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安徽省江淮十校2015届高三8月联考数学文试题



安徽省江淮十校 2015 届高三 8 月联考数学文试题
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数 z ? a 2 ? 1 ? (a ? 1)i(a ? R) 为纯虚数,则 z 为 A.0 B. 2i C. ?2i D. ?1 ? 2i ( ) ( )

r />2.下列函数中周期为 ? 且图象关于直线 x ? A. y ? 2sin(2 x ? C. y ? 2sin(2 x ?

?
6

对称的函数是 B. y ? 2sin( ?

?
6

)

?

6

)
2 2

x ? ) 2 3 x ? D. y ? 2sin( ? ) 2 3
( )

3.若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? 1) ? ( y ? a) ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为 A. ?2 或 6 B. 0 或 4 C. ?1 或 3 D. ?1 或 3

?x ? y ?1 ? 0 ? 4.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 0 ?
A.2 5.下列命题说法正确的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2 2





B.

5 2

C. ?1

D.

1 2
( )

B.“ 0 ? x ? 3 ”是“ x ? 1 ? 1 ”的必要不充分条件 C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆命题为真命题 6.按如下程序框图,若输出结果为 S ? 42 ,则判断框内应补充的条件为 ( )

A. i ? 3 7.椭圆

B. i ? 5

C. i ? 7

D. i ? 9 ( )

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 a 的值是 6 a a 4
B.1 或 ?2 C.1 或 1 2 D.1

1 A. 2

8. 一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
·1·





A. 220 ? 15? C. 200 ? 9?

B. 208 ? 15? D. 200 ? 18?

9.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .若当 x ? ? 0,1? 时,

f ( x) ? 2 x ? 2 ,则 f (log 1 4 2) 的值为
2

第 8 题图





A. 0 10. 如图,已知点 P

?

2, 0 ,正方形 ABCD 内接于圆 O : x 2 ? y 2 ? 1, M 、 N 分别为边 AB 、 BC 的
( )

?

B. 1

C. 2

D. ? 2

中点. 当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时, PM ? ON 的取值范围为 A. ? ?2, 2? C. ? ?1,1? B. ? ? 2, 2 ?

?

?

D. ? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

第 10 题图

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡上. )
11. 设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a2 ? a3 ? a10 ? 12 ,则 S9 ? 12.函数 f ( x) ? x sin x ? cos x 在 ? .

?? ? , ? 上的最大值为 ?6 ? ?



13.某市即将申报“全国卫生文明城市”,相关部门要对该市 200 家饭店进行卫生检查,先在这 200 家饭 店中抽取 5 家大致了解情况,然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作,相关部门先将这 200 家饭店按 001 号至 200 号编号,并打算用随机数表法抽出 5 家饭店,根据下面的随机数表,要求从本数表 的第 5 列开始顺次向后读数,则这 5 个号码中的第二个号码是 . 随机数表:84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 14.已知 A( xA , y A ) 是单位圆上(圆心在坐标原点 O )任一点,将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 单位圆于点 B( xB , yB ) ,则 2 y A ? yB 的最大值为 .

? 到 OB 交 3

15.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若 ?x ? D, ?y ? D ,使得 f ( y) ? ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 为“美丽 函数”.下列所给出的五个函数: ① y ? x ;② y ?
2

1 x ?x ;③ f ( x) ? ln(2 x ? 3) ;④ y ? 2 ? 2 ;⑤ y ? 2sin x ? 1 . x ?1
·2·

其中是“美丽函数”的序号有



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.)
16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c , sin A ? (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 7 ,求 c 及 ?ABC 的面积.

