,得 h=AB? sinA=

3 2 2

,故选(A).

四、求值问题 例 5(2005 年全国高考天津卷) 在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c , 设 a、b、c 满足条件 b
2

? c 2 ? bc ? a 2 和

c 1 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值. b 2

分析:本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正、余弦定理. 解:由余弦定理 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 1 ? ,因此, ?A ? 60? 2bc 2
1 c sin C sin(120 ? ? B) ? 3? ? ? 2 b sin B sin B

在△ABC 中,∠C=180° -∠A-∠B=120° -∠B. 由已知条件,应用正弦定理

?

1 sin 120? cos B ? cos120? sin B 3 1 ? cot B ? , 解得 cot B ? 2, 从而 tan B ? . 2 sin B 2 2

五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识,例析如下: (一.)测量问题 例 1 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边选定 A、B 两点,望对岸标记物 C, 测得∠CAB=30° ,∠CBA=75° ,AB=120cm,求河的宽度。 分析:求河的宽度,就是求△ABC 在 AB 边上的高,而在河的一边,已测出 AB 长、 ∠CAB、∠CBA,这个三角形可确定。 解析:由正弦定理得 ∵ S? ABC

C

AC AB ? ,∴AC=AB=120m,又 sin ?CBA sin ?ACB 1 1 ? AB ? AC sin ?CAB ? AB ? CD ,解得 CD=60m。 2 2

A 图1

D

B

点评:虽然此题计算简单,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题”。 (二.)遇险问题 例 2 某舰艇测得灯塔在它的东 15° 北的方向,此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进,30 分钟后又测得灯塔在它的东 30° 北。若此灯塔 周围 10 海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险? 解析:如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15° 北的方向上;舰艇航行半小时后 到达 B 点,测得 S 在东 30° 北的方向上。 在△ABC 中,可知 AB=30× 0.5=15, ∠ABS=150° ,∠ASB=15° ,由正弦定理得 BS=AB=15,过点 S 作 SC⊥直线 AB,垂

北 西 15° B 30° 图2 东 C

A 南

足为 C,则 SC=15sin30° =7.5。 这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里,而灯塔周围 10 海里内有暗礁,故继续航行有触礁的危险。 点评:有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是: (1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语; (2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。 (三.)追击问题 例 3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45° 方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15° 方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航 行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船? 解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9, 设∠ABC=α,∠BAC=β。 ∴α=180°-45° -15° =120° 。根据余弦定理

北 A 45° B 15°

AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos ? ,
2 2 2

1 2 ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? ( ? ) , 128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 , (4t-3) (32t+9)=0, 2 3 9 解得 t= ,t= (舍) 4 32 3 3 ∴AC=28× =21 n mile,BC=20× =15 n mile。 4 4

? 28t ?

2

C 图3

BC sin ? ? 根据正弦定理,得 sin ? ? AC
∴arcsin

15 ?

3 2 ? 5 3 ,又∵α=120°,∴β 为锐角,β=arcsin 5 3 21 14 14

,又

5 3 14



7 2 14



2 2



5 3 14



? , 4
的方向用

∴甲船沿南偏东

? 5 3 -arcsin 4 14

3 4

h 可以追上乙船。

点评:航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的 ∠ABC、AB 边已知,另两边未知,但他们都是航行的距离,由于两船的航行速度已知, 所以,这两边均与时间 t 有关。这样根据余弦定理,可列出关于 t 的一元二次方程,解出 t 的值。 五、交汇问题 是指正余弦定理与其它知识的交汇,如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇. 例6 (2005 年全国高考卷三试题)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, cos

B?

(Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; (Ⅱ)设 BA ? BC

??? ? ??? ?

3 . 4

?

3 ,求 a+c 的值. 2

分析:本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇,关键是用好正弦定理、余弦定理等. 解: (Ⅰ)由 cos B

3 3 7 ? , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4 4
2 sin B ? s i nA s i n C.

由 b2=ac 及正弦定理得 则 cot

A ? cot C ?

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin( A ? C ) sin B 1 4 ? ? ? ? 7. sin 2 B sin 2 B sin B 7

(Ⅱ)由 BA ? BC

??? ? ??? ?

?

3 3 ,得 ca?cosB= 2 2

,由ㄋ B=

3 4

,可得 ac=2,即 b =2.

2

由余弦定理 b2=a2+c2-2ac+cosB, 得 a2+c2=b2+2ac·cosB=5. 易错题解析 例题 1 在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a
2
2

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3

? b 2 ? c 2 ,求 A 的取值范围。

错解:∵ a

? b 2 ? c 2 ,∴b 2 ? c 2 ? a 2 ? 0 。则
b2 ? c2 ? a 2 ? 0 ,由于 cosA 在(0°,180°)上为减函数 2bc

cos A ?

且 cos90°

? 0,∴A ? 90°

又∵A 为△ABC 的内角,∴0°<A<90°。 辨析:错因是审题不细,已知条件弱用。题设是 a 为最大边,而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边,造成解题错误。 正解:由上面的解法,可得 A<90°。 又∵a 为最大边,∴A>60°。因此得 A 的取值范围是(60°,90°) 。

例题 2

在△ABC 中,若

a 2 tan A ? ,试判断△ABC 的形状。 b 2 tan B

错解:由正弦定理,得

sin 2 A tan A ? sin 2 B tan B

sin 2 A sin A cos B ? · ,∵ sin A ? 0, sin B ? 0 即 2 sin B sin B cos A

∴ sin A cos A ? sin B cos B,即 sin 2 A ? sin 2 B 。
∴2A=2B,即 A=B。故△ABC 是等腰三角形。

? sin 2 B ,得 2A=2B。这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函数的性质,三角变换生疏。 正解:同上得 sin 2 A ? sin 2 B ,∴2A= 2 k? ? 2 B
辨析:由 sin 2 A 或2A ? ∵0 ?

2k? ? ? ? 2 B( k ? Z ) 。

A ? ?,0 ? b ? ?,∴k ? 0,则A ? B 或 A ?

?
2

?B。

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题 3 在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC

? 3 ,求

a ?b?c sin A ? sin B ? sin C

的值。

错解:∵A=60°,b=1, S △ABC ∴

? 3 ,又 S △ABC ?

1 bc sin A , 2

3?

