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2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编8:解析几何


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最新 2013 届天津高三数学理科试题精选分类汇编 8:解析几何
一、选择题 1 . (天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学) 若直线 l1 : ax ? 2 y ? 8 ? 0 与直线 l2 :

x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0
) A.1









a



值 (



B.1 或 2

C.-2

D.1 或-2

2 . (天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学)倾斜角为 135?,在 y 轴上的截距为 ? 1 的直线

方 ) A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

程 ( B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0
2



3 . (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查理科数学)若抛物线 y =ax 上恒有关于直线 x+y-1=0 对

称 )







A



B





a









围 是 (

A.( ?

4 ,0) 3

B.(0,

3 ) 4

C.(0,

4 ) 3

D. ( ?? , 0 ) ? (

4 , ?? ) 3

4 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题) 己知抛物线方程为

??? ? y 2 =2 px ( p >0 ),焦点为 F , O 是坐标原点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正方向的夹角为
60°, 若

?OAF









3

,



p



值 (



) A.2 B. 2 3 C.2 或 2 3 D.2 或 2

5 (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷 . (理)已知椭圆 C : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的离心率为 形 ) 的

3 2 2 .双曲线 x ? y ? 1的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边 2
面 积 为 16 , 则 椭 圆

C





程 为 (

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A.

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y 2 ? ?1 12 6

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 20 5

6 . 天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 2013 届 高 三 联 考 试 题 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 双 曲 线 (

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,在双曲线右支 a 2 b2
上 存 在 一 点 P 满 足 PF ? PF2 且 ?PF1 F2 ? 1 ) A. 2 B. 3 C. 3 ? 1 D. 5 ? 1

?
6

, 那 么 双 曲 线 的 离 心 率 是 (

7 . (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷)设 F 是抛物线 C1

: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的

x2 y2 焦点,点 A 是抛物线与双曲线 C 2 : 2 ? 2 =1 a b
(a ? 0, b ? 0) 的 一 条 渐 近 线 的 一 个 公 共 点 , 且 AF ? x 轴 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为
( ) A.2
二、填空题 8 . 天 津 耀 华 中 学 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 月 考 理 科 数 学 试 卷 ) 若 ⊙ O1 (

B. 3

C.

5 2

D. 5

: x2 ? y2 ? 5 与 ⊙

O2 : ( x ? m) 2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段
AB 的长度是____________________;

9 . (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右 a2 b2

焦点为 F1 , F2 ,P 为双曲线右支上的任意一点,若 值范围是_________.

| PF1 | 2 的最小值为 8a,则双曲线的离心率的取 | PF2 |

? x ? 8t 2 10. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题) 已知抛物线的参数方程为 ? (t ? y ? 8t
为参数),焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为
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? 3 ,那么 PF ? _________ .
三、解答题 11. (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)已知中心在坐标原点,

焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2, 3) ,且它的离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

1 . 2

(Ⅱ)与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点,若椭圆上一点 C 满 足

OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围.
y N

O M

x

12.天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题 ( (WORD 版)椭圆 E: )

3 x2 y2 + 2 =1(a>b>0)离心率为 , 2 2 a b

且过 P( 6 ,

2 ). 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)已知直线 l 过点 M(-

1 ,0),且与开口朝上,顶点在原点的抛物线 C 切于第二象限的一点 N,直 2
?

线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,与 y 轴交与 D 点,若 AD = ?
? ? ? 5 AN , BD = ? BN ,且 ? + ? = ,求抛物线 C 的标准方程. 2

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13. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上

每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴的距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 FA ? FB ﹤0? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

??? ??? ? ?

14. (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)设点 P 是曲线 C: x

2

? 2 py( p ? 0) 上的动点,

点 P 到点(0,1)的距离和它到焦点 F 的距离之和的最小值为 (1)求曲线 C 的方程

5 4

(2)若点 P 的横坐标为 1,过 P 作斜率为 k (k ? 0) 的直线交 C 与另一点 Q,交 x 轴于点 M,过点 Q 且 与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N,问是否存在实数 k,使得直线 MN 与曲线 C 相切?若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由.