3a . 2b

17. (本小题满分 12 分) 某位同学进行寒假社会实践活动, 为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分 析研究, 他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温 x(° C) 与该小卖部的这种饮料销量 y(杯) , 得到如下数据: 日 期 1 月 11 日 9 23 1 月 12 日 10 25 1 月 13 日 12 30 1 月 14 日 11 26 1 月 15 日 8 21

平均气温 x (° C) 销量 y (杯)

(Ⅰ)若先从这五组数据中抽出 2 组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率;

? ?a ? ? bx ?; (Ⅱ)请根据所给五组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
(Ⅲ)根据(Ⅱ)中所得的线性回归方程,若天气预报 1 月 16 日的白天平均气温 7(° C) ,请预测该奶茶 店这种饮料的销量.

?? (参考公式: b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? . ? ? y ? bx ,a )

2

18. (本小题满分 12 分) 已知首项为 差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? n an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 并比较 Tn ? bn 与 6 大小.

3 ? ,公比不等于 1 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) ,且 ?2S2 , S3 , 4 S 4 成等 2

·3·

19.(本小题满分 13 分) 在如图所示的多面体 ABCDEF 中, DE ? 平面 ABCD , AD BC ,平面 BCEF E ?BAD ? 60 , AB ? 2 , DE ? EF ? 1. (Ⅰ)求证: BC EF ; (Ⅱ)求三棱锥 B ? DEF 的体积. F D C A 第 19 题图 20. (本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? k ln x ? kx ? 3(k ? R) . (Ⅰ)当 k ? ?1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; ( Ⅱ ) 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 ? 2 , f ( 2 处 的 切 线 与 直 线 x ? y ?3 ? 0 平 行 , 且 函 数 ?) B 平面 ADEF ? EF ,

t g ( x)? 3 x? 2

2

(1, 2) 上有极值,求 t 的取值范围. x? 2 x? ( f 在区间 )x

21.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的 a b 2
三角形面积为 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P(0, 2) ,过点 Q(?1, ?2) 作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点(异于 P ) ,直线 PA 、 PB 的斜率 分别为 k1 、 k 2 .试问 k1 ? k 2 是否为定值?若是,请求出此定值,若不是,请说明理由.

·4·

安徽省“江淮十校协作体”2015 届高三第一次联考 数学(文科)试卷及解析
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
1.已知复数 z ? a 2 ? 1 ? (a ? 1)i(a ? R) 为纯虚数,则 z 为 A.0 答案: C 【解析】 :由 ? B. 2i C. ?2i D. ?1 ? 2i ( ▲ )

?a 2 ? 1 ? 0 ?a ? 1 ? 0

,得 a ? 1 ,故 z ? 2i ,所以 z ? ?2i .

2.下列函数中周期为 ? 且图象关于直线 x ? A. y ? 2sin(2 x ? C. y ? 2sin(2 x ? 答案: C

?
6

对称的函数是 B. y ? 2sin( ?

( ▲ )

?
6

)

?

6

)

x ? ) 2 3 x ? D. y ? 2sin( ? ) 2 3

【解析】 :由周期为 ? 可排除选项 B 和 D,对于选项 C,当 x ?
2 2

?
6

时,函数取得最大值,显然符合题意.

3.若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? 1) ? ( y ? a) ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为( ▲ ) A. ?2 或 6 答案: D B. 0 或 4 C. ?1 或 3 D. ?1 或 3

【解析】 :由圆的性质可得圆心到直线的距离为 d ?

4?

? 2?

2

?

1? a ? 2 2

,解得 a ? ?1 或 3.

?x ? y ?1 ? 0 ? 4.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 0 ?
A.2 B.

( ▲ )

5 2

C. ?1

D.

1 2

答案: A 【解析】 :由线性规划知识易得. 5.下列命题说法正确的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2 2

( ▲ )

B.“ 0 ? x ? 3 ”是“ x ? 1 ? 1 ”的必要不充分条件 C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

·5·

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆命题为真命题 答案: B 【解析】 :对于选项 A,命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题应为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” ; 对于选项 B, x ? 1 ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 2 ,所以命题正确; 对于选项 C,命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定应为:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”;
2 2

对于选项 D, 命题“若 x ? y , 则 sin x ? sin

y ”的逆命题为“若 sin x ? sin y ,则 x ? y ”显然为假命题.
( ▲ )