1 c sin 60° ,解得 c=4。 2
? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 16 ? 8 cos 60° ? 13

由余弦定理,得 a

又由正弦定理,得 sin C

?

6 3 , sin B ? 39 2 39





a ?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

13 ? 1 ? 4 3 3 6 ? ? 2 2 39 39



辨析:如此复杂的算式,计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解:由已知可得 c

? 4,a ? 13 。由正弦定理,得
。∴

2R ?
例题 4

a 13 2 39 ? ? sin A sin 60° 3
? 6? 2

a ?b?c 2 39 ? 2R ? sin A ? sin B ? sin C 3



在△ABC 中, c

,C=30°,求 a+b 的最大值。

错解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A。 由正弦定理,得

a b 6? 2 ? ? sin A sin(150° ? A) sin 30°

∴a ? 2( 6 ? 2 ) sin A , b ? 2( 6 ? 2 ) sin(150° ? A)
又∵ sin A ? 1, sin(150° ? ∴ a ? b ? 2( 故a

A) ? 1

6 ? 2 ) ? 2( 6 ? 2 ) ? 4( 6 ? 2 ) 。

? b 的最大值为 4( 6 ? 2 ) 。

辨析:错因是未弄清 A 与 150°-A 之间的关系。这里 A 与 150°-A 是相互制约的,不是相互独立的两个量,sinA 与 sin(150°-A)不能 同时取最大值 1,因此所得的结果也是错误的。 正解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A。 由正弦定理,得

a b 6? 2 ? ? sin A sin(150° ? A) sin 30°

因此 a ? b

? 2( 6 ? 2 )[sin A ? sin(150° ? A)]

? 2( 6 ? 2) · sin 75°cos( A ? 75°) 6? 2 · cos( A ? 75°) 4 ? (8 ? 4 3) cos( A ? 75°) ? 8 ? 4 3 ? 4( 6 ? 2)
∴a+b 的最大值为 8 ? 4 例题 5

3。

在△ABC 中,已知 a=2,b= 2
2

2 ,C=15°,求 A。

错解:由余弦定理,得 c

? a 2 ? b 2 ? 2ab cos15°
6? 2 ? 8?4 3 4

? 4 ? 8 ? 2× 2× 2 2×

∴c

? 6 ? 2。
A? a sin C 1 ? c 2

又由正弦定理,得 sin 而0
0

? A ? 1800,∴A=300 或A ? 1500 。
? a ,∴ B ? A 。因此 A=150°是不可能的。错因是没有认真审题,未利用隐含条件。在解题时,要善于应用题中的条件,

辨析:由题意 b

特别是隐含条件,全面细致地分析问题,避免错误发生。 正解:同上 c

? 6 ? 2 , sin A ?

1 ,∵b ? a , 2

∴B ? A,且00 ? A ? 1800,∴A ? 300 。
例题 6 在△ABC 中, ? cos A

? b cos ? ,判断△ABC 的形状。

错解:在△ABC 中,∵ a cos A

? b cos B ,由正弦定理 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B
∴ sin 2 A ?

sin 2 B,∴2 A ? 2 B且2 A ? 2 B ? 180°

∴A=B 且 A+B=90° 故△ABC 为等腰直角三角形。 辨析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词“或” 、 “且”的意义,导致结论错误。 正解:在△ABC 中,∵ a cos A 得 2 R sin A cos A ?

? b cos B ,由正弦定理,

2 R sin B cos B,∴ sin 2 A ? sin 2 B 。

∴2A=2B 或 2A+2B=180°,∴A=B 或 A+B=90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 例题 7 若 a,b,c 是三角形的三边长,证明长为

a , b, c 的三条线段能构成锐角三角形。
为锐角即可。

错解:不妨设 0

? a ? b ? c ,只要考虑最大边的对角θ

cos? ?

( a )2 ? ( b)2 ? ( c)2 a ? b ? c 。 ? 2 a b 2 ab
? b ? c ,即 cos? ? 0 。

由于 a,b,c 是三角形的三边长,根据三角形三边关系,有 a ∴长为

a , b, c 的三条线段能构成锐角三角形。

辨析:三条线段构成锐角三角形,要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系;②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条 件,而缺少第一个条件。 正解:由错解可得 cos? 又∵

?0

a? b? c?

( a ? b ? c )( a ? b ? c ) a? b? c

?

( a ? b )2 ? c a?b?c 2 ab ? ? ?0 a? b? c a? b? c a? b? c

即长为 高考试题展示

a , b, c 的三条线段能构成锐角三角形。
2 ,则 sin A ? cos A ? 3

1、 (06 湖北卷)若 ?ABC 的内角

A 满足 sin 2 A ?

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

D. ?

5 3

解:由 sin2A=2sinAcosA?0,可知 A 这锐角,所以 sinA+cosA?0, 又 (sin

A ? cos A) 2 ? 1 ? sin 2 A ?

5 ,故选 A 3

2、 (06 安徽卷)如果 ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 A. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A 1B 1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A 1B 1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形

解: 则 ?A ?A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0, B 1C 11

? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? ? ? 是锐角三角形, 若 ?A2 B2C2 是锐角三角形, 由 ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) , 2 ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?

? ? ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? B1 ,那么, A2 ? B2 ? C2 ? ,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D。 得 ? B2 ? 2 2 ? ? ? ?C2 ? 2 ? C1 ?
3、 (06 辽宁卷) ? ABC 的三内角

A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量

? ? ? ? ? ? p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为

? ? ? 2? (B) (C) (D) 3 6 3 2 ? ? ? 1 ? 2 2 2 【解析】 p // q ? (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a) ? b ? a ? c ? ab ,利用余弦定理可得 2 cos C ? 1 ,即 cos C ? ? C ? ,故 2 3
(A) 选择答案 B。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数,同时着重考查了同学们的运算能力。 4、 (06 辽宁卷)已知等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A.

A 的正切值是(
D.



3 2

B.

3

C.

15 8

15 7

15 A 2? A 15 15 ? 15 ,选 D 2 ? 解:依题意,结合图形可得 tan ,故 tan A ? ? A 7 2 15 15 2 1 ? tan 2 1? ( ) 2 15 2 tan
5、 (06 全国卷 I) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c

? 2a ,则 cos B ?