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15.2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷 ( (理)已知椭圆 C : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的离心率为

1 ,直线 l 过点 A(4, 0) , B(0, 2) ,且与椭圆 C 相切于点 P .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2

(Ⅱ)是否存在过点 A(4, 0) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M 、 N ,使得

36 AP ? 35 AM ? AN ?若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.
2

16 . 天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 2013 届 高 三 联 考 试 题 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 椭 圆 (

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a 2 b2

上顶点为 A ,在 x 轴负半轴上有一点 B ,满足 BF ? F F2 ,且 AB ? AF2 . 1 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ) D 是过 A、B、F2 三点的圆上的点, D 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等于 椭圆长轴的长,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线 与 x 轴相交于点 P(m,0) ,求实数 m 的取值范围.

???? ???? ?

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y
A

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B

F 1

O

F2

x

17. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)已知双曲线的中心在原点,对称轴为

4 x ,右焦点 F (5,0) ,双曲线的实轴为 A1 A2 , P 为双曲线上一点 3 9 (不同于 A1 , A2 ),直线 A1 P , A2 P 分别与直线 l : x ? 交于 M , N 两点 5
坐标轴,一条渐近线方程为 y ? (1)求双曲线的方程; (2) FM ? FN 是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由.

18. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷) (本小题满分 13 分)如图 F1、F2 为椭圆

C:

x2 y2 3 3 ? 2 ? 1 的左、 右焦点, E 是椭圆的两个顶点, D、 椭圆的离心率 e ? , ?DEF2 ? 1 ? . S 2 2 2 a b

若点 M ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 C 上,则点 N (

x0 y 0 , ) 称为点 M 的一个“椭点” ,直线 l 与椭圆交于 A、 a b

B 两点,A、B 两点的“椭点”分别为 P、Q.

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(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)问是否存在过左焦点 F1 的直线 l,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该 直线的方程;若不存在,请说明理由.

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最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 8:解析几何参考答案 一、选择题 1. 【答案】A

【解析】直线 l1 的方程为 y ? ? 行,则有

a x ? 4 ,若 a ? ?1 ,则两直线不平行,所以 a ? ?1 ,要使两直线平 2

a 2 ?8 a 2 a ? ? ? ?2 ,由 ? ,解得 a ? 1 或 a ? ?2 。当 a ? ?2 时, ? ?2 ,所 1 a ?1 4 1 a ?1 1

以不满足条件,所以 a ? 1 ,选 A.
2.

【答案】D 【解析】 直线的斜率为 k ? tan135 ? ?1 , 所以满足条件的直线方程为 y ? ? x ? 1 , x ? y ? 1 ? 0 , 即
?

选 D.
3. 4.

C

A 5. D
6.

【 答 案 】 C

因 为 PF ? PF2 且 ?PF1 F2 ? 1

?
6

, 所 以 PF2 ? c, PF ? 3c , 又 1

PF1 ? PF2 ? 3c ? c ? 2a , 所 以
3 ? 1,选 C.
7.

c 2 2( 3 ? 1) ? ? ? 3 ?1 , 即 双 曲 线 的 离 心 率 为 a ( 3 ? 1)( 3 ? 1)

【答案】D

b ? p b 2 pa 2 ?y ? x F ( , 0) ,不妨取双曲线的渐近线为 y ? x ,由 ? 解:由题意知 得x? .因为 a 2 a b2 ? y 2 ? 2 px ?
p 2 pa2 p AF ? x , 所 以 x A ? , 即 x ? 2 ? , 解 得 b2 ? 4a 2 , 即 b2 ? 4 a 2 ? c 2 ? a 2, 所 以 2 b 2

c 2 ? 5a 2 ,即 e2 ? 5 ,所以离心率 e ? 5 ,选 D.
二、填空题 8. 【答案】4

解 : 由 题 知 O1 (0,0), O2 (m,0) , 且

5 ?| m |? 3 5 , 又 O1 A ? AO2 , 所 以 有
5 ? 20 ? 4. 5

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,所以 AB ? 2 ?
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9.