6.按如下程序框图,若输出结果为 S ? 42 ,则判断框内应补充的条件为

A. i ? 3 B. i ? 5 C. i ? 7 D. i ? 9 答案: B 【解析】 :S=0+2=2,i=1+2=3,不满足条件,执行循环体; S=2+8=10,i=2+3=5,不满足条件,执行循环 体; S=10+32=42,i=5+2=7,满足条件,退出循环体,故判断框内应补充的条件为 i ? 5 . 故选:B. 7.椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 a 的值是 6 a a 4
B.1 或 ?2 C.1 或 1 2 D.1

( ▲ )

1 A. 2 答案: D

【解析】 :由椭圆与双曲线有关知识易得 6 ? a ? a ? 4(a ? 0) ,解得 a ? 1 .
2

8. 一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 220 ? 15? B. 208 ? 15? C. 200 ? 9? D. 200 ? 18?

( ▲ )

答案: B
·6·

第 8 题图

【解析】 :由三视图易得此几何体为一个长方体与半圆柱的组合体,其表面积为

(10 ? 4 ? 10 ? 5 ? 4 ? 5) ? 2 ? 6 ? 2 ? ? ? 32 ? ? ? 3 ? 2 ? 208 ? 15? .
9. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) . 若当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? 2 ? 2 ,
x

则 f (log 1 4 2) 的值为
2

( ▲ ) B. 1 C. 2 D. ? 2

A. 0 答案: A

【解析】 :由题意知函数 f ( x) 是周期为 2 的周期函数,而 log 1 4 2 ? ?
2
1 5 1 1 f (log 1 4 2) ? f (? ? 2) ? ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?(2 2 ? 2) ? 0 . 2 2 2 2

5 ,所以 2

10. 如图,已知点 P

?

2, 0 ,正方形 ABCD 内接于圆 O : x 2 ? y 2 ? 1, M 、 N 分别为边 AB 、 BC 的
( ▲ )

?

中点. 当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时, PM ? ON 的取值范围为 A. ? ?2, 2? C. ? ?1,1? B. ? ? 2, 2 ?

?

?

D. ? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

答案: C 【解析】 : PM ? ON =(OM ? OP) ? ON ? OM ? ON ? OP ? ON ? 0 ? 2 ?

第 10 题图

2 cos ?PON 2

? ? cos ?PON ? ? ?1,1? ,所以 PM ? ON 的取值范围为 ? ?1,1? .
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在答题卡上. )
11. 设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a2 ? a3 ? a10 ? 12 ,则 S9 ? 答案: 36 【 解 析 】: 因 为 a2 ? a 3? a 1? 012 , 由 等 差 数 列 的 性 质 知 3a5 ? 12 , 故 a5 ? 4 , 所 以 ▲ .

S9 ?

a1 ? a9 ? 9 ? 9a5 ? 36 . 2

12.函数 f ( x) ? x sin x ? cos x 在 ?

?? ? , ? 上的最大值为_____▲____. ?6 ? ?
·7·

答案:

? 2

【解析】 : f ?( x) ? sin x ? x cos x ? sin x ? x cos x ,易得当

?
6

?x?

?
2

时, f ?( x) ? 0 ,当

?
2

? x ? ? 时,

f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( , ) 上单调递增,在 ( ,? ) 上单调递减,故 x ? 时, f ( x) 取得最大值 6 2 2 2
f( )? . 2 2
13.某市即将申报“全国卫生文明城市”,相关部门要对该市 200 家饭店进行卫生检查,先在这 200 家饭 店中抽取 5 家大致了解情况,然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作,相关部门先将这 200 家饭店按 001 号至 200 号编号,并打算用随机数表法抽出 5 家饭店,根据下面的随机数表,要求从本数表 的第 5 列开始顺次向后读数,则这 5 个号码中的第二个号码是 ▲ . 随机数表:84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 答案: 068 【解析】:由随机数表进行简单随机抽样的方法易得,抽取的第一个号码为 175,第二个号码为 068. 14.已知 A( xA , y A ) 是单位圆上(圆心在坐标原点 O )任一点,将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 单位圆于点 B( xB , yB ) ,则 2 y A ? yB 的最大值为 答案: ▲ .

