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2016年川西中学高二级第二学期期中测试题


2016 年川西中学高二级第二学期期中测试题

数学(理科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的. ) 1.在复平面内,复数 z=1-3i 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.已知 i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)=( ) A.5-5i B.7-5i C.5+5i 3-i 3.复数 =( ) 1-i A.1+2i B.1-2i C.2+i
2

D.第四象限 D.7+5i

D.2-i

4.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t ,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( ) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒 1 2 5.函数 y= x -ln x 的单调递减区间为( ) 2 A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞) 6. 已知数列 2,5,11,20,x,47,?,根据规律,可知 x 等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27 7.函数 y ? 1 ? 3x ? x 3 有( )

A.极小值-1,极大值 1 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 3 D.极小值 2,极大值 3 8. 函数 f(x)的定义域为区间(a, b), 导函数 f′(x)在区间(a, b)内的图象如图所示, 则函数 f(x) 在区间(a,b)内的极小值点有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

9.等差数列{an}中, “a1<a3”是“an<an+1”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4 3 18 C. 5

10.由三条直线 x=0、x=2、y=0 和曲线 y=x3 所围成的图形的面积为( A.4 B. D.6

1

1 1 1 11.用数学归纳法证明“1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)”时,由 n= 2 3 2 -1 k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是 A.2
k-1

(

)

B.2 -1

k

C.2

k

D.2 +1

k

12.已知正方形四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),曲线 y=x2(x≥0)与 x 轴, 直线 x=1 构成区域 M,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点落在区域 M 内的概率是 ( ) 1 A. 2 1 B. 4 1 C. 3 2 D. 5

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. )
13.方程(2x -3x-2)+(x -5x+6)i=0 的实数解 x=________. 14. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)等于____________. 15.
2 2

?

2

0

(4 ? 2 x)(4 ? 3x2 )dx ?



16. 已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4), (2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?,则第 60 个数对是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (1, ?2) ,且 m ? n ? 0 (1)求 tan A 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x ( x ? R) 的值域.

?

?

17. (本小题满分 14 分) 某班几位同学组成研究性学习小组,从[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次日常 生活中是否具有环保意识的调查.若生活习惯具有较强环保意识的称为“环保族”,否则 称为“非环保族”。得到如下统计表: 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55) 环保族人数 占本组的频率 120 195 100 0.6 本组占样本的频率 0.2

p
0.5 0.4 0.3 0.3

q
0.2 0.15 0.1 0.05

a
30 15

⑴求 q 、 n 、 p 、 a 的值; ⑵从年龄段在[40,50)的“环保族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外环保活动,其中

2

选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 [40,45)的概率.

D1
18. (本题满分 14 分) 正方体 ABCD-A1B1C1D1 ,

C1

A1

B1

E
C

AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点.
(1) 求证: B1D1 ? AE ;

D
A B

(2) 求证: AC // 平面 B1DE ; (3)求三棱锥 A-BDE 的体积. 19.(本小题满分 14 分)

a 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn ? n
(1)求 c 的值及 {an } 的通项公式; (2)证明:

1 2

n

a ? nc ?

n? N ) (c 是常数, , a2 = 6 .
*

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? . a1a2 a2 a3 an an?1 8

20.(本小题满分 14 分)

y2 ? 1 ,过点 M ?0,1? 的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A、B . 已知椭圆 C : x ? 4
2

(1)若 l 与 x 轴相交于点 P ,且 P 为 AM 的中点,求直线 l 的方程; (2)设点 N (0, ) ,求 | NA ? NB | 的最大值.

1 2

??? ? ??? ?

3 2 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f( 是奇函数, 且其图象上以 N ?1 x )? mx ? ax ? x ,f ?1??

为切点的切线的倾斜角为

? . 4

(1)求函数 f ?x ? 的解析式: (2)试确定最小的正整数 k ,使得不等式 f ?x ? ? k ? 2010对于 x ? ??1 , 3? 恒成立;

x )? f (cos x )|?2 f (t ? (3)求证: | f(sin

1 )( x ? R ,t? 0 ) 2t

3

参考答案
一、选择题: 1.B 2.C 3.B 二、填空题 9. 10 10. -63 4.D 5.A 6.C 7.C 8.B

11.

40 81

12. 5

13. 0

14.3

15. 3 3

三、解答题 16. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (1, ?2) ,且 m ? n ? 0 (Ⅰ)求 tanA 的值;(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x ( x ? R) 的值域. 解: (Ⅰ)由题意得

?

?

所以 tan A ? 2 .??????5 分 ( Ⅱ ) 由 (

? sin A ? 2 cos A

? ? m?n ? sin A ? 2 cos A ? 0 因为 cosA≠0,?????3 分


?????2 分





tanA=2



1 3 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? ??8 分 2 2 因为 x ? R,所以 sin x ???1,1? .????9 分
当 sin x ?

