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电动力学-第2.2节


第二章 第二节

唯一性定理
Uniqueness Theorem

本节内容将回答两个问题: (1)要具备什么条件才能求解静电问题 (2)所求的解是否唯一 静电学的基本问题: 求满足边界条件(或给定边界条件)的泊松方程 (拉普拉斯方程)的解。 求解微分方程的一种重要方法:尝试解。

(试探解,拼凑解-连猜带蒙!)
尝试解是否唯一正确的解(物理问题的结果只有一 个):唯一性定理来保证。

在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边 界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程(拉普 拉斯方程)的解。 本节我们把这问题确切地表述出来,即需要给出哪 一些条件,静电场的解才能唯一地被确定。 静电场的唯一性定理对于解决实际问题的重要意义。 (1)它告诉我们,哪些因素可以完全确定静电场,这样 在解决实际问题时就有所依据。

(2)对于许多实际问题,往往需要根据给定的条件作一 定的分析,提出尝试解。如果所提出的尝试解满足 唯一性定理所要求的条件,它就是该问题的唯一正 确的解。

一、静电问题的唯一性定理:

假定所研究的区域为 V,在一般情况下V内可以有多种 介质或导体,对于每一种介质自身是各向同性线性均匀 的,设其区域为 Vi 。 V 每一个区域给定电荷分布 ?

? ? ? ( x ) , x ?V 设Vi内所求电势为 ? ,它们

1

V1

?i

Vi

满足泊松方程 ?j Vj ? 2 S ? ??? ( i ? 1,2,?, m ) ?i 在两区域Vi 、 j 的交界面上必须满足的边值关系是: V ?i ? ? j
? ?? ? ?i ? ? ? ?n ? i

??

? ?? ? ? ? j ? ?n ? j

? ? ① 边界S上, S 为已知。若为导体“ S = 常数”为已知。 ?? ② 边界S上, 为已知。若是导体要给定总电荷Q。它
相当 ?? 给定( Q ? ? ? ? ?? dS )。 S
?n S ?n S

泊松方程或拉普拉斯方程( ? ? 0 区域)的解有多种 形式,要确定且唯一确定 Vi 内电场,必须给出边界条 件,在数学上称为给定边值条件的求解问题。 一般边界条件有两类:

?n S

唯一性定理内容: ? 分布已知, 满足 ? 2? ? ? ? ? 当区域V内 ? I) 若V边界上 ? S 已知, 或 ?? II)V边界上 已知,
?n S

则区域V内场(静电场)唯一确定。

二、特例:有导体存在时的唯一性定理 我们讨论均匀单一介质中有导体, ? 导体中 E ? 0,要求的是导体外区域 V ?中的场。 S 当给定导体之外区域的自由电荷 S1 分布 ? ?此条件用来确定电势满 足的微分方程; V? 给定边界条件: I) 给定导体上的电势,当 ? S ? ? i ? 常量
i



S2

或, ?? II) 给定每个导体上的总电荷(实质上也是给定 , ?n S i 因为: ? ? ? ? ?? dS ); Qi 另外,还有多种情形,比如 S
?n S

则导体外区域内场唯一。

i

导体外有多种均匀介质,我 们不再一一进行讨论。

三、唯一性定理的意义

(1)唯一性定理给出了确定静电场的条件,为求解电场 强度指明了方向。
(2)更重要的是,它具有十分重要的实用价值。 无论采用什么方法得到解,只要该解满足泊松方程 和给定边界条件,则该解就是唯一的正确解。

因此对于许多具有对称性的问题,我们可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程,而是提出尝试解,只要 满足方程和边界条件即为所求的解,若不满足,可以 加以修改后再进行尝试,直到满足泊松方程(拉普拉 斯方程)和边界条件。

四、应用举例 [例1] 带电Q的导体球(半径为a )产生的电势。 解题依据:电荷分布在有限区,参考点选在无穷远。 根据对称性,导体产生的场具有球对称性,电势也 ? 应具有球对称性,其与 、? 坐标无关 。 [解]: 当考虑较远处场时,导体球可视为点电荷,因此

? ? ?

A ?? ?B r

( r ? 0)

r ? ?,
A ?? r (r ? a )
?? ? r r
3

? ?0

B?0

它应满足

? 1 1 r ? ? ?? ? ? ? 3 r r r

? ? ?0
2

? ?? ? ?