? ?

?

?

?

?

? 到 OB 交 3

3

【解析】 :设 A(cos ? ,sin ? ) ,则 B(cos(? ?

?

),sin(? ? )) , 3 3

?

于是 2 y A

? 3 3 ? cos ? ? 3 sin(? ? ) , ? yB ? 2sin ? ? sin(? ? ) ? sin ? ? 2 2 6 3
3.

所以其最大值为

15.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若 ?x ? D, ?y ? D ,使得 f ( y) ? ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 为“美丽 函数”.下列所给出的五个函数: ① y ? x ;② y ?
2

1 x ?x ;③ f ( x) ? ln(2 x ? 3) ;④ y ? 2 ? 2 ;⑤ y ? 2sin x ? 1 . x ?1

其中是“美丽函数”的序号有 ▲ . 答案: ②③④ 【解析】 :由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数,容易判断仅有②③④符合题意.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤.)
16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c , sin A ? (Ⅰ)求角 B 的大小;
·8·

3a . 2b

(Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 7 ,求 c 及 ?ABC 的面积.

【解析】 : (Ⅰ)

sin A ?

3a ,? 3a ? 2b sin A , 2b

由正弦定理可得 3 sin A ? 2sin B sin A , ………………………………………………2 分 又

0 ? A ? ? ,?sin A ? 0 ,? sin B ? a ? b ? c ,? B ? C , 所以 0 ? B ?

3 , …………………………………………4 分 2
,故 B ?

?
2

?
3

. …………………………………6 分

(Ⅱ)

a ? 2 , b ? 7 ,由余弦定理可得:

1 ( 7)2 ? 22 ? c 2 ? 2 ? 2 ? c ? ,即 c2 ? 2c ? 3 ? 0 2 解得 c ? 3 或 c ? ?1 (舍去) ,故 c ? 3 . ………………………………………………10 分
所以 S?ABC ?

1 1 3 3 3 . ………………………………………12 分 ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2

17. (本小题满分 12 分) 某位同学进行寒假社会实践活动, 为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分 析研究, 他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温 x(° C) 与该小卖部的这种饮料销量 y(杯) , 得到如下数据: 日 期 1 月 11 日 9 23 1 月 12 日 10 25 1 月 13 日 12 30 1 月 14 日 11 26 1 月 15 日 8 21

平均气温 x (° C) 销量 y (杯)

(Ⅰ)若先从这五组数据中抽出 2 组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率;

? ?a ? ? bx ?; (Ⅱ)请根据所给五组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
(Ⅲ)根据(Ⅱ)中所得的线性回归方程,若天气预报 1 月 16 日的白天平均气温 7(° C) ,请预测该奶茶 店这种饮料的销量.

?? (参考公式: b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? . ? ? y ? bx ,a )

2

【解析】 : (Ⅰ)设“选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据”为事件 A, 所有基本事件(m,n) (其中 m,n 为 1 月份的日期数)有: (11,12) , (11,13) , (11,14) , (11,15) , (12,13) , (12,14) , (12,15) , (13,14) , (13,15) , (14,15) ,共有 10 种. 事件 A 包括的基本事件有(11,12) , (12,13) , (13,14) , (14,15)共 4 种.
·9·

4 2 ………………………………………………………6 分 ? 为所求. 10 5 9 ? 10 ? 12 ? 11 ? 8 23 ? 25 ? 30 ? 26 ? 21 (Ⅱ)由数据,求得 x ? ? 10 , y ? ? 25 . 5 5
所以 P( A) ?