1 3 时,f(x)有最大值 ,????10 分 2 2

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,????11 分 所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . ?????12 分 2

? ?

3? ?

17. (本小题满分 12 分) 解:(1)ζ =1 表示取出的二个球中数字最小者为 1.

1 1 ①二次取球均出现最小数字为 1 的概率 P1 ? ( ) 2 ? 3 9

???2 分 ????4 分

2 4 1 1 ②二次取球中有 1 次出现最小数字 1 的概率 P2 ? C2 ( )( )? 3 3 9 5 ???6 分 ? ? p ( ? ? 1 ) ? P ? P 1 2 9 (2)在ζ =k 时,利用(1)的原理可知: 1 3?k 7 ? 2k 1 1 ( )?( P ( ? ?k) ? ( ) 2 ? C 2 ( k? 1 ,2 ,3 ) ) ? 3 3 3 9 ζ 的概率分布为:

????9 分

E? ?1 ?
18.解:

5 1 1 14 ? 2 ? ? 3? ? 9 3 9 9

?????12 分

(Ⅰ)证明:连结 BD ,则 BD // B1D1 ,

4

∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD .∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD . 又 AC ? CE ? C ,∴ BD ? 面 ACE . ∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE , ∴ B1D1 ? AE . (Ⅱ)证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . ∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1F ,

∴四边形 B1 FCE 是平行四边形,∴ CF// B1 E . ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC , 又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED , ∵ AF ? CF ? C , B1E ? ED ? E , ∴平面 ACF // 面 B1DE . 又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1DE . (3) S
?ABD

?

1 AB ? AD ? 2 . 2

VA? BDE ? VE ? ABD ?

1 1 2 S ?ABD ? CE ? S ?ABD ? CE ? 3 3 3



18.(Ⅰ)解:因为 S n ?

1 nan ? an ? c , 2 1 所以当 n = 1 时,S1 ? a1 ? a1 ? c ,解得 a1 = 2c ,当 n = 2 时,S2 ? a2 ? a2 ? c , 2
所以 3c ? 6 ,解得 c ? 2 ;

即 a1 ? a2 ? 2a2 ? c ,解得 a2 = 3c ,

则 a1 ? 4 ,数列 {an } 的公差 d ? a2 ? a1 ? 2 ,所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 2 . (Ⅱ)因为

1 1 1 1 1 1 + +L + = + +L + a1a2 a2a3 anan+ 1 4创6 6 8 (2n + 2)(2n + 4)
1 1 1 1 1 1 1 )+ ( - )+ L + ( ) 6 2 6 8 2 2n + 2 2n + 4 1 1 1 1 1 1 1 1 )+ ( - )+ L + ( )] = ( ) 6 6 8 2n + 2 2n + 4 2 4 2n + 4

=

1 1 ( 2 4 1 1 = [( 2 4

=

1 1 1 1 1 1 . 因为 n ? N* ,所以 + +L + < . 8 4(n + 2) a1a2 a2a3 an an+ 1 8

20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设 A(x1, y1),
5

因为 P 为 AM 的中点,且 P 的纵坐标为 0,M 的纵坐标为 1,

y1 ? 1 ? 0 ,解得 y1 ? ?1, 2 又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上,
所以 所以 x1 ?
2

---------------1 分

1 y12 3 ? 1,即 x12 ? ? 1 ,解得 x1 ? ? , 4 4 2

则点 A 的坐标为 (

3 3 , ?1) 或 (? , ?1) ,所以直线 l 的方程为 4 3x ? 3 y ? 3 ? 0 ,或 2 2

4 3x ? 3 y ? 3 ? 0 .
(Ⅱ)设 A(x1, y1),B(x2, y2),则 NA ? ( x1 , y1 ? ), NB ? ( x2 , y2 ? ), 所以 NA ? NB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ?1) , 则 | NA ? NB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ? 1) ,
2 2

??? ?

??? ? ??? ?

1 2

??? ?

1 2

??? ? ??? ?

当 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , 其 方 程 为 x ? 0 , A(0, 2), B(0, ?2) , 此 时

??? ? ??? ? | NA ? NB |? 1 ;
当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? 1 ,

? y ? kx ? 1 ? 由题设可得 A、B 的坐标是方程组 ? 2 y 2 的解, ?1 ?x ? ? 4
消去 y 得 (4 ? k ) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

所以 ? ? (2k ) ? 12(4 ? k ) ? 0, x1 ? x2 ?
2 2

?2k , 4 ? k2

则 y1 ? y2 ? (kx1 ? 1) ? (kx2 ? 1) ? 所以 | NA ? NB |2 ? (

8 , 4 ? k2

??? ? ??? ?