(1,3]

10. 【答案】8

解 : 消 去 参 数 得 抛 物 线 的 方 程 为 y 2 ? 8x . 焦 点 F ( 2, 0 ) 准 线 方 程 为 x ? ?2 . 由 题 意 可 设 ,

A(?2, m) ,则 k AF ?

m?0 m ? ? ? ? 3 ,所以 m ? 4 3 .因为 PA ? l ,所以 yP ? 4 3 ,代入抛 ?2 ? 2 4

物线 y 2 ? 8x ,得 xP ? 6 .,所以 PF ? PA ? 6 ? (?2) ? 8 .
三、解答题 11.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

3 ?4 ? 2 ?1 2 ?a b ? ?c 1 由已知得: ? ? ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b2 ? ?
所以椭圆的标准方程为:

?a 2 ? 8 ? 解得 ? 2 ?b ? 6 ?

x2 y2 ? ?1 8 6
2 2

(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切

1? t2 所以, ? 1 ? 2k ? ( t ? 0) t 1? k2
x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 ┈7 分 把 y ? kx ? t 代入 8 6
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有

t?k

8kt 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? 3 ? 4k 2 x1 ? x 2 ? ?

因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, C ? ?

?

? 6t ? 8kt ? , 2 2 ? ? (3 ? 4k ) ? (3 ? 4k ) ? ?

又因为点 C 在椭圆上, 所以,

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 )2 ? 2 (3 ? 4k 2 )2 ? 2
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2t 2 2 ?? ? ? 2 1 2 1 3 ? 4k ( 2 ) ?( 2 )?1 t t
2

因为 t 2 ? 0 所以
12.

所以 (

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1 2 t t

0 ? ? 2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2 , 0) ? (0,

2)

【解析】 解. (1)? e ?
3 b 1 , ? 1-e 2 ? , a ? 2b, ? 2 a 2

2 2 2 x2 y2 代入椭圆方程得: 2 ? 2 ? 1 化为x ? 4 y ? 4b ? 0 , 4b b

? 点 P( 6 , 2 )在椭圆 E 上
2
6 ? 2 ? 4b ? 0, b 2 ? 2,a 2 ? 8 ?
2

? 椭圆E方程为

x2 y 2 ? ?1 , 8 2

2 直线与抛物线 C 切点为 (2)设 抛物线C 的方程为 y ? ax(a ? 0),

( x0 , ax0 2 ) ,? y? ? 2ax,? 直线l的斜率为2ax0 , l的方程为y-ax0 2 ? 2ax0 ( x ? x0 )
? 直线l过( ? 1 1 2 2 , 0),? ? ax 0 ? 2ax 0 ( ? ? x 0 ),? N ( x 0 , ax 0 )在第二象限, x 0 ? 0 ? 2 2

解得 x 0 ? ?1 ,? N (?1, a ) ,
直线l的方程为: y ? ?2ax ? a

代入椭圆方程并整理得:

(1 ? 16a 2 ) x 2 ? 16a 2 x ? 4a 2 ? 8 ? 0? (1) 设A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 则 x1、x2是 方程(1)的两个根,
则x1 x2 ? 4a 2 ? 8 ?16a 2 ,x1 ? x2 ? 1 ? 16a 2 1 ? 16a 2

由 AD ? ? AN , BD ?

? BN ,

??

x1 x2 ,? ? 1 ? x1 1 ? x2
x1 x 2 x1 x2 ? x1 ? x2 8a 2 ? 16 + 2 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 7 ? 4a 2
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??? ?

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?? ? ? ?

5 8a 2 ? 16 5 ,解得 3 3 , ? ? a?? , a ? 0,? a ? ? 2 7 ? 4a 2 2 6 6
3 2 x , 其标准方程为x 2 ? 2 3 y 6

? 抛物线C的方程为y ?

13.本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力.

解:(I)设 P ( x, y ) 是直线 C 上任意一点,那么点 P( x, y )满足:

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1( x ? 0)
化简得 y 2 ? 4 x( x ? 0) (II)设过点 M(m,0) (m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 设 l 的方程为 x ? ty ? m ,由 ?