? r r
3

?0

(r ? 0)

? ? r ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? A? ? ? ? 3 ? ? 0 ? r ?

( r ? 0)

?


?? ?? A ? ?? 2 ?n ?r r

?? A Q ? ?? ?0 dS ? ? 0 ? 2 dS ? ?r r ? a a

? 0 A4? a 2
a2

? ?

A?

Q 4??0

??

Q 4??0r

(r ? a )
Q 4??0a (r ? a )

?内 ? ?表面 ?
? ? Q 1 Qr E ? ??? ? ? ? ? 4??0 r 4?? r 3
0

(r ? a )

此题也可用高斯定理(积分形式)求解,用这种方法来 解有点“高射炮打蚊子”的感觉,但展示了静电场的求 解方法。

[例2]有一半径为a的导体球,它的中心恰位于两种均匀 无限大介质的分界面上,介质的介质常数分别是 ? 1 与 ? 2。若导体球总电荷为Q,求导体球表面处自由电荷分 布和空间电势分布 。 [解]: (1)自由电荷分布 Q 设导体球上下两 半球各自带电量 为q1和q2 ,则
a

?2 ?1

Q ? q1 ? q2
又因为导体球是等势体,上下半球电势相等,即

?1 ? ? 2
另外,总电荷Q一定,无限远处电势为0,故满足唯一 性定理条件。

根据唯一性定理,得到

则得



? ?? 1 ? ?? 1 ?? 1 ? ?r r ? a 而 ?1 ? ? 2 ? ?? ?? 2 ? ?? 2 ? 2 ?r ? r ?a ?1 ? 2 q1 q2 ? 即 ? 2 ?1 ? 2 2?a ? 1 2?a 2? 2 q1 q2 q1 1 Q q1 ? 即 ? (Q ? q1 ) ? ? ?1 ? 2 ?2 ?2 ?1 ? 2
?1 ? ? 2 ?1
Q

即得到: q ? 1

?2 q2 ? Q ?1 ? ? 2

电荷面密度为: q1 ? 1Q ?1 ? ? 2 2 2?a 2?a (? 1 ? ? 2 )

?2 ?

q2 2?a
2

?

? 2Q
2?a 2 (? 1 ? ? 2 )

(2)空间电势分布 外边界为无穷远,电荷分布在有限远 ? ? ? 0

导体上Q给定,所以球外场唯一确定。 Q 对称性分析:若 ? 1 ? ? 2,则 ? ? 。 4?? 0 r 若 ? 1 ? ? 2 ,从直观看似乎不再具有球对称性,而是具 有轴对称。 但是实际情况并非如此。由于无论在介质1还是介质2, ? E1 导体外表面电场均与表面垂直,因此在P点 必然 ? E 2与重合,所以介质分界面上E ? E ,而 1t 2t E1n ? E2n ? 0

在介质分界面上: ? ??P ? ? ? ? n ? ( E2 ? E1 ) ? E2 n ? E1n

? ?P ? 0 所以没有束缚电荷分布,束缚电荷只分布在导体与介 质分界面上。 对于上半个空间,介质均匀极化,场具有对称性, 同样下半空间也具有对称性。 ? ? 而在介质分界面上 E1 ? E2 ,所以可考虑球外电场仍具 有球对称性。

?

?0 ? ?0

设试探解:

?1 ?
?2 ?

c1

r c2
r

? d1
? d2

? 2?1 ? 0
? 2? 2 ? 0

确定常数: r ? ?

?? ?0

d1 ? d 2 ? 0

? ?

在介质分界面上 ?1 S ? ? 2 S

Q ? ? ?S ? 1
1

?r r ? a ?r 2 c c ? ?S ? 1 2 dS ? ?S ? 2 2 dS 1 2 a a c c 2 ? 2 ? 1 2?a ? 2 ? 2 2?a 2 a a
Q

??1

c1 ? c2 ? c
dS ? ?S ? 2

?? 2
r ?a

dS

? 2? (? 1 ? ? 2 )c

a

?