A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

解: ?ABC 中,a、b、c 成等比数列,且 c

? 2a ,则 b= 2 a,

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 = cos B ? ? ,选 B. 2ac 4a 2 4
6、06 山东卷)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=

? 3

,a =

3 ,b=1,则 c= 3

(A) 1

(B)2

(C)

3 —1

(D)

解:由正弦定理得 sinB=

1 2

,又 a?b,所以 A?B,故 B=30?,所以 C=90?,故 c=2,选 B

7、 (06 四川卷)设 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 (A)充要条件 (C)必要而充分条件

A, B, C 所对的边,则 a2 ? b ?b ? c ? 是 A ? 2 B 的

(B)充分而不必要条件 (D)既不充分又不必要条件

解析:设 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 则 sin ∴
2

A, B, C 所对的边,若 a2 ? b ?b ? c ? ,

A ? sin B(sin B ? sin C) ,则

1 ? cos 2a 1 ? cos 2 B ? ? sin B sin C , 2 2
, sin( B ?

1 (cos 2 B ? cos 2 A) ? sin B sin C 2

A)sin( A ? B) ? sin B sin C ,

又 sin( A ? B) ? sin C ,∴ 若△ABC 中, 所以 a
2

sin( A ? B) ? sin B ,∴ A ? B ? B , A ? 2 B ,

A ? 2 B ,由上可知,每一步都可以逆推回去,得到 a2 ? b ?b ? c ? ,

? b ?b ? c ? 是 A ? 2 B 的充要条件,选 A.
A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是___________.

8、 (06 北京卷)在 ?ABC 中,若 sin 解:

sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ?a?b?c=5?7?8 设 a=5k,b=7k,c=8k, ? 由余弦定理可解得 ? B 的大小为 . 3

9、 (06 湖北卷)在 ? ABC 中,已知 a

?

3 3 3 ,b=4,A=30°,则 sinB= 4 2

.

解:由正弦定理易得结论 sinB=

3 。 2

10、 (06 江苏卷)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得,

AC BC ? ? sin 45 sin 60?

解得

AC ? 4 6


【解后反思】解三角形:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理 11、 (06 全国 II)已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中线 AD 的长为 解析: 由 ?ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列可得 A+C=2B 而 A+B+C= ? 可得 ?B

?

?
3

AD 为边 BC 上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得

AD ? 3 。

本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、 (06 上海春)在△ ABC 中,已知 BC 则 cos 2C ? 解:由三角形面积公式,得 .

? 8,

AC ? 5 ,三角形面积为 12,

1 3 BC ? CA ? sin C ? 20sin C ? 12 ,即 sin C ? . 2 5 7 7 2 于是 cos 2C ? 1 ? 2sin C ? 从而应填 . 25 25
A α
的值.

13、 (06 湖南卷)如图 3,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . (1)证明

sin ? ? cos 2? ? 0 ;

(2)若 AC=

3 DC,求 ?
?

解:(1).如图 3,?? 即 sin ?

?
2

? (? ? 2? ) ? 2? ?

?

β

D ,? sin ?B ? sin(2? ? 图 )? 3 ? cos 2 ? 2 2

?



C

? cos 2? ? 0 .

(2) .在 ?ABC 中,由正弦定理得

DC AC DC 3DC ? ,? ? .?sin ? ? 3 sin ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? sin ?
由(1)得 sin ?

? ? cos 2? ,?sin ? ? ? 3 cos 2? ? ? 3(1 ? 2sin 2 ? ),

即2

3 sin 2 ? ? sin ? ? 3 ? 0.解得 sin ? ?

3 3 或 sin ? ? ? 2 3
.



?0 ? ? ?

?
2

? , s? in ?

3 ? ?? ,? 2 3

14、 (06 江西卷)在锐角 △ ABC 中,角 已知 sin

A ,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,

A?
2

2 2 , 3

(1)求 tan (2)若 a

B?C A ? sin 2 的值; 2 2

? 2 , S△ABC ? 2 ,求 b 的值.

解: (1)因为锐角△ABC 中,A+B+C=?, sin

A?

1 2 2 ,所以 cosA= ,则 3 3

B+C B+C A 2 +sin 2 A tan 2 +sin 2 = B + C 2 2 cos 2 2 2 1- cos (B+C) 1 1+cos A 1 7 = +( 1- cos A)= + = 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3 sin 2

(2) 因为S? ABC=

1 1 2 2 ,则 bc=3。 2,又S? ABC= bcsin A= bc ? 2 2 3
1 3 ,c= 3 b
代入余弦定理: a
2

将 a=2,cosA=

=b2+c2-2bccos A 中得 b4-6b2+9=0

解得 b=

3
A

15、 (06 江西卷)如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形, M、N 分别是边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的中心 G, 设 ?MGA=?( (1)

?
3

?? ?

2? 3



试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示为 ? 的函

?
M D

N


C

(2)求 y=

1 1 + 2 2 S1 S2

B

的最大值与最小值

解: (1)因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,

所以

AG=

2 3 3 ? = 3 2 3

,?MAG=

? 6



由正弦定理

GM sin

?
6



GA

sin (?-?- ) 6 sin ? 12sin (?+ ) 6

?

得 GM=

3

6sin (?+ ) 6

?

则 S1=

1 2

GM?GA?sin?=

?

,同理可求得 S2=

sin ?

12sin (?- ) 6

?

(2)

y=

1 1 + 2 2 S1 S2
?? ? 2? 3



144 ? ? 2 2 〔sin( ?+ )+sin( ?- )〕 =72(3+cot2?) , 2 sin ? 6 6

因为

?
3

,所以当?=

当?=

? 时,y 取得最小值 ymin=216 2

? 2? 或?= 3 3

时,y 取得最大值 ymax=240

16、 (06 全国卷 I) ?ABC 的三个内角为 .解: 由 A+B+C=π , 得 cosA+2cos

A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos

B?C 2

取得最大值,并求出这个最大值。

π B+C A B+C A = - , 所以有 cos =sin . 2 2 2 2 2

B+C A A A A 1 3 =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin =-2(sin - )2+ 2 2 2 2 2 2 2

π A 1 B+C 3 当 sin = , 即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 2 2 3 2 2 17、 (06全国II)在 ?ABC中,?B (1) BC

? 45?, AC ? 10, cos C ?

2 5 ,求 5

??

(2)若点 D是AB的中点,求中线CD的长度。 解: (1)由 cos C ?