?x ? ty ? m ?y ? 4 x
2

得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 , ? ? 16(t 2 ? m) ? 0 .

于是 ?

? y1 ? y 2 ? 4t ? y1 y 2 ? ?4m



又 FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 )

FA? FB ? 0 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0
又x ?
2



y2 ,于是不等式②等价于 4
2 2 2

y1 y 2 y y ? y1 y 2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? 0 ? 4 4 4 4
( y1 y 2 ) 2 1 ? ? y1 y 2 ? [( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ] ? 1 ? 0 16 4
由①式,不等式③等价于 ③

m2 ? 6m ? 1 ? 4t 2
2



对任意实数 t, 4t 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于

m 2 ? 6m ? 1 ? 0 ,即 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2
由此可知,存在正数 m,对于过点 M( m ,0)且与曲线 C 有 A,B 两个交点的任一直线,都有

FA ? FB ? 0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2 2,3 ? 2 2 )
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14.解:(1)依题意知 1 ?

p 5 1 ? ,解得 p ? ,所以曲线 C 的方程为 y ? x 2 2 4 2

(2)由题意设直线 PQ 的方程为: y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则点 M ?1 ?

? ?

1 ? ,0 ? k ?

由?

? y ? k ( x ? 1) ? 1 ?y ? x
2

, x ? kx ? k ? 1 ? 0 ,得 Q k ? 1, (k ? 1) 2 ,
2

?

?

所以直线 QN 的方程为 y ? (k ? 1) ? ?
2

1 ( x ? k ? 1) k

1 ? 2 1 ? y ? (k ? 1) ? ? ( x ? k ? 1) 2 1 2 由? , x ? x ? 1 ? ? (1 ? k ) ? 0 k k k ?y ? x2 ?
2 ? ? ?1 ? k ? 1 , ?1 ? k ? 1 ? ? 得N ? ? ? ? k ? k? ? ?

所以直线 MN 的斜率为 k MN

1? 1? ? ? ?1 ? k ? ? ?1 ? k ? ? k? k? ? ? ? ?? 1? ? 1? k ? ?1 ? k ? ? ? ?1 ? ? k? ? k? ?
1? ? k?

2

2

过点 N 的切线的斜率为 2?1 ? k ?
2

? ?

1? ? ?1 ? k ? ? ? 1? 5 1? k? ? ? 所以 ? 2?1 ? k ? ? ,解得 k ? 2 k k? ?
故存在实数 k=

?1? 5 使命题成立. 2

15. (Ⅰ)由题得过两点 A(4, 0) , B (0, 2) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .

因为

x2 y2 c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,???2 分 a 2 4c 3c

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 2 2 由 ? x2 消去 x 得, 4 y ?12 y ? 12 ? 3c ? 0 .又因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 y2 ? 2 ? 2 ? 1, ? 4c 3c
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???4 分

???6 分

???8 分

又直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 相切, 4 3

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 3 3 ? 由 ? x2 y 2 解得 x ? 1, y ? ,所以 P (1, ) ????10 分 2 2 ? ? 1, ? 3 ? 4
则 AP 又
2

?

45 36 45 81 ? ? . . 所以 AM ? AN ? 4 35 4 7

AM ? AN ? (4 ? x1 ) 2 ? y12 ? (4 ? x2 ) 2 ? y2 2

? (4 ? x1 ) 2 ? k 2 (4 ? x1 ) 2 ? (4 ? x2 ) 2 ? k 2 (4 ? x2 ) 2 ? (k 2 ?1)(4 ? x1 )(4 ? x2 )

? (k 2 ?1)( x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ?16) ? (k 2 ? 1)(

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4? ? 16) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? ( k 2 ? 1)

36 36 81 2 . 所以 (k 2 ? 1) ? ,解得 k ? ? .经检验成立. 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 7 4

所以直线 m 的方程为 y ? ?