Q c? 2? (? 1 ? ? 2 )

?2 ?1

Q 下半空间 ?1 ? 2? (? 1 ? ? 2 )r

Q ?2 ? 上半空间 2? (? 1 ? ? 2 )r

Q ?? 4? (? 1 ? ? 2 )r

(r ? a )

导体球面上面电荷分布: ?? 1 ? 1Q ? 1 ? ?? 1 ? 2 下半球面上均匀分布 ?r r ? a 2? (? ? ? )a 1 2 ?? 2 ? 2Q 上半球面上均匀分布 ? 2 ? ?? 2 ? ?r r ? a 2? (? ? ? )a 2 1 2 束缚电荷分布:

?0 ? P 1 ? ( ? 1)? 1 ?1

?0 ? P 2 ? ( ? 1)? 2 ?1

从这里可以看出,电荷在整个球面上是不均匀分 布的。这种非均匀分布造成场的均匀分布。
Q a

?2 ?1

从物理机制看: 当导体放入介质时,一开始均匀分布,产生的 场是非球对称场,它在介质中产生束缚电荷,束 缚电荷也产生一个场,但总场不满足静电场唯一 性定理,因此导体表面电荷要重新分布。达到静 电平衡时,球外场均匀分布,满足唯一性定理, 这时电荷分布不再是均匀的。

[例3]两同心导体球壳之间充以两种介质,左半球介电常 数为? 1 ,右半球介电常数为 ? 2。设内球壳半径为a,带 电荷为Q,外球壳接地,半径为b,求电场和球壳上的电 荷分布。 ? er [解]:以唯一性定理为依据来解本题。 a)写出本题中电势 ? 应满足的方程 ? en 和边值关系以及边界条件 S2 b a 此区域V为导体球与球壳之间的 空间,边界面有两个,即S1和S2, S1是导体球表面,S2是导体球壳 内表面,边界条件为:在S1上总 电量是Q,在S2上 ?
S1

?1 ? 2

? 0。

在两种介质中,电势都满足Laplace方程,在介质交 界面上,电势? 连续,电位移矢量的法向分量连续(因 为交界面上 ? f ? 0)。 ? ? 应满足的定解条件为: e

? ?i ? 0
2

( i ? 1,2)

r

??1 ? ? 2 ? 在交界面上 ? ?? ?? 2 1 ?? ?? 1 2 ?n ? ?n

S2
a S1

? en

b

在S1面上 , 已知Q

?1 ? 2

? 现在不论用什么方法,只要求出的点函数 ? ( x ) 能满 ? 足上述条件,那么 ? ( x )就是本题的唯一解。

在S2面上 , 已知? ? 0

b) 根据已知的定解条件,找出电势 ? 的解 由于对称性, 选取球坐标, 原点在球心, 直接积分可求 得解,因为 2 1 ? 2 ?? i ? ? i ? 2 (r )?0 ?r r ?r
A (左半球? 1中电势) 不难看出: ?1 ? ? B r C ?2 ? ? D (右半球? 2中电势) r A 在r=b处: ? ? ?B?0 同理,在r=b处: 1 r ?b b C A D?? ? B?? b b

从而得到

1 1 ?1 ? A( ? ) r b

1 1 ?2 ? C ( ? ) r b

在两介质的交界面上: ?1 ? ? 2 由此得到 A= C ? ? 又因为在两介质的交界面上,en与 e ? ,但 ?1 , ? 2 r 都只与r有关,所以 ?? 1 ?? 2 ? ?0 ?n ?n ? 这样, 1 , ? 2 也满足了Dn连续的条件。 到此为止,在条件中,除了在S1面上总电量为Q外, ? 也满足了其它全部条件,而 ? 也只剩下一个待定常 数A。现在用? 必须满足在S1面上总电量等于Q这个条 件来确定A,即 ? ? ??S D ? dS ? Q 在球坐标系中,有 ?? ? 1 ?? ? 1 ?? ? ?? ? er ? e? ? e? ?r r ?? r sin? ??
1

?

?

? ? ??1 ? A? 1 ? D1 ? ? 1 E1 ? ?? 1??1 ? ?? 1 er ? 2 er ?r r ? ? ?? 2 ? A? 2 ? D2 ? ? 2 E2 ? ?? 2?? 2 ? ?? 2 er ? 2 er ?r ? ? ? ? ? r? ??S D ? dS ? ??S D1 ? dS ? ??S D2 ? dS
1

? A? 2 ? ? ? ? 2 ??S er ? dS ? 2 ??S er ? dS 1左 1右 a a A? 1 A? 2 2 ? 2 ? 2?a ? 2 ? 2?a 2 ? Q a a
Q 1 1 ? ??1 ? 2? (? ? ? ) ( r ? b ) ? 1 2 ? Q 1 1 ?? ? ( ? ) 2 ? 2? (? 1 ? ? 2 ) r b ?