2 5 5 得 sin C ? 5 5

sin A ? sin(180? ? 45? ? C ) ?

2 3 10 (cos C ? sin C ) ? 2 10

由正弦定理知 BC

?

AC 10 3 10 ? sin A ? ? ?3 2 sin B 2 10 2

(2)

AB ?

AC 10 5 1 ? sin C ? ? ? 2 , BD ? AB ? 1 sin B 2 2 5 2

由余弦定理知 CD ?

BD2 ? BC 2 ? 2BD ? BC cos B ? 1 ? 18 ? 2 ?1? 3 2 ?

2 ? 13 2

18、 (06 四川卷)已知 A, B, C 是三角形 ?ABC 三内角, 向量 m ?

??

? ?1, 3 ? , n ? ? cos A,sin A? ,且 m ? n ? 1

?

?? ?

A; 1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B (Ⅱ)若 cos 2 B ? sin 2 B
(Ⅰ)求角 解:本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力。 (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴

?? ?

? ?1, 3 ? ? ? cos A,sin A? ? 1
? ?
5? 6



3 sin A ? cos A ? 1

? 3 1? , ?? 1 ? 2? sin A ? ? cos A ? A? ? ? ? ? ? ? 1 sin ? 2 2 6? 2 ? ? ?

6 6 6 6 3 1 ? 2sin B cos B ? ?3 ,整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0 (Ⅱ)由题知 cos 2 B ? sin 2 B
∴ cos B ∴ tan B 而 tan B

∵0 ?

A ? ?,?

? A?

?

∴ A?

?

?

?

∴A?

?

?0

∴ tan

2

B ? tan B ? 2 ? 0

? 2 或 tan B ? ?1

? ?1 使 cos2 B ? sin 2 B ? 0 ,舍去

∴ tan B

?2

∴ tan C

? tan ? ?? ? ? A ? B ? ? ? ? ? tan ? A ? B? ? ?

tan A ? tan B 2? 3 8?5 3 ? ?? 1 ? tan A tan B 11 1? 2 3 3 . 4

19、 (06 天津卷)如图,在 ?ABC 中, (1)求

AC ? 2 , BC ? 1 , cos C ?

AB 的值;

(2)求 sin

?2 A ? C ? 的值.
察基 决问题的能力.满分 12 分.

本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识,考 本运算能力及分析解 (Ⅰ)解: 由余弦定理,

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC.BC.cos C ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1?

3 ? 2. 4

那么,

AB ? 2.
? 3 7 2 ,且 0 ? C ? ? , 得 sin C ? 1 ? cos C ? . 4 4


(Ⅱ)解:由 cos C

由正弦定理,

AB BC BC sin C 14 ? , 解得 sin A ? ? sin C sin A AB 8

所以, cos A ?

5 2 8
2

。由倍角公式 sin 2 A ? sin 2 A ? cos A ?

5 7 16



且 cos 2 A ? 1 ? 2sin

A?

9 16



故 sin

? 2 A ? C ? ? sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C ?

3 7 8

.

20、 (07 重庆理 5)在 ?ABC 中, A. 3 ? 【答案】 :A 【分析】 :? AB ?

AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =(
C.2 D. 3 ?



3

B.

2

3

3, A ? 450 , C ? 750 , 由正弦定理得:
3 , 6? 2 4

a c BC AB ? ,? ? ? ? sin A sin C sin 45 sin 75?

? BC ? 3 ? 3.
21、 (07 北京文 12 理 11)在 △ ABC 中,若 tan

A?

1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3
A 为锐角,sin

解析: 在 △ ABC 中, 若 tan

A?

1 ? ,C ? 150 , ∴ 3

A?

BC ? sin C 1 10 ,BC ? 1 , 则根据正弦定理 AB ? = 。 . sin A 2 10

22、 (07 湖南理 12)在 △ ABC 中,角

A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 ,

c ? 3 ,则 B ?
【答案】



5π 6 5π 1? 3 ? 7 3 ?? , ,所以 B ? . 6 2 2 ?1? 3

【解析】由正弦定理得 cos B ?

23、 (07 湖南文 12) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 若a

? 1, c ? 3, C ?

?
3

,则 A=

.

3 π a c a sin C 1 【解析】由正弦定理得 ? ? sin A ? ? 2 ? ,所以 A= 6 sin A sin C c 3 2
24、 (07 重庆文 13)在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= 【答案】 : 3 【分析】 :由余弦定理得: AC
2



? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3.? AC ? 3.

24、 (07 北京文理 13)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图) .如果 小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小 的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的值等于 . 解析:图中小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,∴ 每一个直角三角形的面积是 6,设直角三角形的两条直角边长分别为 a, b,则

?a 2 ? b 2 ? 25 ? , ? 1 ab ? 6 ? ? 2
∴ 两条直角边的长分别为 3,4, 设直角三角形中较小的锐角为 ? ,cosθ= 25、 (07 福建理 17)在 △ ABC 中, tan (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为

4 5

,cos2θ=2cos2θ-1=

7 。 25

A?

1 3 , tan B ? . 4 5

17 ,求最小边的边长.

本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力,满分 12 分.

1 3 ? 4 5 ? ?1 . 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ)? C ? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4
又? tan

? ?? A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,? 角 A 最小, BC 边为最小边. ? ??

sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin

A?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB ? sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC

? 2.

26、 (07 广东理 16)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为

A(3, 4) , B(0, 0) , C (c, 0) .

? 5 ,求 sin ∠ A 的值; (2)若 ∠A 是钝角,求 c 的取值范围.
(1)若 c 解析: (1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) ,若 c=5, 则 AC ? (2, ?4) , ∴ cos ?A ? cos ? AC, AB ??

??? ?

????

????

???? ??? ?

?6 ? 16

5? 2 5 5 ? ?3c ? 9 ? 16 ? 0 25 25 2)若∠A 为钝角,则 ? 解得 c ? ,∴c 的取值范围是 ( , ??) ; 3 3 ?c ? 0
28、 (07 湖北理 16)已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ? (I)求 ? 的取值范围; (II)求函数

?

1

,∴sin∠A=

2 5 ; 5

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? AB ? AC ? 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ?