? ? 4, ? ? 2.1 , a ? ? y ? bx 由公式,求得 b
? ? 2.1x ? 4 . 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? ? 2.1? 7 ? 4 ? 18.7 . (Ⅲ)当 x=7 时, y
所以该奶茶店这种饮料的销量大约为 19 杯. 18. (本小题满分 12 分) 已知首项为 差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? n an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 并比较 Tn ? bn 与 6 大小. 【解析】 : (Ⅰ)由题意得 2S3 ? ?2S2 ? 4S4 ,即 ? S4 ? S2 ? ? ? S4 ? S3 ? ? 0 ,亦即 ………………………………………12 分 ……………………………………10 分

3 ? ,公比不等于 1 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) ,且 ?2S2 , S3 , 4 S 4 成等 2

? a4 ? a3? ? a4 ?0 ,?

a4 1 1 ? ? ,所以公比 q ? ? , a3 2 2
n ?1

……………………………4 分 ……………………………5 分

3? 1? ?? ? 2? 2? 另解:由题意得 2S3 ? ?2S2 ? 4S4 , q ? 1 ,
于是数列 ?an ? 通项公式为 an ?

?n ? N ? .
?

?

a1 ?1 ? q3 ? 1? q
2

??

a1 ?1 ? q 2 ? 1? q

?2

a1 ?1 ? q 4 ? 1? q



化简得 2q ? q ? 1 ? 0 ,? q ? ?

1 , 2

………………………………………………4 分

3? 1? ? an ? ? ? ? 2? 2?

n ?1

?n ? N ? .
? n ?1

………………………………………………………5 分

3 ?1? (Ⅱ) bn ? n an ? n ? ? ? ? 2 ?2?

3n , 2n 3 6 9 3n 所以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n , ① 2 2 2 2 3 ? n ? 1? 3n 1 3 6 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 , ② ………………………………………8 分 2 2 2 2n 2 1 3 3 3 3 3n ① ? ②得, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 ?

·10·

1 ? 1 ? ? ?1 ? n ? 3n ? 6 2 ? 2 ? 3n ?3 ? n ?1 ? 3 ? n ?1 , 1 2 2 1? 2
所以 Tn ? 6 ?

3n ? 6 , ……………………………………………………………11 分 2n 6 从而 Tn ? bn ? 6 ? n ? 6 . .………….………………………………………………12 分 2

19.(本小题满分 13 分) 在如图所示的多面体 ABCDEF 中, DE ? 平面 ABCD , AD BC ,平面 BCEF E ?BAD ? 60 , AB ? 2 , DE ? EF ? 1. (Ⅰ)求证: BC EF ; (Ⅱ)求三棱锥 B ? DEF 的体积. F D C B 第 19 题图 【解析】 : (Ⅰ)因为 AD BC , AD ? 平面 ADEF , BC ? 平面 ADEF , 所以 BC 平面 ADEF , ………………………………………………………………………3 分 又 BC ? 平面 BCEF ,平面 BCEF 平面 ADEF ? EF , 所以 BC EF . ……………………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)在平面 ABCD 内作 BH ? AD 于点 H , 因为 DE ? 平面 ABCD , BH ? 平面 ABCD ,所以 DE ? BH , 又 AD 、 DE ? 平面 ADEF , AD DE ? D , 所以 BH ? 平面 ADEF , 所以 BH 是三棱锥 B ? DEF 的高. ………………………………………………………10 分 在直角三角形 ABH 中, ?BAD ? 60o , AB ? 2 ,所以 BH ? 3 , 因为 DE ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,所以 DE ? AD , 又由(Ⅰ)知, BC EF ,且 AD BC ,所以 AD EF ,所以 DE ? EF , 平面 ADEF ? EF ,

A

1 1 1 3 所以三棱锥 B ? DEF 的体积 V ? ? S?DEF ? BH ? ? ? 1? 1? 3 ? . ………………13 分 3 3 2 6 20. (本小题满分13分)
已知函数 f ( x) ? k ln x ? kx ? 3(k ? R) .