A? 1

1左

1右



Q A? 2? (? 1 ? ? 2 )

从而得到:

c) 电场和电荷分布情况 根据电势 ? i 所得到的结果,有 ? ?? 1 ? E1 ? ???1 ? ? er ?
?r

? Qr 2? (? 1 ? ? 2 )r 3 ? Qr

? ?? 2 ? E2 ? ??? 2 ? ? er ? 2? (? 1 ? ? 2 )r 3 ?r

同心球面上有
相应地,有

? ? | E1 |?| E2 |

? ? D1 ? ? 1 E1 ?

? ? 1Qr 2? (? 1 ? ? 2 )r 3 ? ? 2Qr 2? (? 1 ? ? 2 )r 3

? ? D2 ? ? 2 E2 ?

由此可见

? ? | D1 |?| D2 |

▲在导体球(r=a)表面上:由介质与导体的边值关系 得 ? 1Q ? ? ? ? 1 f ? en ? D1 ? D1r ? ? r ?a r ?a en ? D2 ? ? f 2?a 2 (? 1 ? ? 2 )

?2 f

? ? ? en ? D2

可见 ? 1 f ? ? 2 f ▲在导体球壳内(r=b)处: ? ? ? 1壳f ? en ? D1 ? ? D1r
r ?b

r ?a

? D2r

r ?a

?

? 2Q
2?a 2 (? 1 ? ? 2 )

r ?b

??
??

? 1Q
2?b 2 (? 1 ? ? 2 )

? 2壳f

? ? ? en ? D2

r ?b

? ? D2r

? 2Q
2?b 2 (? 1 ? ? 2 )

r ?b

也可看出:

? 1壳f ? ? 2壳f

▲还可进一步求出束缚电荷(极化电荷)分布: ? ? ? 已知 P ? D ? ?0E ? ? ? ? Q(? 1 ? ? 0 )r P1 ? D1 ? ? 0 E1 ? 2? (? 1 ? ? 2 )r 3 ? 所以 ? ? ? Q (? 2 ? ? 0 )r P2 ? D2 ? ? 0 E2 ? 2? (? 1 ? ? 2 )r 3 而极化电荷体密度:
? 1 ? 2 1 ? 1 ?f? ? ? f ? 2 (r fr ) ? (sin ?f? ) ? r sin ? ?? r sin ? ?? r ?r
?? ? r
3

? 1 ? 2 ?1 p ? ?? ? P1 ? ? 2 ( r P1r ) ? 0 r ?r ? 1 ? 2 ? 2 p ? ?? ? P2 ? ? 2 ( r P2r ) ? 0 r ?r 即在两种介质中,极化电荷体密度都为零。

r (r ? 0)

?0

▲在导体球表面上极化电荷面密度分布: Q(? 1 ? ? 0 ) ? ? ?? ? 1 p ? ? en ? P1 ? ? P1r 2 r ?a r ?a 2?a (? 1 ? ? 2 ) Q(? 2 ? ? 0 ) ? ? ?? ? 2 p ? ? en ? P2 ? ? P2r r ?a r ?a 2?a 2 (? 1 ? ? 2 ) ▲故得到导体球表面上的总电荷 分布: Q (? 1 ? ? 0 ) ? 1Q ? 0Q ? 1 ? ? 1 f ? ? 1 p? ? ? 2 2 2?a (? 1 ? ? 2 ) 2?a (? 1 ? ? 2 ) 2?a 2 (? ? ? ) 1 2 ? 0Q Q (? 2 ? ? 0 ) ? 2Q ? ? ? 2 ? ? 2 f ? ? 2 p? 2 2 2?a (? 1 ? ? 2 ) 2?a 2 (? ? ? ) 2?a (? 1 ? ? 2 ) 1 2

可见 ?1 ? ? 2 ▲在两种介质交界面处: ? ? 因为 e ? r 。因而P ? 0 ,所以
n
n

?p ?0

注意: 在前面计算过程中,难得出导体球面上 ? i ? ? if ? ? ip 是常数,但是 ? if 或 ? ip在每个半球面上虽然都是常数, ? 但 ? 1 f ? ? 2 f , 1 p ? ? 2 p ,即? f 在球面上不是均匀分布 的。现在来说明? f 不能均匀分布的原因。 假定 ? f 是均匀分布的,那么由 ? ?