?? ? f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查推理和运算能力. 解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 则由

A ,B,C 的对边分别为 a,b,c ,

1 ?π π? bc sin ? ? 3 , 0 ≤ bc cos ? ≤ 6 ,可得 0 ≤ cot ? ≤1,∴? ? ? , ? . 2 ?4 2?

(Ⅱ)

? ?π ? ?π ?? f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?? ?

π? ? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1. 3? ? π ? π 2π ? π? ? ?π π? ∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? ,∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 . 3 ?6 3 ? 3? ? ?4 2?
5π π 时, f (? )max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? )min ? 2 . 12 4 29、 (07 全国卷 1 理 17)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 1 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? , 2 π 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ? . 6
即当 ?

?

(Ⅱ) cos A ? sin C

? ? ? ?? ? ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ? ?6 ?

1 3 ?? ? ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . 2 2 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

? ? ? ? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? 2 2 2 2 6 3



2? ? ? 1 ? ?? 3 ? A ? ? ,所以 sin ? A ? ? ? . 3 3 6 2 ? 3? 2

由此有

3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?
? 3 3? ? ? 2 , ?. 2 ? ?
A? ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

30、 (07 全国卷 2 理 17)在 △ ABC 中,已知内角 (1)求函数 (2)求

y ? f ( x) 的解析式和定义域;
? 2? A ? B ? C ? ? ,由 A ? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

y 的最大值.

解: (1) △ ABC 的内角和

应用正弦定理,知

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?
因为

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

y ? AB ? BC ? AC ,

所以

2? ? ? 2? ? ? y ? 4sin x ? 4sin ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? ? 1 y ? 4? sin x ? cos x ? sin x ? ? ??2 3 ? 2 ? ?

(2)因为

?? ? ? 4 3 s i? nx ? ? ? ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2 ?3 ? x ? ? ? , ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?
A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 .

32、 (07 山东文 17)在 △ ABC 中,角 (1)求 cos C ;

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2 sin C ? ?3 7 解: (1)? tan C ? 3 7, cos C CA ? (2)若 CB ?
又? sin
2

??? ? ??? ?

C ? cos2 C ? 1

解得 cos C

??

1 . 8

? tan C ? 0 ,? C 是锐角. ? cos C ?

CA ? (2)? CB ?
又? a ? b

??? ? ??? ?

1 . 8

5 5 , ? ab cos C ? , ? ab ? 20 . 2 2

? 9 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 .

? a 2 ? b2 ? 41.

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 . ? c ? 6 .

33、 (07 上海理 17)在 △ ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A, B, C 的对边. 若a

? 2, C ?

π 4

, cos

B 2 5 ? 2 5

,求 △ ABC 的面积 S .

解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B

3 5

?

4 , 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
由正弦定理得

c?

10 7



? S ? ac?sin B ? ? 2 ?

1 2

1 2

10 4 8 ? ? . 7 5 7

34、 (07 天津文 17)在 △ ABC 中,已知 (Ⅰ)求 sin

AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?

4 . 5

B 的值;

(Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

? ?

?? ? 的值. 6?

本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识,考查基本运算能力.满分 12 分. (Ⅰ)解:在 △ ABC 中, sin

3 ? 4? A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ? ? ? ? , 5 ? 5?

2

BC AC AC 2 3 2 ? sin A ? ? ? . .所以 sin B ? sin A sin B BC 3 5 5 4 (Ⅱ)解:因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5
由正弦定理,

21 ?2? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 2 ?

21 17 ?1 ? , 5 25

2 21 4 21 . sin 2B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? 5 5 15 3 17 1 12 7 ? 17 ?? ? ? 4 21 ? . ? ? ? ? sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? 25 2 25 2 50 6? 6 6 ?
35、 (07 浙江理 18)已知 △ ABC 的周长为 (I)求边

2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C .

AB 的长;

(II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

解: (I)由题意及正弦定理,得 两式相减,得

AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB ,

AB ? 1 . 1 1 1 sin C ? sin C ,得 BC ?AC ? , (II)由 △ ABC 的面积 BC ?AC ? 2 6 3

由余弦定理,得 cos C

?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ? , 2 AC ?BC 2 AC ?BC 2

所以 C

? 60? .
? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点, DC ? 2 BD, 则

36、 (07 天津文理 15) 如图,在 ?ABC 中, ?BAC

???? ??? ? AD?BC ? __________ .
【答案】 ?

A B D

8 3

C

【分析】法一:由余弦定理得 cos B ? 可得 BC

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 2 ? AB ? AC 2 ? AB ? BD

? 7 , AD ?

13 , 3



???? ??? ? BD 2 ? AD 2 ? AB 2 32 9 8 ?? ? ?? AD, BC 夹角大小为 ?ADB , cos ?ADB ? , 2 ? BD ? AD 9 4 13 ? 7 91
???? ??? ? 8 AD?BC ? AD ? BC ? cos ?ADB ? ? . 3

所以

法二:根据向量的加减法法则有: BC

??? ?

??? ? ??? ? ? AC ? AB

???? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ???? 2 ??? ? AD ? AB ? BD ? AB ? ( AC ? AB ) ? AC ? AB ,此时 3 3 3 ???? ??? ? 1 ???? 2 ??? ? ???? ??? ? 1 ???? 2 2 ???? ??? ? 2 ??? ?2 AD · BC ? ( AC ? AB)( AC ? AB) ? AC ? AC · AB ? AB 3 3 3 3 3 1 8 1 8 ? ? ? ?? . 3 3 3 3

正、余弦定理的五大命题热点 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具, 其主要作用是将已知条件中的边、 角关系转化为角的关系或边的关系。 在近年高考中主要有以下五大命题热点: 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题. 例 1(2005 年全国高考江苏卷)

?ABC 中, A ?
B. 4

?
3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为(



A. 4

?? ? 3 sin ? B ? ? ? 3 3? ?

?? ?? ? ? 3 sin ? B ? ? ? 3 C. 6 sin? B ? ? ? 3 6? 3? ? ?

D. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 6?

分析:由正弦定理,求出 b 及 c,或整体求出 b+c,则周长为 3+b+c 而得到结果. 解:由正弦定理得:
3 sin ? b c b?c ? ? ? sin B sin C sin B ? sin C b?c 2? sin B ? sin( ? B) 3



?
3

得 b+c= 2

3 [sinB+sin(

2? 3

-B)]= 6 sin( B

?

?