2 ( x ? 4) .???14 分 4

16. 【解】(Ⅰ)连接 AF ,因为 AB ? 1

AF2 , BF ? F1F2 ,所以 AF1 ? F1F2 , 1

即 a ? 2c ,故椭圆的离心率 e ? (其他方法参考给分)

1 2

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(Ⅱ)由(1)知

1 3a c 1 1 ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a, 0) , B ( ? , 0) , a 2 2 2 2 1 1 Rt ?ABC 的外接圆圆心为 F1 (? a, 0) ),半径 r ? | F2 B |? a 2 2

D 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等于 2a ,所以圆心到直线的距离为 a ,
1 | ? a ?3| 所以 2 ? a ,解得 a ? 2,? c ? 1, b ? 2

3

x2 y2 ? ? 1. 所求椭圆方程为 4 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 F2 (1,0) , l : y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 3 ?4

代入消 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

因为 l 过点 F2 ,所以 ? ? 0 恒成立 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ?

?6k 8k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

MN 中点 (

4k 2 ?3k , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

当 k ? 0 时, MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 当 k ? 0 时 MN 中垂线方程 y ? 令 y ? 0 ,? m ?

3k 1 4k 2 ? ? (x ? ). 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2

k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2

?

3 1 ? 0 , 2 ? 4 ? 4 , 可得? 0 ? m ? 1 2 k k 4 1 综上可知实数 m 的取值范围是 [0, ) 4

17. (1)

x2 y 2 ? ?1 9 16

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(2) A1 (?3, 0), A2 (3, 0), F (5, 0)设P( x, y ), M ( , y0 )

???? ????? 24 ? A1 P ? ( x ? 3, y ), A1M ( , y0 ) 5
因为 A1 , P, M 三点共线? ( x ? 3) y0 ?

9 5

24 24 y y ? 0 ? y0 ? 5 5 x ? 15

9 24 y 9 6y ?M ( , ) ,同理 N ( , ? ) 5 5 x ? 15 5 5 x ? 15 ???? ? 16 24 y ???? 16 6y ? FM ? (? , ), FN ? (? , ? ) 5 5 x ? 15 5 5 x ? 15

???? ???? 256 144 y 2 ? FM ? FN ? ? ? 25 25 x 2 ? 9

?

y2 16 ? 2 x ?9 9

???? ??? ? ? ? FM ? FN ? 0
c 3 3 1 ,故 c ? ? a, b ? a , a 2 2 2

18.解: (1)由题意得 e ?

S ?DEF2 ?

1 1 3 a 1 3 2 3 , ? (a ? c) ? b ? (a ? a ) ? ? ? (1 ? )a ? 1 ? 2 2 2 2 4 2 2

故 a 2 ? 4 ,即 a=2,所以 b=1,c= 3 ,故椭圆 C 的标准方程为 (2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ? 3

x2 ? y2 ? 1. 4

?x ? ? 3 ?x ? ? 3 ?x ? ? 3 1 1 ? 2 ? ? 联立 ? x 解得 ? 1 或? 1 ,不妨令 A(? 3 , ), B(? 3 ,? ) , 2 2 2 ? ? y ?1 ?y ? ?y ? ? 2 2 ? ? ?4
所以对应的“椭点”坐标 P (?

3 1 3 1 1 , ), Q(? ,? ) .而 OP ? OQ ? ? 0 . 2 2 2 2 2

所以此时以 PQ 为直径的圆不过坐标原点. ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3 )

? y ? k ( x ? 3) ? 联立 ? x 2 ,消去 y 得: (4k 2 ? 1) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则这两点的“椭点”坐标分别为 P (
·15·

x1 x , y1 ), Q( 2 , y 2 ) ,由根与系数的 2 2

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

关系可得: x1 ? x 2 ?

12k 2 ? 4 ? 8 3k 2 , x1 x 2 ? 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

若使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,则 OP⊥OQ, 而 OP ? (

x1 x , y1 ), OQ ? ( 2 , y 2 ) ,因此 OP ? OQ ? 0 , 2 2



x1 x 2 xx 2k 2 ? 1 2 ? ? y1 y 2 ? 1 2 ? y1 y 2 ? 0 即 2 =0,解得 k ? ? 2 2 4 2 4k ? 1
2 6 2 6 或y?? x? x? 2 2 2 2

所以直线方程为 y ?

·16·


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