可见,? p 在两个半球面上,因 ? 值不同而不同。 导体球内的静电场由? f 和? p共同激发,由于 f 均匀分 ? 布,所以? f 在球内的电场为零。但? p 由于非均匀分布必 将导致它在球内的场不为零,这样导体球就不能达到静 电平衡。由此可见,要使导体球达到静电平衡,? f 的分 布必须是非均匀的。

? ? ? p ? ? en ? P ? ?en ? (? ? ? 0 ) E ? ? ?0 ? ? ? ?0 ? ?f ? ? en ? D? ? ? ?

一、静电问题的唯一性定理的证明: 设有两组不同的解 ? ? 和? ??满足唯一性定理的条件,只 要让得? ? ? ? ? ? ?? ? 常数 即可。 V 令 ? ? ? ? ? ? ?? ?1 在均匀区域 Vi 内有 ? i Vi V1 ? ? ? 2? ? ? ? , ? 2? ?? ? ? , Sij ?i ?i ?j Vj 2 S ?? ? ?0 在两均匀区界面上有 ? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ?? , ? ? ??
i j i j i j

?i

?? i? ?n

??j

?? ?j ?n

, ?i

?? i?? ?n

??j

?? ?j? ?n

, ? ?i

?? i ?n

??j

?? j ?n

在整个区域V的边界S上有

? ? S ? ? ?? S ? ? 0
或者

?

?? ?n

? S ? ? ? S ? ? ?? S ? 0
S

?? ? ?? ?? ? ? ?0 ?n S ?n S

为了处理边界问题,考虑第 i 个区域 Vi 的界面 Si 上的 积分问题,根据格林定理,对已知的任意两个连续函数 ? 必有: 和? ?? 2 ?? ? ? (?? )(?? ) dV ? ? dS


? ? ? i?
V i

? ?
V i

?

??Si

?n



? ?? i?? ? ? (?? )? i (?? )?dV ? ??Si
2

?
?

? ? ?0
2
2

?? ? i? dS ?n

?

V i

? i (?? ) dV ?

??Si

? ? i??? ? dS

? ? ? ? i (?? ) dV ? ? ?? ? i??? ? dS
2 i
V i

对所有区域求和得到
i

S

进一步分析: ? ? i Vi V1 dS j 在两个均匀区域Vi和Vj的界 面上,由于? 和 ??? 的法向分 Sij ? ? 量相等,又有 dSi ? ? dS j , ? j ? Vj S dS i 因此内部分界面的积分为 ? ? ? ??Sij ? i??? ? dS ? ??Sij ? i? i ?? i ? dSi ? ??S ji ? j? j?? j ? dS j ? ? ? ??S ? i? i ?? i ? dSi ? ??S ? j? j ?? j ? dSi Din ? D jn ij ji ?? i ?? j ? i Ein ? ? j E jn ? ??S ? i ? i dSi ? ??S ? j? j dSi ?n ?n ij ji ?? i ?? j ?i ??j ?n ?n ? 0 所有内部分界面的积分互相抵消

i

?1

V

因此 故

? ??S
i

? ???V
i

i

? ? ? i??? ? dS ? ??S ? i??? ? dS
i

? i (?? ) dV ? ??
2

S

? ? i??? ? dS

?? ? 0 ,从而有 而在S面上, ? S ? 0 , 或 ?n S ? i (?? )2 dV ? 0 ? ???V

? i (? ? ) 2 ? 0 由于 ,而 ? ? 0 ,只有 ?? ? 0 ,要使 i 2 ? ?V ? i (?? ) dV 成立,唯一地是在V内各点上都有
i
i

i

i

?? ? 0

即在V内任一点上, ? ? 常数。 ? 由 ? ? ? ? ? ? ?? 可见, ? 和 ? ??至多只能相差一个常数, 但电势的附加常数对电场没有影响,这就是说静电场是 唯一的。