?? ? ) .故三角形的周长为:3+b+c= 6 sin? B ? ? ? 3 ,故选(D). 6 6? ?
? 6
,周长应为 3

评注:由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时,即 B=

3 +3,故排除(A)、(B)、(C).而选(D).

例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在Δ ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值. , cos B ? 3 6

分析:本题关键是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA. 解:设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE

?

1 2 6 AB ? 2 3

,设 BE=x

王新敞
奎屯

新疆

在Δ BDE 中利用余弦定理可得: BD

2

? BE 2 ? ED2 ? 2BE ? ED cos BED ,

7 8 2 6 6 5 ? x2 ? ? 2 ? ? x ,解得 x ? 1 , x ? ? (舍去) 3 3 3 6
故 BC=2,从而 AC
2

王新敞
奎屯

新疆

? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B ?

2 21 28 ,即 AC ? 3 3

王新敞
奎屯

新疆

又 sin B

?

30 ,故 6

2 2 ? sin A

21 , sin 3 30 6

A?

70 14

王新敞
奎屯

新疆

二、判断三角形的形状 A.直角三角形 解法 1:由 2 sin

给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状.

例 3(2005 年北京春季高考题)在 ?ABC 中,已知 2 sin B.等腰三角形

A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是(
D.正三角形



C.等腰直角三角形

A cos B ? sin C =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即 sinAcosB-cosAsinB=0,得 sin(A-B)=0,得 A=B.故选(B).

解法 2:由题意,得 cosB=

sin C c a2 ? c2 ? b2 ? ,再由余弦定理,得 cosB= 2sin A 2a 2ac





a2 ? c2 ? b2 2ac



c 2 2 ,即 a =b ,得 a=b,故选(B). 2a

评注:判断三角形形状,通常用两种典型方法:⑴统一化为角,再判断(如解法 1),⑵统一化为边,再判断(如解法 2). 三、 解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题. 例 4(2005 年全国高考上海卷) 在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 ,
?

AB ? 5 , BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积 S=_________
AB?ACsinA 即可解决.

王新敞
奎屯

新疆

分析:本题只需由余弦定理,求出边 AC,再运用面积公式 S=

1 2

解:由余弦定理,得 cosA=

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 25 ? AC 2 ? 49 1 ? ? ? ,解得 AC=3. 2 AB ? AC 10 ? AC 2
.∴

∴ S=

1 2

AB?ACsinA=

15 3 4

1 2

AB?AC?sinA=

1 2

AC?h,得 h=AB? sinA=

3 2 2

,故选(A).

四、求值问题 例 5(2005 年 全 国 高 考 天 津 卷 ) 在

?ABC

中,

?A、?B、?C

所对的边长分别为

a、 b、 c , 设 a、 b、 c 满 足 条 件

b 2 ? c 2 ? bc ? a 2 和

c 1 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值. b 2

分析:本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正、余弦定理.

b2 ? c2 ? a2 1 ? ,因此, ?A ? 60? 解:由余弦定理 cos A ? 2bc 2
由已知条件,应用正弦定理

在△ABC 中,∠C=180° -∠A-∠B=120° -∠B.

1 c sin C sin(120 ? ? B) ? 3? ? ? 2 b sin B sin B

?

1 sin 120? cos B ? cos120? sin B 3 1 ? cot B ? , 解得 cot B ? 2, 从而 tan B ? . 2 sin B 2 2

五、交汇问题 是指正余弦定理与其它知识的交汇,如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇. 例 6(2005 年全国高考卷三试题)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, cos (Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; (Ⅱ)设 BA ? BC

B?

??? ? ??? ?

3 . 4

?

3 ,求 a+c 的值. 2

分析:本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇,关键是用好正弦定理、余弦定理等. 解: (Ⅰ)由 cos B

3 3 7 2 B ? s i nA s i n C. ? , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 由 b2=ac 及正弦定理得 s i n 4 4 4

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B sin B 1 4 ? ? ? 7. 2 sin B sin B 7 ??? ? ??? ? 3 3 3 2 (Ⅱ)由 BA ? BC ? ,得 ca?cosB= ,由ㄋ B= ,可得 ac=2,即 b =2. 2 2 4
则 cot

A ? cot C ?

由余弦定理 b2=a2+c2-2ac+cosB,得 a2+c2=b2+2ac·cosB=5. 正余弦定理解三角形的实际应用

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3

利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识,例析如下: 一、 测量问题 例 1 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边选定 A、B 两点,望对岸标记物 C, 测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm,求河的宽度。 分析:求河的宽度,就是求△ABC 在 AB 边上的高,而在河的一边,已测出 AB 长、 ∠CAB、∠CBA,这个三角形可确定。 解析:由正弦定理得

C

S? ABC

AC AB ? ,∴AC=AB=120m,又∵ sin ?CBA sin ?ACB 1 1 ? AB ? AC sin ?CAB ? AB ? CD ,解得 CD=60m。 2 2

A 图1

D

B

点评:虽然此题计算简单,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题” 。 二、 遇险问题 例 2 某舰艇测得灯塔在它的东 15°北的方向,此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进,30 分钟后又测得灯塔在它的东 30°北。若此灯 塔周围 10 海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险? 解析:如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15°北的方向上;舰艇航行半小时 后到达 B 点,测得 S 在东 30°北的方向上。 在△ABC 中,可知 AB=30×0.5=15, ∠ABS=150°,∠ASB=15°,由正弦定理得 BS=AB=15,过点 S 作 SC⊥直线 AB, 垂足为 C,则 SC=15sin30°=7.5。 这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里,而灯塔周围 10 海里内有暗礁,故继续航 行有触礁的危险。 点评:有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是: (1)准确理解题意,分 清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语; (2)画出示意图,并将已知条件在图形中 标出; (3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。 三、 追击问题 例 3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45°方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西 15°方向航行,若甲船以 28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快 追上乙船?

北 西 15° B 30° 图2 北 A 45° B 15° 东 C

A 南

C 图3

解析:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。 在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9,设∠ABC=α,∠BAC=β。 ∴α=180°-45°-15°=120°。根据余弦定理

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ? ,
,t=

1 3 2 ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? ( ? ) ,128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 , (4t-3) (32t+9)=0,解得 t= 2 4 3 n mile,BC=20× =15 n mile。 4

? 28t ?