·11·

(Ⅰ)当 k ? ?1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; ( Ⅱ ) 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 ? 2 , f ( 2 处 的 切 线 与 直 线 x ? y ?3 ? 0 平 行 , 且 函 数 ?)

t g ( x)? 3 x? 2

2

(1, 2) 上有极值,求 t 的取值范围. x? 2 x? ( f 在区间 )x

k ? k ( x ? 0) , …………………………………………………………………1分 x 1 x ?1 (Ⅰ)当 k ? ?1 时, f ?( x) ? ? ? 1 ? , x x 令 f ?( x) ? 0 时,解得 x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 时,解得 0 ? x ? 1 , …………………………3 分 所以 f ( x) 的单调递增区间是 (1, ??) ,单调递减区间是 (0,1) . …………………………5 分 (Ⅱ)因为函数 y ? f ( x) 的图象在 ? 2, f (2) ? 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,
【解析】 : f ?( x) ?

k ?2 ? k ? 1 ,? k ? ?2 , f ?( x) ? ? 2 , …………………………7 分 2 x ?t ? g ? x ? ? x3 ? ? ? 2 ? x 2 ? 2 x ,? g ?( x) ? 3x 2 ? ? t ? 4 ? x ? 2 , ………………………9 分 ?2 ? 因为函数 g ( x) 在区间 (1, 2) 上存在极值, 注意到 y ? g ? ? x ? 的图像为开口向上的抛物线,且 g ?(0) ? ?2 ? 0 ,
所以 f ?(2) ? 1 ,即 所以只需 ?

? m 的取值范围为 ? ?9, ?5? . …………………………………………………………………13 分
21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : 三角形面积为 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P(0, 2) ,过点 Q(?1, ?2) 作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点(异于 P ) ,直线 PA 、 PB 的斜率 分别为 k1 、 k 2 .试问 k1 ? k 2 是否为定值?若是,请求出此定值,若不是,请说明理由.

? g ?(1) ? 0 , 解得 ?9 ? m ? ?5 , ? g ?(2) ? 0

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的 2 a b 2

? 2 2 2 ?a ? b ? c ? 2 ?c 2 2 【解析】 : (Ⅰ)由题意得 ? ? ,解得 a ? 8 , b ? 4 , a 2 ? ?1 bc ? 2 ? ?2
所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………………………………5 分(Ⅱ) 8 4
·12·

k1 ? k 2 为定值 4,证明如下:……………………………………………………………6 分
(ⅰ)当直线 l 斜率不存在时, l 方程为 x ? ?1 ,

? x ? ?1 ? ? 14 ? 14 ? ? 由方程组 ? x 2 y 2 易得 A ? ?1, , B ? ?1, ? ? ?, ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 4 ?8
? 14 ? 14 2 ? ?? ? 2? 2 ? 4 ? 14 4 ? 14 ? 2 于是 k1 ? , k2 ? , ? ? 0 ? (?1) 2 0 ? (?1) 2
所以 k1 ? k2 ? 4 为定值. ………………………………………………………………8 分 (ⅱ)当直线 l 斜率存在时,设 l 方程为 y ? (?2) ? k ? x ? (?1)? ,即 y ? kx ? k ? 2 , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? y ? kx ? k ? 2 ? 由方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,得 ? ? 1 ? 4 ?8
(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (k ? 2) x ? 2k 2 ? 8k ? 0 ,

?4k (k ? 2) ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 2k 2 由韦达定理得 ? ( ? ) …………………………………………10 分 2 ? x x ? 2k ? 8k ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

? k1 ? k2 ?

y1 ? 2 y 2 ? 2 ( y 1 ? 2) x ? 2 (y ? 2 2) x ? ? x1 x2 x1 x2 (kx1 ? k ? 4) x2 ? (kx2 ? k ? 4) x1 x1 x2 2kx1 x2 ? (k ? 4)( x1 ? x2 ) x1 x2 x1 ? x2 , x1 x2

1

?

?

? 2k ? (k ? 4) ?

将( ? )式代入上式得 k1 ? k2 ? 4 为定值. ……………………………………………13 分

·13·



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