?2k 2 8 ?12 k 2 2 ) ? ( ? 1) ? ?1 ?1 , 4 ? k2 4 ? k2 (4 ? k 2 ) 2
??? ? ??? ?

当 k ? 0 时,等号成立, 即此时 | NA ? NB | 取得最大值 1. 综上,当直线 AB 的方程为 x ? 0 或 y ? 1 时, | NA ? NB | 有最大值 1. 21. (本小题满分 14 分)
3 2 解;(1)? 是奇函数 ∴a=0. f ( x ) ? mx ? ax ? x

??? ? ??? ?

???????1 分

6

2 ? 2 f'(x)=3mx -1,依题意,得 tan ? f ' (1 ) ,即 1=3m-1, m ? . 3 4 2 ?????2 分 ? f (x )? x3 ?x 3
(2)令 f'( x )? 2 (x? 当? 1 ?x?? 当?

2 2 2 , )( x ? ) ? 0 ,则 x ? ? 2 2 2

??4 分

2 2 时,f'(x)= 2x -1>0,f(x)在此区间为增函数; 2

2 2 2 时,f'(x)=2x -1<0,f(x)在此区间为减函数; ?x ? 2 2 2 2 时,f'(x)=2x -1>0,f(x)在此区间为增函数; 2 2 处取得极大值. 2
???????????????5 分

当? 1 ?x?? f(x)在 x ? ? 又 f (?1) ?

2 2 2 1 2 , f (? , f( ,f(3)=15 )? )? ? 2. 3 3 2 3

2 , ????6 分 ? f (x) ?15 3 要使得不等式 f(x)≤k-2010 对于 x∈[-1,3]恒成立,则 k≥15+2010=2025. 所以,存在最小的正整数 k=2025, 使得不等式 f(x)≤k-2010 对于 x∈[-1,3]恒成立. ????????????8 分
因此,当 x∈[-1,3]时, ? (3)(方法 1)由(2)知,函数 f(x)在 [ ? 1, ?

2 2 2 ] 上是增函数:在 [? , ] 上是减函数,在 2 2 2

2 ,1 ] 上是增函数, 2 2 2 1 1 2 2 又 f (?1) ? , f (? ,f( , f (1) ? ? )? )?? 3 3 2 2 3 3 [
所以,当 x∈[-1,1]时, ? ∵sinx, cosx∈[-1,1]

2 2 2 ? f (x) ? ,即 | f ( x) | ? ????9 分 3 3 3 ............................... 10 分
?????11 分

? | f(sin x )| ?

2 2 , | f (cos) |? 3 3

? | f(sin x )? f(cos x )|? | f (sin | f(cos x ) | ? x)| ?
又 t>0,? t ?

2 2 2 2 ? ? 3 3 3

???12 分

1 ? 2 ?1,且函数,f(x)在[1,+∞]上是增函数, 2t

2 2 1 2 ?????13 分 ) ? 2 f ( 2) ? 2[ ( 2)3 ? 2 ] ? 3 2t 3 1 x )? f (cos x )?2 f (t ? ) ( x ? R ,t? 0 ) ???14 分 综上可得 | f(sin 2t 2 2 x )? f(cos x )|? | ( sin 3 x ?sin x )?( cos3 x ? cosx) | (方法 2) | f(sin 3 3 2 2 3 2 x )|?(sin x ? cos x )[ (sin 2 x ? ? (sin3 ? cos sin x cos x?cos x ) ?(sin x ?cos x )? 1 ]| 3 3
?2 f (t ?
7

2 1 1 ? |sin x ? cos x |· | sinx cosx ? |? | sin x?cos x|3 3 3 3

?????10 分

1 ? | 2 sin(x ? ) | 3 ? 3 4 1 又∵t>0 ?t ? ? 2t 1 2 ?2 f (t ? ) ? 2[ ( t ? 2t 3 ?
? 2(t ?

2 2 3
2 ,t2 ?

???11 分

1 ??????12 分 ?1 , 4t 2 1 1 1 3 1 2 ] )] ? 2(t ? )[ (t 2 ?1? 2 ) ?1 ) ? (t ? ? 2t 2t 2t 3 4t
?????13 分

1 1 1 2 2 2 1 2 2 )[ (t ? 2 ) ? ] ? 2 2 ( ? ) ? 3 3 2t 3 3 3 4t

1 x ? R ,t? 0 ) )( 2t 说明:以上各题如有其它解法,请评卷老师酌情给分.
综上可得 | f(sin x )? f (cos x )|?2 f (t ?

???14 分

8


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