2

9 3 (舍)∴AC=28× 4 32

=21

BC sin ? ? 根据正弦定理, 得 sin ? ? AC
∴arcsin

15 ?

3 2 ? 5 3 ,又∵α=120°,∴β为锐角,β=arcsin 5 3 21 14 14
的方向用

, 又

5 3 14



7 2 14



2 2



5 3 14



? ? 5 3 ,∴甲船沿南偏东 -arcsin 4 4 14

3 4

h 可以追上乙船。

点评:航海问题常涉及到解三角形的知识,本题中的 ∠ABC、AB 边已知,另两边未知,但他们都是航行的距离,由于两船的航行速度 已知,所以,这两边均与时间 t 有关。这样根据余弦定理,可列出关于 t 的一元二次方程,解出 t 的值。 正弦定理在实际问题中的应用 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,并且都等于外接圆的直径.这一定理的引入,标志着对三角形的又向前迈进了一 步,由过去的解直角三角形到可以解任意三角形.正弦定理在实际问题中有着广泛的应用,下面介绍几例. 例 1 某人在草地上散步,看到他西南有两根相距 6 米的标杆,当他向正北方向步行 3 分钟后,看到一根标杆在其南方向上,另一根标 杆在其南偏西 30 ? 方向上,求此人步行的速度. 解:如图所示,A、B 两点的距离为 6 米,当此人沿正北方向走到 C 点时,测得∠BCO = 45 ? , -∠ACO = 45 ? - 30 ? = 15 ? . 由题意,知∠BAC = 120 ? ,∠ABC = 45 ? . 在△ABC 中,由正弦定理,得: 即有 AC = ∠ACO = 30 ? ,∴∠BCA =∠BCO



AC AB = , sin ?ABC sin ?BCA AB ? sin ?ABC 6 ? sin 45 ? = = 6 3 +6. sin ?BCA sin 15 ?

C
30 ? 45 ?

在直角三角形 AOC 中,有:OC = AC· cos 30 ? = ( 6

3 +6)×

3 = 9+ 3 3 . 2

西

B

A

O



设步行速度为 x 米/分,则 x =

9?3 3 3

= 3+

3 ≈4.7.

C



即此人步行的速度为 4.7 米/分. 例 2 某海轮以 30 海里/小时的速度航行,在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60 ? ,向北航行 40 分钟后到达 B 点,测得油井 P 在南偏东 30 ? ,海轮改为北偏东 60 ? 的航向再行驶 80 分钟到达 C 点,求 P、C 间的距离. 解:如图,在△ABP 中,AB = 30× ∠APB = 30 ? ,∠BAP = 120 ? , 由正弦定理,得:

60 ?

B
30 ?

40 60

= 20,

A
,即

60 ?

P

AB BP = sin ?BPA sin ?BAP 80 60

20 BP = ,解得 BP = 20 3 . 1 3 2 2

在△BPC 中,BC = 30×

= 40,

由已知∠PBC = 90 ? ,∴PC = 所以 P、C 间的距离为 20

PB2 ? BC 2

=

(20 3 ) 2 ? 20 2 = 20 7

(海里).

7 海里.

评析:上述两例是在准确理解方位角的前提下,合理运用正弦定理把问题解决,因此,用正弦定理解有关应用问题时,要注意问题中的 一些名称、术语,如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等. 例 3 某工厂生产主要产品后,留下大量中心角为 60 ? ,半径为 a 的扇形边角料,现要废物利用,从中剪裁下巨型毛坯,要求矩形面积 尽可能大,请问如何裁剪? 分析:从实际出发,尽可能使面积最大,有两种裁剪方法.一种是使矩形的一边落在扇形的半径上,另一种是使矩形的两顶点分别在扇 形的两条半径上,分别计算出这两种情况下的最大值,再比较结果的出最佳方案. 解:方案一,如图 1,矩形有两个顶点在半径 OA 上,设∠AOP = ? ,则 PM = a· sin ? , ∵扇形中心角为 60 ? ,∴∠PQO = 120 ? ,由正弦定理,得:

OP PQ 2 = ,即 PQ = · a· sin( 60 ? - ? sin 120 ? sin(60? ? ? ) 3

),

∴矩形的 MPQR 的面积为:S 1 =PM· PQ =

2 3

· a · sin ? · sin( 60 ? - ? ) =
2

1 3

· a [cos( 2? - 60 ? )-cos 60 ? ]≤
2

1 3

· a · (1-

2

1 2

)=

3 2 a , 6

当 ? = 30 ? 时,cos( 2? - 60 ? ) = 1,S 1 取得最大值

3 2 a . 6
RM a = ,即 RM = 2a· sin ? sin ? sin 150 ?

方案二,如图 2,矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径 OA、OB 上, 设∠AOM = ? ,∠MRA =

1 2

× 60 ? = 30 ? ,∠MRO = 150 ? ,由正弦定理,得:





a OR = ,∴OR = 2a· sin( 30 ? - ? sin(30? ? ? ) sin 150 ?
2 2

),∴矩形的 MPQR 的面积为:

S 2 = MR· PQ = 4a · sin ? · sin( 30 ? - ? ) = 2a · [cos( 2? - 30 ? )-cos 30 ? ]≤2a · (1-
2

3 2 ) = (2- 3 )a . 2

即在此情况下,∠AOM = ? = 15 ? 时,可求出 M 点,然后作出 MPQR 面积为最大. 由于 S 1 -S 2 =

3 2 a -(2- 6

B Q

B

P

3 )a 2 =

a2 ( 7 3 -12)>0,所以第一种方案能 6
O

Q

P M A

M
O

使裁出的矩形面积最大, 即∠AOP = ? = 30 ? , 使P 取在 AB 弧中点,分别向扇形的一条半径作垂线及 平行线得到矩形 MPQR,即为最大矩形.