二、有导体存在时的唯一性定理的证明: 讨论区域是导体外空间 V,即 V 是由导体外表面S1、S2及S 包 V 面所围成的空间,当S 在无穷远 处时,所讨论的区域就是导体外 ε 的全空间V。 约定: 在无穷远处,电场为零,即在

S

ρ
S2

S1

S面上 ? ? 0 或者表示成 ? S? ? 0 在此基础上,把问题分为两类: ? A类问题:已知区域V中电荷分布? ( x ) ,及所有体的形 状和排列;每个导体的电势都给定。 ? B类问题:已知区域V中电荷分布? ( x ) ,及所有导体的 形状和排列;每个导体的总电荷都给定。

因为导体面就是边界面,因此上述导体的电势或者 总电荷就是边界条件。 先用反证法证A类问题。 证明: ? 设存在着两个解? ?和? ?? ,这意味着在区域V内, ?和 ? ??都满足泊松方程: ? ? 2 ? ? ? , ? 2? ?? ? ? ? ? ? ? 第 i个导体的表面为Si 面上,该导体的电势为? i 。 那么,在Si面上, ?和? ??都必须等于 ? i 。即 ?

? ? S ? ?i i 在S∞面上, ? ? ? ? ?? ? 0 令 ? ? ? ? ? ? ??
则有

? ?? S ? ? i
i

? 2? ? ? 2? ? ? ? 2? ?? ? 0

? S ? ? ? S ? ? ?? S ? ? i ? ? i ? 0
i i i

应用格林定理: 令

? ??? ? ? (?? ) ?dV ? ??S?
2 2
V

? ?? , 有
? 2? ? 0 ,

? ??? ? ? (?? )(?? )?dV ? ??S
2
V

?? ? dS ?n
?? ? dS ?n

?
?

? S ? 0,
?

?? ? dS ? ? ?n i

及? S ? 0
i

??Si

?V

(?? ) dV ? 0
2

?? ? 0 于是,V中每一点上, ? 常数 。 ? 但在导体表面上? ? 0 ,即得到常数=0,即? ? ? ? ? ? ?? ? 0 , ? ? ? ? ?? 使得
这就说明了对A类问题 ? 有唯一解。

式中被积函数 (?? )2 ? 0 ,要使上式成立,必然在V中 每一点上有

再用反证法证B类问题: 证明: 也设存在两个解? ? 和 ? ??,则有 令?

?V ??? ? ? (?? ) ?dV ? ??S
2 2

? ? 代入格林公式中,得
? 2? ? 0 ,

? 2? ? 0,

(? ? ? ? ? ? ??)
?? ? dS ? ? ?n i

?
得到

?S ?0
?

?

??S

i

?? ? dS ?n

?V

(?? ) dV ? ?
2 i

??S

i

?? ? dS ?n

因为在导体表面Si处,电势并没有给定,但根据电磁 学中的知识,导体在静电平衡时为一等势体。 虽然 ? ? Si 与 ? ?? Si 不一定相等,但对同一导体而言,有 ? ? S ? ? ?? S ? ? i (应为一确定值)
i i

故可从积分号内提 出来,于是

?V

(?? ) dV ? ? ? i
2 i

??S

i

?? ? dS ?n

?? 现在分析: ??Si ?n dS ? ? ?? 因为 ??S dS 中,Si 表示电场中第 I 个导体的表面, ?n i 导体在静电平衡时,在导体外,紧靠导体表面处的场强 方向与导体表面垂直,场强的大小与导体表面对应点的 面电荷密度成正比,即 ?? En ? ? / ? , 而 En ? ? ?n ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? 1 ? ? 从而得到 ? ? ? ( ? ) ? (? ?? ? ? ? ) ?n ?n ?n ? ? ? ?? 1? ? ? 1 (Q?? ? Q? ) dS ? ??S ? ??dS ? ??S ? ?dS 这样就有 ??S ? ? ?n ?? i ? ? i i 式中 Q?? 和 Q?都表示第i个导体所带的总电荷,又因为它 是给定的,即 Q?? ? Q?

?? ??Si ?n dS ? 0 对每一个导体表面都有此结论。因此得到



?V


(?? ) 2 dV ? 0

同理, ?? )2 ? 0 ,要使上式成立,必然是 (

?? ? 0
? 由于E ? ??? ,此常数对电场无影响,所以此时仍说

? ? ? ? ? ? ?? ? 常数

? 是唯一的。
证毕



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