R

图1

R 图2

A

正余弦定理的变式、应用及其推广 正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理,如果将它们整合、变形后再应用,就会感到另一种新奇与愉悦,同时也 给众多题目找到了“同一根源” 。 一、变式 如果将正弦定理中 a = 2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC 代入余弦定理中可得: (1)sin 2C + sin 2B - 2sinCsinBcosA = sin 2A; (2)sin 2A + sin 2C - 2sinAsinCcosB = sin2B; (3)sin 2A + sin 2B - 2sinAsinBcosC = sin 2C; 以上诸式表明,三角形中两个角的正弦的平方和减去第三个角的正弦的平方,等于前两个角的正弦与第三个角的余弦的积的两倍; 变式 1:在△ABC 中,sin A + sin B - sin C = 2sinAsinBcosC; 变式 2:在△ABC 中,sin A + sin B-sin (A+B)= -2sinAsinBcos(A+B) ,即 sin A + sin B +2sinAsinBcos(A+B) = sin (A+B);
2 2 2 2 2 2 2 2 2

观察变式的结构特征总有“意犹未尽”之感,必然令人产生一种猜测:当 A、B 为任意角时,等式还会成立吗?事实上,答案是肯定的。 变式 3:sin α+sin β+2sinαsinβcos(α+β)= sin (α+β) 证明:左=
2 2 2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2 ? + 2 2

+ 2sinα sinβ cos (α +β ) = 1 -

1 2

( cos2α +cos2β ) + 2sinα sinβ cos (α +β )

= 1 - cos (α +β )cos (α -β ) + 2sinα sinβ cos (α +β ) = 1 - cos (α +β ) [ cos (α -β ) - 2sinα sinβ ]= 1 – cos2(α +β ) = sin2(α +β ) 二、应用 上述变式有着广泛的应用,以下从几个方面加以说明: 1、求三角函数值 例 1、求 cos2 71°+ cos71°cos49°+ cos 2 49°的值.

解:由变式(2)知 sin 219°+ sin 241°+ sin19°sin41°= sin 219°+ sin 241°+ 2sin19°sin41°cos60°= sin260°= 例 2、(1998 年高考试题)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,设 a+c=2b,A-C=
2 2 2

? ,求 sinB 的值。 3
2

3 4

.

解:由 a+c=2b 及正弦定理得:sinA+sinC=2sinB,∴4sin B= sin A + sin C+2 sinA sinC= sin B+2 sinA sinC(1+cosB) ,又∵A-C= ∴2 sinA sinC= -cos(A+C)+cos

? 1 = + cosB, 3 2

? , 3

∴3sin B=(

2

1 2
=

+ cosB) (1+cosB) ,化简得, 8cos B+3cosB-5=0,

2

∴cosB=

5 5 2 ,或 cosB=-1(不合题意,舍去) ,∴sinB= 1 ? ( ) 8 8

39 。 8
2 2 2

2、判定三角形形状
2 2

例 3、在△ABC 中,已知 sin A + sin B+ sin C = 2, 试判断△ABC 的形状:
2 2

解:由变式(1)知 sin A + sin B+ sin C- 2 = 2sinAsinBcosC+ 2 sin C- = 2( sinAsinB - cosC)cosC = 2cosC [sinAsinB + cos( A+B)]= 2cosAcosBcosC 即 cosA = 0 或 cosB = 0 或 cosC = 0 , 又∵sin A + sin B+ sin C = 2,∴cosAcosBcosC = 0, ∴△ABC 是直角三角形。
2 2 2 2 2

3、证明三角恒等式 证明:由变式(3)知 sin (α +β ) = sin
2 2

例 4、设α 、β 为锐角,且 sin α + sin β = sin(α +β ), 求证:α +β =

? 。 2 ? 2

? + sin 2 ? +2sinα sinβ cos(α +β )
2

= sin(α +β )+ 2sinα sinβ cos(α +β )≥sin (α +β ) + 2sinα sinβ cos(α +β )。可见 cos(α +β )≤0 则

得α +β ≥

? >α 2



? -β 2

>0 , 得 sinα >sin (

? 2 ? 2

? 2

, 若α +β >



-β ) = cosβ >0 ,从而 sin(α +β ) = sin2α + sin 2β >cos 2β + sin 2β = 1,所以α +β =

? 2



三、推广 若将变式(3)中的β 用-β 来代替即可得,推论 1:sin α+ sin β-2sinαsinβcos(α-β)= sin (α-β); 若将变式(3)中的α 、β 分别用
2 2 2

? 2

-α ,

-β 来代替即可得,推论 2:cos α+ cos β-2cosαcosβcos(α+β)=sin (α+β);
2 2 2

2

2

2

若将推论 2 中的β 用 -β 来代替即可得。推论 3:cos α+cos β-2cosαcosβcos(α-β)=sin (α-β); 事实上,若对变式(3)式中分别对α 、β 赋以不同的特殊角则还可得一系列高考试题: ①(1991 全国高考)求 cos 210°+ cos 250°- sin40°sin80°的值; ②(1992 全国高考)求 sin 220°+ cos280°+ 07 年高考题 山东理(20) (本小题满分 12 分)如图,甲船以每小时 30
?

3 sin20°cos80°的值

;③(1995 全国高考)求 sin 220°+ cos 250°+ sin20°cos50°的值。

2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处

时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达

A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120? 方


120?

A2
A

B2

105?

向的 B2 处,此时两船相距 10 (20) 如图,连结

2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
20 ? 10 2 , 60

A1B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 30 2 ?

? A1 A2 ? A2 B1 ,又 ∠A1 A2 B2 ? 180? ?120? ? 60? , ? △A1 A2 B2 是等边三角形,? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,由已知, A1B1 ? 20 ,∠B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,
在 △A 1 B2 B 1 中,由余弦定理, B 1B2
2 2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 ?A1B2 ? cos 45? ? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

2 2

? 200 .? B1B2 ? 10 2 .因此,乙船的速度的大小为
浙江理(18)已知 △ ABC 的周长为 求角 C 的度数.

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

1 (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C , 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . 6

(18)解: (I)由题意及正弦定理,得

AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得 AB ? 1 .

(II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ?AC ? sin C ? sin C ,得 BC ?AC ? , 2 6 3

由余弦定理,得 cos C

?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC ?BC

?

( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ,所以 C ? 60? . 2 AC ?BC 2
? 2, C ? π 4
, cos

上海理 17.

在 △ ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A, B, C 的对边.若 a

B 2 5 ? 2 5

,求 △ ABC 的面积 S .

17.解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B

3 5

?
1 2

4 ? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin ? , ?B?? 5 ? 4 ? 10
10 4 8 ? ? . 7 5 7

由正弦定理得

c?

10 7



? S ? ac?sin B ? ? 2 ?

1 2



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